Hallo,
nehmen wir an, ich habe z.B. ein Sensor welcher mir eine lineare
Spannung von +-10 liefert und diesem ist ein sehr Breitbandiges Rauschen
0-500 kHz überlagert, mit einer Aplitude von ca. 5% des Grundsignals.
Dieses Signal wird ohne Aliasing Filter von einem AD-Wandler abgetastet,
mit einer beliebigen Abtastrate von z.B. 1kHz, damit wäre nach Shannon
eine Signalerfassung/Signalrekonstruktion von 500 Hz möglich.
Welche Werte bekommt der AD Wandler?
Nun alle Werte die in einem Zeitabstand von 0,001s vorliegen, das ist
klar. Aber von welcher Frequenz?
Oder ist es der momentane Wert der überlagerten Frequenzen zu diesem
Zeitpunkt? (Wäre ja logisch...)
Nehmen wir einen Wandler, der ein beliebig schmales Zeitfenster samplet.
Dann messen wir irgendwas, koennen aber nur bis 500Hz rekonstuieren.
Alle hoeheren Frequenzen werden mitgesamplet.
runtastic schrieb:> Sämtliche Frequenzen überhalb deiner halben Abtastfrequenz wird dir> volle Kanne in dein Nutzband gespiegelt ;-)
Genau. Und da oberhalb deiner halben Abtastrate bis zur tausendfachen
Bandbreite nur Rauschen ist, wird das entsprechend vielfach im
abgetasteten Signal vorhanden sein - falls der AD-Wandler nicht schon
TP-Charakteristik hat.
Fazit: es geht nichts über einen TP an der Stelle!
@ runtastic Was meinst du konkret mit Nutzband gespiegelt?
Ich weiß noch das dies der Alias Effekt ist und die Frequenzen oberhalb
der Nyquist (1kHz in meinem Beispiel).
Aber welchen Wert bekommt jetzt letztendlich mein AD Wandler aus dem
verrauschten Signal zum Abtastzeitpunkt?
Wäre das dann der überlagerte Wert der einzelnen Frequenzteile?
Sprich man müsste ja das ganze in viele Signale aufteilen in Betrag,
Frequenz und Phase. Addiert man all diese Signale in an einem Zeitpunkt
x zusammen, hat man dann das Rauschsignal an einem Zeitpunkt x?
In diesem Zeitpunkt x, der Abtastzeitpunkt wird das Rauschsignal
abgetastet, ist dies dann der Wert, welcher die überlagerten Signale
bilden?
Ich bin mir nicht sicher, ob ich Dir auf die folgende Weise wirklich
helfe, aber ich versuche es einmal.
In gewisser Weise steht Dir diese Überlagerungsgeschichte ein wenig im
Weg, denke ich. Denn wie käme sonst die Frage auf, zu welcher Frequenz
ein gewisser Abtastwert gehört.
Interessanterweise gibst Du auch selbst die korrekte Antwort vor:
>... der momentane Wert der überlagerten Frequenzen zu diesem
Zeitpunkt?
>Wäre das dann der überlagerte Wert der einzelnen Frequenzteile?
Denoch scheint Dich das nicht recht zu befriedigen und es ist schwierig
zu erkennen, woran das genau liegt. Einziger Anhaltspunkt ist die immer
wieder auftretende "Überlagerung".
Zunächst einmal ist der Abtastwert einfach nur ein Wert. Wie er
entsteht, ob durch Überlagerung oder sonst einen Prozess ist in erster
Linie nicht wichtig. Die kriegst einfach eine Folge von Werten. Du
kannst diese Werte graphisch darstellen. Sie ergeben einen "Verlauf".
Die Ordnung darin entsteht durch die zeitliche Abfolge. Ein wesentlicher
Punkt darin ist die Gleichmäßigkeit der Abfolge; die zeitliche Distanz
ist immer gleich (davon kann man übrigens auch abweichen, aber das ist
ein tieferliegendes Thema).
Wichtig ist, das über die gemessene Spannung erstmal nicht mehr gesagt
wird, als wie sie eben zeitlich verläuft.
Die ominöse "Überlagerung" nun, ist eigentlich ein Zwitter; d.h. sie
bezeichnet zwei voneinander verschiedene Dinge.
Die eine ist genauer eine "Zerlegung", eine Analyse. Die andere eine
Synthese, sie wird üblicherweise tatsächlich "Überlagerung" aber auch
"Addition" oder "Mischung" genannt.
Was ist aber nun wichtig daran für Deine Frage?
Man muss dazu wissen, dass die Zerlegung, eine Überlegung von Fourier,
sinngemäß so lautet, daß man jede periodische Funktion (in diesem
Zusammenhang ist das das gleiche wie ein Werteverlauf) in einfache
Funktionen, nämlich den Sinus und den Cosinus der Zeit zerlegt werden
kann, so das deren Addition wieder den ursprünglichen Werteverlauf hat.
Man muss dabei beachten, das er nicht gesagt hat, das diese Summe
tatsächlich aus einer Addition entstanden ist. Nein. Er sagt uns nur was
über die "Analyse" eines Werteverlaufs. Man kann nicht sagen, ob der
durch Überlagerung entstanden ist oder nicht.
Insofern sind das einfach Werte die Du da misst. Wie sie enstanden sind,
geht aus ihnen nicht hervor.
Auf der anderen Seite kann man (wie Du weisst) tatsächlich Werte von
Verläufen verschiedener Funktionen einander überlagern; d.h. addieren.
Beachte hier, das nicht notwendigerweise Sinusfunktionen eine
Überlagerung bilden. Das geht vielmehr mit jeder Funktion (mit einigen
Einschränkungen, die ich hier aber mal beiseite lasse). Jedenfalls kann
das irgendeine Funktion sein. Eine e-Funktion beispielsweise.
Witzig, ist, das man, auch wenn die ursprünglichen Funktionen keine
Sinus- resp. Cosinusfunktion waren, dennoch eine Analyse, d.h. eine
Zerlegung so durchführen kann als ob die Funktion aus Sinus- und
Cosinus entstanden ist.
Das scheint vielleicht etwas akademisch. Aber es hat seinen Grund das
ich das so erkläre.
Du fragst nämlich (bzw. gibst als mögliche Antwort vor):
>Oder ist es der momentane Wert der überlagerten Frequenzen zu diesem
Zeitpunkt?
Darauf muss man antworten "Jein". Einerseit kann man die Werte, wie
oben beschrieben in Sinus- und Cosinusfunktionen zerlegen. Und was wir
als "Elektriker" kenne, was diesen Dingen entspricht sind "Frequenzen",
genauer eigentlich periodische Sinus-Verläufe.
Andererseits aber weiss man nicht wirklich auf welche Weise diese Werte
tatsächlich entstanden sind. Ein Teil der Antwort ist also auch "Nein".
Du fragst schliesslich:
>Aber von welcher Frequenz?
Dazu muss man wissen, das einem einzelnen Abtastwert keine Frequenz
zuzuordnen ist. Das weisst Du wahrscheinlich, aber möglicherweise ohne
den Grund dafür zu kennen. Dabei ist es recht einfach, schon fast
primitiv. Eine Frequenz lässt sich überhaupt nur im Zusammenhang mit der
Zeit, mit dem Ablauf der Zeit sinnvoll beschreiben. Zu einem Zeitpunkt
t_1 muss ein gewisser Zustand vorliegen, zu einem anderen Zeitpunkt t_2
muss ein anderer Zustand vorliegen (es könnte der selbe sein, aber dann
ändert sich nichts). D.h Du kannst von einem einzelnen Wert nicht sagen
das er eine Frequenz enthält, bzw. das er von einer gewissen Frequenz
sei.
Davon strikt unterscheiden, musst Du Dein eventuelles Wissen, das Du da
gerade ein synthetisiertes Signal abtastest; eines das zusammengesetzt
ist; überlagert aus verschiedenen Signalen.
Das Wissen in Deinem Kopf ist etwas ganz anderes als die Zustände Deiner
Schaltung, die darauf reagiert und auf die Änderung von Zuständen.
Ich nehme an, das ich Dein Problem möglicherweise nicht getroffen haben
könnte, aber ich hoffe das Dir in diesem Fall, die Begriffe und
Zusammenhänge helfen Deine Frage etwas anders zu stellen, damit man
Deinem gedanklichen Problem auf die Spur kommt.
Ich will nochmal kurz (sic!) auf das Rauschen eingehen, denn es scheint
mir bei Deiner Frage ein Rolle zu spielen, auch wenn ich sie nicht genau
einschätzen kann.
Es gibt Rauschquellen mannigfacher Art mit ebenso mannigfaltiger
Charakteristik. Z.B. Widerstandsrauschen, Diodenrauschen aber auch
Strahlung durch Elektronenübergange in der Sonne oder Spherics. Man
könnte streiten ob das alles Rauschen ist aber es sind qualitativ
insofern Rauschsignale als das sie irregular sind und darauf kommt es
an.
Ich kenne mich in der Physik nicht wirklich tief aus, aber der Punkt
ist, das viele dieser Prozesse entweder bekanntermaßen keine
Schwingungen sind, auch keine Sinusförmigen und das letzendlich Energie
in Stufen (die berühmten Quanten) ausgetauscht wird. Für unsere
(haushaltsüblichen) Auflösungen sind aber jedenfalls Prozesse dabei die
gerade nicht sinusförmig verlaufen.
Das hat nichts damit zu tun, das man sie nicht in Sinus- und
Cosinusförmige Einzelanteile zerlegen kann. Fourier sagt, wie oben
geschrieben, dass man das man immer kann (solange sie als periodisch
angenommen werden), egal ob der erzeugende Prozess nun in seiner
"Essenz" sinusförmig verläuft oder auch nicht.
@ConvertsQuestionsToAnswers
Danke! :)
Ich denke ich bin mir jetzt sicher.
Ich habe einen Wert y zu einem Zeitpunkt x (Abtastzeitpunkt).
Egal wie dieser entstanden ist...
Fourier dinet lediglich zur Analyse bzw. Synthese von periodischen
Signalen.
Ich weiß auch das man die Fourier Transormation mit e-Funktionen machen
kann, dies ist aber ein anderes Thema (komplexe Zahlen ect.)
Sobald aber praktisch ein Signal mit nicht periodischen Werten auftritt
hat Fourier keine Gültigkeit mehr.
Um nun ein sauberes Signal (bis auf Restwelligkeit unterhalb fg vom
Filter)zu erhalten, müsste ich das Ganze filtern und gut ist.
>Sobald aber praktisch ein Signal mit nicht periodischen Werten auftritt>hat Fourier keine Gültigkeit mehr.
Strenggenommen nicht. Aber für praktische Zwecke wird das unterstellt.
>Um nun ein sauberes Signal (bis auf Restwelligkeit unterhalb fg vom>Filter)zu erhalten, müsste ich das Ganze filtern und gut ist.
Das hat (wenn ich Dich recht verstehe) gewisse Gründe die mit der
"Faltung" zu tun haben.
Ich empfehle Dir als ausgezeichnete Lektüre den DSP-Guide unter
http://www.dspguide.com/ Leider in Englisch. Aber das Thema ist in so
gut verständlicher Sprache und in solch kleinen Schritten erklärt, dass
es sich lohnt dafür Englisch zu lernen. Ich kenne kein vergleichbares
Werk in deutscher Sprache. (Lasse mich aber gerne eines besseren
belehren).
So ungefähr...
Tatsache ist: Sinnvoll abtasten und mit Fourier.., oder
sonstwas weiterverarbeiten kann man nur, wenn die
Eingangsfrequenz auf die halbe Abtastfrequenz begrenzt
ist.
Bei deinem 500 kHz Rauschen müsstest du mit 1 MHz
samplen und kannst danach digital was immer du willst
(und kannst) herausfiltern.
Ich habe da mal eine Frage, die sich dieser hier anschließt:
Angenommen ich verletze Nyquist und filtere vorher nicht, so kann ich im
Spektrum sehen, dass Frequenzen oberhalb fs/2 nach vorne gespiegelt
werden.
Dadurch geht mein Spektrum "kaputt", ich kann nicht mehr Nutzsignal von
Alias unterscheiden; aber ich verstehe das Problen danach nicht.
Wenn ich mein Signal im Zeitbereich abtaste, "treffe" ich doch immer
noch den originalen Signalverlauf. Ich kann also unter Umständen damit
weiter arbeiten? Versteht ihr was ich meine? Ich kann zwar zwischen den
Stützstellen das Signal nicht vollständig rekonstruieren, aber meine
gemessenen Werte sind ja nach wie vor richtig?! Wann macht alias also
ein Problem und wann nicht?
Oder angenommen ich sample einen Sensor, der mit weißem Rauschen
überlagert wird mit z.B. 1kHz , dezimiere (mit lowpass) auf 10Hz. Diese
auf 10Hz dezimierten Daten lasse ich mir z.B. anzeigen, oder lese sie
aus. Aber nur mit 2 Mal in der Sekunde. Im Prinzip tritt dann wieder ein
resampling auf, meine Werte stimmen aber zu den Zeitpunkten überein? Was
passiert dann mit dem Rauschen? Kann ich das danach immernoch mit der
selben Varianz beschreiben?
Danke und schöne Grüße,
Jan
Jan K. schrieb:> Wenn ich mein Signal im Zeitbereich abtaste, "treffe" ich doch immer> noch den originalen Signalverlauf. Ich kann also unter Umständen damit> weiter arbeiten? Versteht ihr was ich meine? Ich kann zwar zwischen den> Stützstellen das Signal nicht vollständig rekonstruieren, aber meine> gemessenen Werte sind ja nach wie vor richtig?! Wann macht alias also> ein Problem und wann nicht?
Deine Aufzeichnung enthält aber nur einen Haufen diskreter Messwerte,
ohne dass man direkt einen Zusammenhang erkennt. Du möchtest doch aber
damit weiter Arbeiten, Informationen aus dem Signal schliessen. Und da
muss man schon wissen, ob man nun ein Signal mit 80kHz oder 120kHz hat.
Gruß,
René
Es geht mir nicht darum, den konkreten Signalverlauf zu beschreiben, ich
bin sozusagen am Ende meiner Verarbeitung. Die Daten sollen wenn
überhaupt auf statistische Eigenschaften untersucht werden
(Rauschen->mean+cov), z.B. bei einer Langzeitmessung, die ich nur mit 2
Hz ausführen kann, oder aber ausgegeben (Display, UART) werden. Dort
zählen eh nur noch aktuelle Werte.
Die Frage ist eher, ob sich die statistischen Eigenschaften drastisch
verändern können oder ob sie erhalten bleiben. Wenn ich das Signal als
nicht deterministisch annehme, kann ich eh auf keinen konkreten Verlauf
zurückschließen.
Nur zur Beruhigung: Innerhalb der Verarbeitungskette (im uC) wird immer
auf Nyquist geachtet und entsprechend hoch abgetastet und dann dezimiert
und schließlich verarbeitet.
Hier geht es aber um das "Ende" der Verarbeitung, oder eben um eine
Langzeitmessung, die ich nicht im Controller speichern kann und daher
per UART übertragen muss.
Danke für eure Hilfe,
Jan
Wenn dein Rauschen gleichmässig verteilt ist, kannst Du eine Aussage
über die zu erwartenden Anteile der Spiegelfrequenzen machen, in dem Du
deren Summe auf die Energiemenge beziehst, die in dem von Dir
betrachteten Band liegen. Wenn Du 5% über 500kHz hast, dann liegen 95%
im Gesamtband und bei Abtastung von 1kHz nur 1/500 davon im auswertbaren
Bereich. Das wären dann 95/500 = 0,2 mit S/N = 25!!!!
Wenn Du aber den kompletten Nutzanteil der 95% in dem Bereich unter
500Hz hast, dann bleibt es bei S/N = 95/5.
Um das komplett sicherzustellen, also dafür zu sorgen, dass nur der
Störanteil im Betrachtungsband wirkt, musst Du alles wegfiltern, was
mehr, als 500Hz hat. Nur dann sind deine "guten" Frequenzen unterhalb
von 500 auch nur von "bösen" unterhalb von 500 gestört und nicht etwa
auch noch von ungewollten Spiegelfrequenzen. Das Problem ist nämlich,
dass auch eigentliche Nutzsignale oberhalb von 500 dann zu ungewollten
Anteilen führen.
Jan K. schrieb:> Dort zählen eh nur noch aktuelle Werte.
Schön wäre es. Wenn du z.B. ein durch Netzeinstreuung mit Netzfrequenz
überlagertes Signal mit 50 Hz abtastest und die Netzfrequenz gerade bei
50.01Hz ist, siehst du in deinem abgetasteten Signal durch Aliasing eine
langsame Schwingung mit 0.01Hz. Willst du das?
Mike schrieb:> Jan K. schrieb:>> Dort zählen eh nur noch aktuelle Werte.> Schön wäre es. Wenn du z.B. ein durch Netzeinstreuung mit Netzfrequenz> überlagertes Signal mit 50 Hz abtastest und die Netzfrequenz gerade bei> 50.01Hz ist, siehst du in deinem abgetasteten Signal durch Aliasing eine> langsame Schwingung mit 0.01Hz. Willst du das?
Das stimmt, aber bei der Auswertung von z.B. Sensorsignalen wird ja
oftmals eine relative und keine absolute Amplitudenänderung ausgewertet.
Da ist es dann auch nicht schlimm, wenn das Nutzsignal dann sehr
niederfrequent "oszilliert". Habe ich selbst schon genau so gemacht. Das
hat aber natürlich auch Grenzen.
Third Eye schrieb:> Das stimmt, aber bei der Auswertung von z.B. Sensorsignalen wird ja> oftmals eine relative und keine absolute Amplitudenänderung ausgewertet.> Da ist es dann auch nicht schlimm, wenn das Nutzsignal dann sehr> niederfrequent "oszilliert".
Was mit den Abtastwerten genau passiert, hat der TO nicht beschrieben.
Die Sache mit 50.01 und 50Hz war nur ein Beispiel zur Verdeutlichung.
Bei verrauschtem Eingangssignal entstehen natürlich alle möglichen
gespiegelten Frequenzanteile. Im allgemeinen Fall ist das überhaupt
nicht auf "niederfrequent oszillieren" beschränkt.
Mike schrieb:> siehst du in deinem abgetasteten Signal durch Aliasing eine> langsame Schwingung mit 0.01Hz. Willst du das?
die man wegfiltern würde und blubb, ist das Problem dahin.
