Spektrum eines frequenzmodulierten Signals

Hallo!

Ich versuche im Moment das Zustandekommen des Spektrums eines 
frequenzmodulierten Signals zu verstehen. Gegeben ist ein Träger mit der 
Amplitude A_T und der Kreisfrequenz w_T. Dieser wird sinusförmig 
moduliert. Das Modulationssignal hat die Kreisfrequenz w_M. Der 
Frequenzhub beträgt dw. Nachfolgend versuche ich erstmal das FM-Signal 
zusammenzuschustern.

Modulationssignal:

$$A_\text{modulator}(t) = \sin(\omega_M t)$$

Frequenz des FM-Signals:

$$\omega_\text{fm}(t) = \omega_\text{Träger} + \omega_\text{Modulator}(t)$$

$$\Rightarrow \omega_\text{fm}(t) = \omega_T + \Delta\omega \cdot \sin(\omega_M t)$$

Mit

$$\dot{\varphi} = \omega \text{ und } A(t) = A_\text{max} \cdot \sin(\varphi(t))$$

$$\Rightarrow A_\text{fm}(t) = A_T \cdot \sin(\int [\omega_T + \Delta\omega \cdot \sin(\omega_M t)]dt)$$

$$\Leftrightarrow A_\text{fm}(t) = A_T \cdot \sin(\omega_T t - \frac{\Delta\omega}{\omega_M} \cdot \cos(\omega_M t) + \varphi_0)$$

Soweit verstehe ich was vor sich geht. Nun wurde auf der Webseite 
http://elektroniktutor.de/signalkunde/fm.html eine Umformung gemacht bei 
der die einzelnen Frequenzen als Summe erscheinen. Aber wie kommen diese 
zustande? Wenn ich den Phasenwinkel des FM-Signals ableite erhalte ich 
doch alle Frequenzen und es ergibt sich ein maximales Spektrum von 
(f_T-dw) bis (f_T+dw)! Warum ist dann das Spektrum in Wirklichkeit 
breiter? Kann das jemand mit einfachen Worten erklären?