Durchflutung

Hallo,

das Gelbe im Bild ist die Kontur, welche eine Fläche aufspannt. Der 
Gesamtstrom N*I durchsetzt diese Fläche.

Alex schrieb:
> das Gelbe im Bild ist die Kontur, welche eine Fläche aufspannt. Der
> Gesamtstrom N*I durchsetzt diese Fläche.

Aber müsste dann Theta nicht null sein?
Hinter dem Eisenkern und vor dem Eisenkern fließt doch der selbe Strom 
hin und zurück.

Das mit der Fläche habe ich wie in meinem Bild verstanden.
Wieso zeichnset du die Fläche über den gesamten Eisenkern?

Nochmals zwei Bilder mit dem Blick senkrecht auf die von der Kontur 
aufgespannten Fläche.

Bei meiner Kontur fließt der Strom innerhalb der Fläche aus der 
Zeichenebene hinaus und außerhalb der Fläche wieder zurück. Durchflutung 
= N*I

Bei deiner Kontur (wie ich es verstanden habe) fließt der Strom auf 
einer Seite durch die Fläche in die Zeichenebene hinein und auf der 
anderen Seite wieder durch die Fläche aus der Zeichenebene hinaus. Die 
Summer der Ströme heben sich auf, also Durchflutung = 0.

Samuel schrieb:
> Wieso zeichnset du die Fläche über den gesamten Eisenkern?
Wenn ich die Kontur innerhalb des Kerns wähle, kann ich so die 
Induktivität der Anordnung bzw. die magnetische Feldstärke/Flussdichte 
im Kern berechnen. Für andere Konturen kann natürlich auch die 
Durchflutung bestimmt werden, aber bringt einen für die Induktivität 
etc. nicht weiter.

Ok, das ist sehr interessant, so habe ich es nicht gesehen. 
Offensichtlich gibt es einen Grund wieso du die Fläche mitten in den 
Eisenkern legst.
Vielleicht gibst du mir ein Stichwort, worum es hier wirklich geht?

Danke!

Samuel schrieb:
> Vielleicht gibst du mir ein Stichwort, worum es hier wirklich geht?
Die Durchflutung kommt im Oersted'sche Gesetz vor.

$$\oint_c \vec H \cdot d \vec s = \Theta$$

Das Integral über eine geschlossene Kontur C der magnetischen Feldstärke 
H ergibt den von dieser Kontur rechtshändig eingeschlossenen Strom 
(=Durchflutung).
Wird die Kontur geschickt gewählt kann damit die magnetische Feldstärke 
einfacher Anordnungen berechnet werden. In diesem Fall die Feldstärke im 
Kern.

Dasgeht aber viel einfacher. Wenn man schon weiss, dass die Quelle des 
Feldes der Strom ist, dann kann man gleich mit Biot-Savart anfahren.

Alex schrieb:
> Das Integral über eine geschlossene Kontur C der magnetischen Feldstärke
> H ergibt den von dieser Kontur rechtshändig eingeschlossenen Strom
> (=Durchflutung).

Was ist aber wenn ich nicht über die gesamte geschlossene Kurve 
aufintegriere?
Das müsste dann eine magnetische Spannung sein richtig?
Soweit ist es mir schon klar.

Das Problem was sich mir aber stellt ist, woher soll ich z.B. 
unterscheiden ob ich die magnetische Spannung positiv oder negativ 
zähle?
In der beigefügten Grafik ist zu sehen, dass

$$V(C_1) - V(C_2) = 0$$

$$V(C_2) - V(C_3) = N_1I_1$$

$$V(C_3) - V(C_4) = 0$$

$$V(C_4) - V(C_5) = -N_2I_2$$

Was genau ist aber z.B. V(C2) alleine für sich?
Das ist ja eine ungeschlossene Kurve, wie kann da irgendeine 
Durchflutung durchtreten?

Um es zu konkretisieren: Wie rechne ich den Wert der magnetischen 
SPannung entlang der Kurve C im bild? Kann man das überhaupt?

@Samuel (Gast) um 14:41:

Wenn die Abstandsfunktion des Leiters C zu den Stromleitern I1 und I2 
bekannt ist, kann man die Feldstärke an jeder Stelle berechnen und 
vektoriell aufintegrieren.
Das Ergebnis ist einfach die Addition der Wirkung von beiden Strömen. ?

AHA! OKm klingt gut und verständlich, danke an U.B.

Ich hätte dann aber ein Integral:

$$\oint_{0}^{l}\Vec{H}*dl = \oint_{0}^{l} \frac{I}{2\pi\rho}\vec{e_H}d\rho$$

Die Richtung eH hängt auch vom Ort ab, das ist blöd, ich bin echt kein 
Held beim Lösen von Integralen vor allem wenn Vektoren drinnen sind. Wie 
setze ich da an?

$$\oint_{0}^{a}\vec{H}*dl = \oint_{0}^{a} \frac{I}{2\pi\rho}\vec{e_H}d\rho$$

Samuel schrieb:
> Wie setze ich da an?

Feldstärke eines stromdurchflossenen Leiters im Ursprung:

$$\vec{H}=\frac{I}{2\pi\rho}\vec{e}_\rho$$

Umrechnung in kartesische Koordinaten:

$$\vec{H}=\frac{I}{2\pi(x^2+y^2)}(-y\vec{e}_x+x\vec{e}_y)$$

Verschiebung des Leiters vom Ursprung an die Position x0 und y0:

$$\vec{H}=\frac{I}{2\pi[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2]}[-(y-y_0)\vec{e}_x+(x-x_0)\vec{e}_y]$$

Jetzt die Parametrisierung des Weges in kartesische Koordinaten. Hier 
einfach längs e_x:

$$d\vec{s}=\vec{e}_xdx$$

Feldstärke an der Position y=b:

$$\vec{H}=\frac{I}{2\pi[(x-x_0)^2+(b-y_0)^2]}[-(b-y_0)\vec{e}_x+(x-x_0)\vec{e}_y]$$

Berechnung der magnetischen Spannung:

$$V_m = \int_{x = 0}^{a}\vec{H} \cdot \vec{e}_x dx$$

$$V_m = \int_{x = 0}^{a}\frac{I}{2\pi[(x-x_0)^2+(b-y_0)^2]}[-(b-y_0)\vec{e}_x+(x-x_0)\vec{e}_y] \cdot \vec{e}_x dx$$

$$V_m = -\frac{I}{2\pi}\int_{x = 0}^{a}\frac{b-y_0}{(x-x_0)^2+(b-y_0)^2} dx$$

Und jetzt das Integral lösen...

Zunächst kleine Korrektur von mir:
Alex schrieb:
> Feldstärke eines stromdurchflossenen Leiters im Ursprung:
Die Feldstärke ist natürlich nicht rho gerichtet, sondern phi gerichtet.

Johannes E. schrieb:
> Die Klammer steht ja für einen Vektor der Länge 1
Der Klammerausdruck ist nicht der Einheitsvektor e_phi, sondern 
rho*e_phi. Die Länge ist damit rho.

Johannes E. schrieb:
> Müsste nicht im Ausdruck (-y e_x + x e_y) irgendwie ein sinus/cosinus
> auftauchen?
ja, aber die habe ich umgerechnet. Am Ende soll ja alles in kartesische 
Koordinaten dastehen.

Etwas ausführlicher erhält man dann für den Einheitsvektor e_phi:

$$\vec{e}_\varphi = -\vec{e}_x sin(\varphi)+\vec{e}_y cos(\varphi)=-\vec{e}_x \frac{y}{\rho}+\vec{e}_y \frac{x}{\rho}=\frac{-y\vec{e}_x+x\vec{e}_y}{\rho}=\frac{-y\vec{e}_x+x\vec{e}_y}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

Und am Ende dann:

$$\frac{\vec{e}_\varphi }{\rho} = \frac{1}{x^2+y^2}(-y\vec{e}_x+x\vec{e}_y)$$