Kreis auf Kugeloberfläche

Vllt findeste ja ne Formel wenn du bei Google nach Parametrisierung und 
Kurvenintegral suchst.
Dann findeste vllt ne Uniübung mit Lösung zu dem Thema.

Ansonsten selber ausrechnen, ich mach das heute Abend aber nicht mehr.
(Wir hatten das Thema grade würg)

Du kriegst auf jeden Fall Kreise, wenn du alle Punkte mit konstantem Phi 
oder konstantem Theta anmalst. Alle möglichen Kreise sind das aber 
noch nicht... müsste ich jetzt auch rechnen ;)

Einen beliebigen Kreis in einer beliebigen Orientierung auf einer 
idealen Kugel abzubilden ist leicht. DIe Verdrehung aus der Ausgangslage 
ist eine Matrix und dann hachelt man einfach Punkte vom Kreisumfang in 
der Ausgangslage durch die Matrix und kriegt die entsprechenden 
Abbildungspunkte auf der Kugel.
Nur überseht ihr die Diskretisierung durch die vorgegebene Geometrie der 
LED-Anordnung. Die macht das Problem schwer, wenn die Lösung dann auch 
noch effizient sein soll.

Im Grunde ist es das 3D Analogon zum Problem eine Bitmap zu drehen und 
zu bestimmen, an welcher Zielposition ein Pixel aus dem Ausgangsbild 
auftaucht. Und zwar ohne, dass dabei Löcher entstehen (im Grunde muss 
man rückwärts rechnen: welches Quellpixel wird an einem gegebenen 
Zielpixel abgebildet und wenn es kein eindeutiges Quellpixel gibt, wird 
eines aus den 4 benachbarten Pixel interpoliert). Nur dass das ganze 
hier in 3D stattfindet und die Regelmässigkeit des Rasters nicht gegeben 
ist.


Ich könnte  mir vorstellen, dass ein gangbar schneller Weg darin 
besteht, die Sache anders aufzuziehen: Der abzubildende Kreis liegt ja 
in einer Ebene. Von dieser Ebene bestimmt man sich die Ebenengleichung 
und dann rattert man die ganzen Segmentbögen von oben nach unten durch 
und bestimmt ob die jeweilige LED über oder unter der Ebene liegt. Beim 
0-Durchgang durch diese Ebene (Vorzeichenwechsel) schaltet man eine der 
beiden benachbarten LED ein (je nachdem welche näher an der Ebene 
liegt). Diese Distanzrechnung ist schnell zu machen (3 Multiplikationen 
und 4 Additionen) wenn man erst mal die Ebenengleichung hat. Zudem kann 
man in einer fortgeschrittenen Version des Verfahrens ausnutzen, dass 
der Schnittpunkt mit der Ebene beim nächsten Segmentbogen sich nicht 
stark vom Schnittpunkt im zuletzt untersuchten Bogen unterscheiden wird.
Das würde zumindest für Großkreise funktionieren. Bei Kleinkreisen kann 
ein Segmentbogen natürlich mehrere Schnitte haben. Da wirds dann 
komplizierter.

1) Die Kugeloberfläche wird je nach LED-Verteilung in Teilflächen
   aufgeteilt.  Jede LED ist für die Beleuchtung ihres Teilstückchens
   "verantwortlich".

2) Berechne die Parameterdarstellung eines Kleinkreises, etwa
   Polare θ = const. In dem Falle ist der Parameter gerade der Azimut ϕ.

3) Transformiere diesen Kreis an die gewünschte Stelle.  Der
   Ursprungskreis liegt dabei rotationssymmetrisch um den Zenit.
   Hier kann sich Möbiusisometrien als hilfreich erweisen:
   http://de.wikipedia.org/wiki/Möbiustransformation#Isometrien

4) Berechne, welche Teilstückchen der so transformierte Kreis schneidet.
   Die jeweils verantwortliche LED leuchtet.

Hinweis:

Eine Möbiustrafo M transformiert immer Kreise in Kreise, and zwar auch 
denn, wenn man ihre Aktion in der komplexen Ebene betrachtet.  Dabei 
werden Geraden als Kreise mit unendlich großem Radius angesehen, die 
durch den Pol (Unendlich) verlaufen.

"Möbius Transformations Revealed is a wonderful video clarifying a deep 
topic"
http://www.ima.umn.edu/~arnold/moebius/index.html

In der komplexen Ebene ist das Problem vielleicht besser arithmetisch 
zugänglich.  So werden die LED-Stücke durch solche Stücke solcher Kreise 
begrenzt.  Diese wiederum können vermutlich ohne großen Qualitätsverlust 
durch Strecken oder Halbgeraden modelliert werden.  Kantenstückchen, die 
auf einem Meridian liegen, werden ohnehin zu Strecken oder Halbgeraden.

Ich stimme Reinhard zu. Du kannst die Großkreise in beide Richtungen 
anzeigen, und wahrscheinlich noch die Kreise mit Theta konstant, aber 
alle anderen werden als Kreis kaum zu erkennen sein. Das Rechnen lohnt 
sich wohl kaum.

Bei so wenig LEDs würde ich die Punkte per Hand setzen und in einer 
Tabelle ablegen. Es können dann auch Kreissegmente sein, die gespiegelt 
werden.

Die Konstruktion des zentralen Steckverbinders würde mich mal 
interessieren.