Linearphasigkeit Beweis

Johann C. schrieb:
> ich bereite mich gerade auf eine Uni-Prüfung vor

Semester hat doch gerade erst angefangen.
Sicher daß es nicht einfach nur eine Übungsaufgabe ist die du lösen und 
abgeben sollst?
:-)

Hallo Johann

Beispiel für ein Filter 2. Ordnung mit gerader Impulsantwort. Die 
Übertragungsfunktion laute:

$$G(z) = 1 + z^{-1}$$

dann lautet die DTFT davon

$$G(\Omega) = 1 + \exp\left( -j\,\Omega\right)$$

wir klammern

$$\exp\left(-\frac{j\,\Omega}{2} \right)$$

aus und erhalten:

$$G(\Omega) = \exp\left(-\frac{j\,\Omega}{2} \right) \cdot \left( \exp\left(+\frac{j\,\Omega}{2} \right) + \exp\left(-\frac{j\,\Omega}{2} \right)\right)$$

Nun wird Euler angewandt:

$$\exp\left(j\,x\right) = \cos x + j\,\sin x$$

 und im Hinterkopf behalten: Cosinus ist gerade, Sinus ist ungerade... 
also

$$G(\Omega) = \exp\left(-\frac{j\,\Omega}{2} \right) \cdot \left( \cos\frac{\Omega}{2} + j\,\sin\frac{\Omega}{2} + \cos\frac{\Omega}{2} - j\,\sin\frac{\Omega}{2} \right)$$

der Sinus entfällt und man erhält

$$G(\Omega) = \underbrace{ \exp\left(-\frac{j\,\Omega}{2} \right)}_{A} \cdot \underbrace{ 2 \cos \frac{\Omega}{2} }_{B}$$

Der mit A betitelte Ausdruck hat immer Amplitude 1, er dreht nur an der 
Phase. Der Ausdruck B hingegen hat immer Phase 0° und  beeinflusst nur 
die Amplitude. Also ist der Phasengang von dem System

$$\varphi(\Omega) = \arg \exp\left(-\frac{j\Omega}{2}\right) = -\frac{\Omega}{2}$$

und die Gruppenlaufzeit ist bekanntlich

$$t_{gr} = \frac{ d\varphi }{ d\Omega } = -\frac{1}{2}$$

Ein Filter mit höherer als 2. Ordnung kannst du in zwei Teilfilter 
zerlegen und wieder die Rechnungen oben durchführen usw.

Filter mit ungerader Impulsantwort kannst du jetzt selber herleiten. ;-)

Dafür leitest du jetzt die ungeraden Filter hier her.... ;-)