Mathematische Behandlung von Signalrauschen

Hai!

Hans schrieb:
> Und zwar habe ich ein Signal, welches aus einer Summe
> von zwei e-Funktionen besteht.
> Also in etwa f(t) = A * exp(-t/tau_a) + B * exp(-t/tau_b).

Okay. Eine Linearkombination also. Gut.

> Jetzt bin ich grundsätzlich an den beiden Amplituden A
> und B interessiert.

Rückfrage: Die Zeitkonstanten tau_a und tau_b sind also
a priori bekannt? Das ist wichtig...

> In einer idealen Welt ohne jegliches Rauschen, lässt sich
> das durch einen Fit an diese Signalform herausfinden.

Das geht auch in der realen Welt mit Rauschen. Die
Approximation mit der Gaußschen Fehlerquadratmethode
klappt - was komischerweise weithin unbekannt ist - mit
beliebigen Basisfunktionen. Voraussetzung ist nur, dass
die Modellfunktion eine Linearkombination ist, also die
Gestalt A * f1(x) + B * f2(x) +... hat und dass nur die
Koeffizienten A, B, ... gesucht sind. (Deswegen meine Frage
nach den Zeitkonstanten.)

Den genauen Algorithmus habe ich nicht präsent; sollte in
guten Numerik-Büchern zu finden sein (z.B. "H.R.Schwarz,
Numerische Mathematik").

> Meiner Meinung nach sollte auch die Differenz der beiden
> Zerfallskonstanten tau_a und tau_b eine Rolle spielen,
> denn im Falle von tau_a = tau_b ist es ja unmöglich die
> Amplituden zu rekonstruieren.

Ja, natürlich. Die einzelnen Basisfunktionen müssen
natürlich verschieden sein, sonst gibt es keine eindeutige
Lösung.

Grusz,
Rainer

Für bekannte tau_a, tau_b läßt sich das mit linearer Regression lösen, 
script anbei.

math rulez
Cheers
Detlef

clear
t=0:0.1:10;
tau_a=1;
tau_b=2;
A=3;
B=4;
f=A*exp(-t/tau_a)+B*exp(-t/tau_b);
f=f+0.1*randn(size(f));
M=[exp(-t/tau_a).' exp(-t/tau_b).'];

coff=inv(M'*M)*M'*f.'
% Das sind die beiden rekonstruierten Koeffizienten

return