Dispersionsrelation

Hallo.

Ein Teil Deiner Fragen möchte ich wie folgt beantworten.
Bei manchen Wellentypen hängt die Phasengeschwindigkeit von der 
Wellenläge
ab.Diese Phänomen nennt mann DISPERSION !Der Zusammenhang zwischen der 
Phasengeschwindigkeit und der Wellenlänge bez. Phasengeschwindigkeit und 
Omega, nennt man DISPERSIONSRELATION. Beispiel: Lichtwellen in Glas.
Beste Grüße.

Samuel schrieb:
> Es kommt mir schon langsam so vor als würden Professoren Lehrbücher
> schreiben, jedoch vergessen sie dabei vollkommen auf die Erklärungen und
> Details.

Warst du nicht in der Vorlesung? Da werden solche Dinge erklärt und man 
kann fragen.

Der Zusammenhang heisst Kramers-Kronig, und bedarf einiges an Theorie. 
das Quantenzeug lass mal weg. da fehlt viel zu viel.

trool schrieb:
> das Quantenzeug lass mal weg. da fehlt viel zu viel.

Leider muss ich all das nachholen, was nicht in der VO behandelt wurde 
um noch mitzukommen.

@Physiker
Also ich denke ich habe jetzt in etwa verstanden worum es da geht. Also 
im w-k Diagramm ist eigentlich der Zusammenhang erklärt zwischen der 
Frequenz und der Wellenlänge. Bisher dachte ich eigentlich immer, dass c 
= lambda * f allgemein gültig ist, dem ist aber nicht so. Also ich habe 
im Bild einmal ein w(k) Diagramm raufgestellt und versuche hiermal meine 
Interpretationen klarzumachen.

Also angenommen ich habe ein nicht dispersives Medium welches die 
Dispersionsrelation so wie im Bild (also quadratisch beschreibt). Es 
gilt demnach:

$$\omega(k) = \alpha k^2$$

wobei Alpha irgendeine Konstante ist. Wenn ich jetzt eine (sagen wir) 
elektromagnetische Welle in dieses Medium hineinschicke mit der 
Wellenlänge Lambda oder besser gesagt:

$$k=\frac{2\pi}{\lambda}$$

dann ergibt sich die Phasengeschwindigkeit dieser einen Welle zu:

$$v_p = \frac{\omega}{k}=\frac{\alpha k^2}{k}=\alpha k = \alpha \frac{2\pi}{\lambda}$$

Soweit so gut.
Das bedeutet ja lediglich, dass die Phasengeschwindigkeit abhängig ist 
von der Wellenlänge und zwar umgekehrt proportional. Das heißt nichts 
weiters, als das wenn ich eine E-Magn Welle mit einer größeresn 
Wellenlänge in das Medium befördere, dann wird die Phasengeschwindigkeit 
immer kleiner. Stimmt das?

Wenn ja, dann kommt jetzt das Mysterium: Theoretisch kann ich mir hier 
wie ich mit das im Bild auch eingezeichnet habe eine 
Gruppengeschwindigkeit berechnen:

$$\frac{d\omega}{d k}=2\alpha k$$

Nur, meine Frage ist: Wie kann ich diese Gruppengeschwindigkeit für 
diese eine einzige Welle jetzt nun interpretieren, dass das ganze auch 
einen Sinn macht? Ich habe doch lediglich eine einzige Welle 
hergenommen und sie durch das Medium geschickt, jedoch kann ich mir eine 
Gruppengeschwindigkeit ausrechnen. Nur ich kann mir nicht vorstellen, 
was jetzt genau mit dieser Gruppengeschwindigkeit schwingen soll???

Vielleicht zur Erklärung meiner Unverständlichkeit betrachtet doch 
einmal 2 Elementarwellen und die Summe daraus:

$$\begin{matrix} \phi_1 &=& cos(\omega_1 t - k_1 x)\\ \phi_2 &=& cos(\omega_2 t - k_2 x)\\ \text{Summe:} \ \phi_1+\phi_2&= & 2\cos \left ( t\frac{\omega_1 + \omega_2}{2} - x\frac{k_2 + k_1}{2} \right)* \cos \left ( t\frac{\omega_2 - \omega_1}{2} - x\frac{k_2 - k_1}{2} \right)\\ \text{Also:} \ \phi_{ges}&=& \cos\left(\omega t- k x \right )*\cos\left( \frac{\Delta \omega t}{2}- \frac{\Delta k x}{2}\right ) \end{matrix}$$

Hier definiert man die Phasengeschwindigkeit als den Quotienten der 
Mittelwerte:

$$v_p = \frac{\omega}{k}$$

und die Gruppengeschwindigkeit als den Quotienten der Differenzen der 
Frequenz und Wellenzahlen:

$$v_g = \frac{\Delta \omega}{\Delta k}$$

In diesem Fall ist !!absolut!! klar was mit Phasen und 
Gruppengeschwindigkeit gemeint ist. Denn die erste Schwingung mit w und 
k breitet sich mit der Phasengeschwindigkeit aus und der aufmodulierte 
Teil (also die 2. Schwingung) breitet sich mit der 
Gruppengeschwindigkeit aus.

NUN JETZT ZUM ENTSCHEIDENEN VERGLEICH: Im zweiten Fall habe ich 
klarerweise die Gruppenschschwindigkeit definiert und zwar als 
Quotienten der Differenzen der Frequenzen und Wellenzahlen.
Im ersten Fall hingegen (da wo die Dispersionsrelation schon in der 
Kurve vorgegeben war) bekomme ich eine Gruppengeschwindigkeit heraus 
obwohl ich nur eine einzige Welle habe.

Und meine Frage ist nun: WIE IN ALLER WELT KANN DAS DENN SEIN?

Aeh. Nein. Leider ganz falsch. Auch ein einzelner Puls erleidet 
Dispersion in einem dispersiven Medium.
Nehmen wir an, wir haben ein Medium ohne Dispersion. Das hat einen 
Brechungsindex, resp eine Dielektrizitaetskonstante, die effektiv 
konstant ist, dh unabhaengig von der Frequenz. Hier haben wir aber schon 
eine Gruppengeschwindigkeit, die kleiner wie die Phasengeschwindigkeit 
ist, denn die erste Flanke muss das Medium erst auslenken, einschwingen, 
Diese Polaristaion nimmt mir den ersten Teil des Pulses weg. Alle 
Frequenzen breiten sich aber gleich schnell aus.
Nehmen wir nun ein dispersiver Medium. Dessen Brechungsindex, resp die 
Dielektrizitaetskonstante ist von der Frequenz abhaengig. Ueblicherweise 
nimmt die Brechungsindex, resp die Dielektrizitaetskonstante mit 
zunehmender Frequenz ab. Dh die hoeherfrequenten Anteile laufen 
schneller.

Ich meine, an der o.g. Formel fehlt noch ein Sachverhalt. Bei der 
Betrachtung der Wellen / Geschwindigkeiten von Außen muss bei hohen 
Geschwindigkeiten auch die Lorenz-Verschiebung hinzugedacht werden, wie 
es bei der Betrachtung des bewegten elektrischen Feldes geschieht, um 
den Magnetismus selbst abzuleiten.

Leute, mir geht es jetzt nicht um die Randbedingungen. Ich verstehe von 
grundauf nicht wie ich mir eine Gruppengeschwindigkeit bei einer 
einzigen Welle vorstellen kann. Mir ist vorerst wurscht ob es eine em 
welle ist oder irgendwas anderes. Versteht ihr was ich meine?

C=lambda*f ist allgemein gueltig. Nur ist mit c die frequenzabhaengige 
geschwindigkeit im medium gemein

Erstmal danke dada. Ich möchte eine einzige welle durch ein dispersives 
medium schicken. Daraus ergibt sich eine phasengeschwindigkeit. Wieso 
aber ergibt sich für EINE EINZIGE WELLE eine GRUPPENGESCHWINDIGKEIT? 
Müssen fùr eine einzige welle die phasen und gruppengeschwindigkeit 
nicht gleich sein?

Samuel schrieb:
> Wieso
> aber ergibt sich für EINE EINZIGE WELLE eine GRUPPENGESCHWINDIGKEIT?

Tut es auch nicht. Für eine einzige Welle gibt es keine 
'Gruppen'geschwindigkeit. Bedenke aber auch das eine zeitlich endliche 
Welle nicht eine einzige Welle ist.

Wenn ich also eine harmonische Welle nehme und sie durch das dispersive 
medium schicke, so wirkt sich die Gruppengeschwindigkeit auf meine Welle 
nicht aus? Das beruhigt mich fùrs erste. Fürs zweite finde ich es 
komisch dass ich immer noch eine gruppengeschwindigkeit berechnen kann.

Also nochmal: wenn ich nur eine einzige Welle durch mein dispersives 
medium schicke, dann kommt es halt auf die frequenz an wie groß die 
phasengeschwindigkeit ist (auf meiner omega achse) jedoch wenn ich die 
Ableitung (gruppengeschwindigkeit) berechne und für die selbe frequenz 
einsetze so gibt es keine gruppengeschwindigkeit. Stimmt das so?

Samuel schrieb:
> Also nochmal: wenn ich nur eine einzige Welle durch mein dispersives
> medium schicke,

Fast. Diesen Satz kann man halt so nicht sagen. Also:

Samuel schrieb:
> Also nochmal: wenn ich nur eine einzige Welle durch mein dispersives
> medium schicke, dann kommt es halt auf die frequenz an wie groß die
> phasengeschwindigkeit ist (auf meiner omega achse) jedoch wenn ich die
> Ableitung (gruppengeschwindigkeit) berechne und für die selbe frequenz
> einsetze so gibt es keine gruppengeschwindigkeit. Stimmt das so?

Wenn Dein ganzer Raum mit einer Welle erfüllt ist (sie darf ja keinen 
Anfang und kein Ende haben, sonst wäre sie nicht monochromatisch).... 
der Rest stimmt dann so. (ausser Du meinst das irgendwie anders)

Hallo.

Da Du mit EINER Welle und irgendeiner Frequenz dieser Welle, keine 
Gruppe bildest, hast Du recht. Gruppengeschwindigkeit erst ab zwei 
Wellen!
Beste Grüße.

Hier noch mal eine andere Darstellung.

Physiker schrieb:
> Da Du mit EINER Welle und irgendeiner Frequenz dieser Welle, keine
> Gruppe bildest, hast Du recht. Gruppengeschwindigkeit erst ab zwei
> Wellen!

Ok ok, jetzt komme ich dem Problem schon näher, angenommen ich habe 2 
Wellen mit den Frequenzen f1 und f2 und aufgrund der Dispersionsrelation 
ermittelten Wellenlängen lambda1 und lambda2.  Ich habe diese zwei 
einzelnen elemtaren Sinuswellen in die Dispersionsrelation 
eingezeichnet.

Wie groß ist jetzt aber die Gruppengeschwindigkeit?  Wo kann ich das im 
w-k Diagramm ablesen?

Mein Problem ist ja, ich kann dieses Beispiel mit dem hier:

$$\begin{matrix} \phi_1 &=& cos(\omega_1 t - k_1 x)\\ \phi_2 &=& cos(\omega_2 t - k_2 x)\\ \text{Summe:} \ \phi_1+\phi_2&= & 2\cos \left ( t\frac{\omega_1 + \omega_2}{2} - x\frac{k_2 + k_1}{2} \right)* \cos \left ( t\frac{\omega_2 - \omega_1}{2} - x\frac{k_2 - k_1}{2} \right)\\ \text{Also:} \ \phi_{ges}&=& \cos\left(\omega t- k x \right )*\cos\left( \frac{\Delta \omega t}{2}- \frac{\Delta k x}{2}\right ) \end{matrix}$$

nicht so richtig kombinieren.

Da sind noch ein paar unschärfen in meinem Verständnis. Wer legt mir zum 
Beispiel die Geschwindigkeiten der Welle fest? Ich mein ich weiß ja, 
dass bei EM Wellen die Lichtgeschwindigkeit gilt, jedoch frage ich mich 
folgendes: Ist es IMMER so, dass wenn ich zwei Wellen mit verschiedenen 
Geschwindigkeiten in einem Medium messe, dass das Medium dispersiv sein 
MUSS? MUSS DAS SO SEIN?


Nochmal danke an dada und Physiker. Ihr seid bis jetzt meine Retter!!!

Ja, wenn zwei verschiedene Frequenzen (lass die Wellen hier sein), 
verschiedene Geschwindigkeiten aufweisen, dann ist das Medium dispersiv.

Hallo.

Vielleicht ist das für Dein Verständnis auch noch hilfreich!

Beste Grüße.