Was ist ein Kosinus- / Sinus-Spektrum?

klaus schrieb:
> Ich finde das Frequenzspektrum immer nur dargestellt als Amplituden- und
> Phasenspektrum.

Letztendlich ist das Spektrum ein Haufen komplexer Werte für die 
verschiedenen Frequenzen.
Nun kann man sich diese komplexen Zahlen unterschiedlich anzeigen 
lassen:
Betrag und Winkel
-> Bodediagramm (Amplitude und Phase)

Real- und Imaginärteil
-> karthesisch als Ortskurve
-> Sinus und Cosinusspektrum, wobei Sinus normalerweise Phase 0 und 
Cosinus Phase 90 hat.

Wobei ich glaube, dass die letzte Darstellung nur in der 
Nachrichtentechnik seinen Sinn hat, z.B. für Quadraturmodulation.

Jeden Schwingung mit einer beliebigen Phasenverschiebung läßt sich als 
Addition von einer Sinus- und einer Cosinus-Welle passender Amplitude 
darstellen, d.h. die beiden Darstellungen lassen sich direkt ineinander 
umrechnen, weil Sin und Cos ein Basissystem darstellen (Stichwort: 
Vektoraddition)

Floh schrieb:
> Nun kann man sich diese komplexen Zahlen unterschiedlich anzeigen
> lassen:
> Betrag und Winkel
> -> Bodediagramm (Amplitude und Phase)
>
> Real- und Imaginärteil
> -> karthesisch als Ortskurve
> -> Sinus und Cosinusspektrum, wobei Sinus normalerweise Phase 0 und
> Cosinus Phase 90 hat

Formelsammlungrauskram

Für die Darstellung einer komplexen Zahl sehe ich die Polarformen:

(1)  z = r * (cos phi + j * sin phi)
(2)  z = r * e^(j * phi)

und die kartesische Form:

(3)  z = x + j * y

Nun verstehe ich die Sache noch nicht so ganz, da (1) und (2) zwar 
anders aussehen aber dennoch beide Amplitude r und Phase phi darstellen. 
Was dann an einem Sinus- / Cosinusspektrum anders sein soll als an einem 
Amplituden- / Phasenspektrum erschließt sich mir deshalb noch nicht 
wirklich.

Kosinusspektrum: Realteil des Spektrums

$$Ra\left\{x(t)\right\} = Re\left\{ X(j \omega) \right\} = Re\left\{ \mathcal{F} \left\{ x(t) \right\} \right\}$$

Sinusspektrum: Imaginärteil des Spektrums

$$Ia\left\{x(t)\right\} = Im\left\{ X(j \omega) \right\} = Im\left\{ \mathcal{F} \left\{ x(t) \right\} \right\}$$

Mit der Fouriertransformation:

$$X(j\omega) = \mathcal{F}\left\{ x(t) \right\} = \int\limits^\infty_{-\infty} x(t) e^{j \omega t} dt = \int\limits^\infty_{-\infty} x(t) cos(\omega t) dt + j \int\limits^\infty_{-\infty} x(t) sin(\omega t) dt$$

Für relle Zeitsignale

$$x(t) \in \mathbb{R}$$

 ist das Kosinusspektrum stets achsensymmetrisch und das Sinusspektrum 
stets Punktsymmetrisch bzgl. der Frequenz Null. Es folt daher für das 
Kosinusspektrum direkt

$$Ra\left\{ x(t) \right\} = \int\limits^\infty_{-\infty} x(t) cos(\omega t) dt$$

und das Sinusspektrum:

$$Ia\left\{x(t)\right\} = j \int\limits^\infty_{-\infty} x(t) sin(\omega t) dt$$

Hm, heißt das:

- Für ein Sinusspektrum trage ich auf der X-Achse die Frequenz und auf 
der Y-Achse die Imaginärteile der Fouriertransformierten auf
- Für ein Cosinusspektrum trage ich auf der X-Achse die Frequenz und auf 
der Y-Achse die Realteile der Fouriertransformierten auf

Das heißt mit Cosinus-/Sinusspektrum könnte man die kartesischen 
Darstellung ablesen und mit einem Amplituden/Phasenspektrum die 
Darstellung in Polarform?

klaus schrieb:
> Hm, heißt das:
>
> - Für ein Sinusspektrum trage ich auf der X-Achse die Frequenz und auf
> der Y-Achse die Imaginärteile der Fouriertransformierten auf
> - Für ein Cosinusspektrum trage ich auf der X-Achse die Frequenz und auf
> der Y-Achse die Realteile der Fouriertransformierten auf

Ja.

> Das heißt mit Cosinus-/Sinusspektrum könnte man die kartesischen
> Darstellung ablesen und mit einem Amplituden/Phasenspektrum die
> Darstellung in Polarform?

Nun versteh ich die Fragenstellung nicht.

klaus schrieb:
> Das heißt mit Cosinus-/Sinusspektrum könnte man die kartesischen
> Darstellung ablesen und mit einem Amplituden/Phasenspektrum die
> Darstellung in Polarform?

Ja