Hey Leute,
ich habe hier eine Übungsaufgabe über ADC und Filter für eine Klausur:
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Ein 16 Bit ADC hat einen Eingangsspannungsbereich von 0V - 5V.
a) Wie groß ist die Spannungsauflösung und wie groß der maximale
Quantisierungsfehler?
b) Mit diesem ADC soll ein Sprachsignal(30Hz bis 15kHz) digitalisiert
werden. Wie groß ist die Abtastrate mindestens zu wählen?
b.1) Wie groß ist die Abtastrate sinnvollerweise(in der Praxix) zu
wählen und warum?
c) Welche Anforderungen sind an ein Anti-Aliasing-Filter(AAF) für
Aufgabe b) zu stellen(= wie hoch muss die Dämpfung des AAf bei f=fa/2
sein), damit die Auflösung des ADCs nicht nennenswert reduziert wird?
d) Ließe sich mit einem Tiefpass 1. Ordnung in diesem Fall ein
geeignetes AAF realisieren und warum?
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zu a): Das ist einfach --> 5V/(2^16) = 76,29uV. Der Quantisierungsfehler
ist entweder 76,29uV oder 76,29uV * 1/2. Kommt halt drauf an wie man die
Quanisierungskennlinie zeichnent, also entweder U_lsb oder U_lsb/2. -->
Richtig?
zu b): Das Abtasttheorem besagt: fs >= 2*fg_max --> Unsere höchstes
auftretendes Signal ist 15kHz, also muss mit mind. 30kHz gesampled
werden. --> Richtig?
zu b.1): Hm naja da brauche ich ev. eure Hilfe. Je höher fs desto besser
oder? Aber wie wäre sie jetzt sinnvoll zu wählen?
zu c): Also welche Dämpfung muss man bei f=fs/2 haben? Naja kommt drauf
an? Wenn fs = 15kHz ist, dann ist das halt unsere maximalste
Signalfrequenz.
Es ist ja sinnlos die Dämpfung von einer Frequenz, die oberhalb von
fg_max ist oder? Ich meine wir wollen das AAF ja so dimensionieren, dass
es hab fg_max dämpft und das ist im unserem Fall 15kHz, richtig?
Wir haben auf geschrieben, dass sich die sogenannten "Sperrdämpfung as"
folgendermaßen berechnet: 6dB * n(Bitanzahl) = 6dB*16 = -96dB(Minus, da
es ja eine Dämpfung ist)
Diese Formel haben wir nicht hergeleitet, aber kann mir einer sagen, von
wo das 6*n stammt?
Hat das was mit der SNR-formel zu tun? Ich denke das reicht erstmal, ich
hoffe ihr könnt mir hier weiterhelfen.
mfg
markus
Hm, ist zu lange her, aber ich denke mal, dass das Filter das Nutzsignal
nicht dämpfen sollte und die Abtastfrequenz sollte so hoch sein, dass
alles was das Filter durchlässt (also auch den Rest oberhalb des
Nutzsignals bis zum Cutoff) nicht zum Aliasing führt.
Wenn du meinen Keller aufräumst findest du bestimmt noch die alten
Skripte aus dem Studium ;-)
Oh,
mal eine Schulfrage, wo sich schon jemand Gedanken gemacht hat!
Immerhin ist deutlich zu erkennen, dass es sich um eine
SCHUL-Frage handelt, weil Probleme mit real existierenden
AD-Wandlern nicht abgefragt werden.
a) OK
(Allerdings könnte ein nicht-idealer AD-Wandler weitere
Fehler rzeugen.)
b) OK
b1), c) und d) "beißen sich in den Schwanz", weil sie
sich gegenseitig beeinflussen:
Der Grundsatz ist, dass bei fs/2 eben nur noch maximal
1/2^16 = 1/65536 des Eingangssignals durchkommen darf, was
einer Dämpfung von gut 96 dB entspricht.
Zur Erinnerung:
Der Faktor 2 entspricht 20 * log(2) = 6 dB
Der Faktor 1/2 entspricht 20 * log(2) = -6 dB
Der Faktor 2 entspricht auch jedem Bit, dass man als Auflösung
des ADC hat.
Ein Tiefpass 1. Ordnung bewirkt oberhalb der Grenzfrequenz
eine Dämpfung von 6 dB pro Oktave (pro Frequenzverdopplung).
Ein Tiefpass 1. Ordnung mit fg = 15 kHz dämpft bei
30 kHz 6 dB
60 kHz 12 dB
usw...
Wir müssen auf 96 dB kommen, d.h. fs wird gewaltig groß!
b1) kann man reell nur so beantworten, dass es das wirtschaftliche
Geichgewicht aus Samplerate und Filterqualität ist.
Ok, danke!
Bernd schrieb:> Der Grundsatz ist, dass bei fs/2 eben nur noch maximal> 1/2^16 = 1/65536 des Eingangssignals durchkommen darf, was> einer Dämpfung von gut 96 dB entspricht.
1. Wie bist du auf diese 96dB gekommen? Auch Bitanzahl*6dB?
2. Meint man nun mit fs/2 immer die maximale auftretende Frequenz im
Eingangssignal? Oder was ist da? Vielleicht kann uns das Bild im Anhang
weiterhelfen, hier ist z.b. bei fs/2 die Amplitude = nahezu null.
2.1 Warum muss man das Signal mit dem Filter multiplizieren, um Bild 2
zubekommen? Sieht das AAF nicht schon von haus aus so aus?
2.2 Ist Bild 3 schon gefiltert? Also abgetastet und gefiltert?
3. Kommt bei fs/2 immer nur 1/(2^n) des Signals durch? Aber was bedeutet
das genau?
3.1 Nimmt man jetzt immer die maximalste auftretende signalfrequenz her
und das ist dann unser fg des AAF's(in dem fall Tiefpass 1. Ordnung).
Und bei der fg sinkt ja im Amplitudengang der Graph um 20db/Dekade. Also
braucht man doch 5 Dekaden, um 96dB erreichen zu können.
Aber ich vestehe es nicht. ABer warum ist dann fs von dieser Dämpfung
abhängig? Was muss fs dann sein bei den 96dB? Wie kann ich mir das
bildlich vorstellen?
Ich denke, wenn ich etwas bildlich vor mir haben, dann geht es viel viel
viel einfacher es zu verstehen :).
zu b1) irgendeine "industriestandard" Abtastrate vorschlagen. Fast alle
Soundkarten können z.B. 44.1kHz oder 48kHz. Begründung: standardisierte
Bausteine, fertige Routinen, einfache Weiterverarbeitung mit fremden
Programmen.
markus schrieb:> 1. Wie bist du auf diese 96dB gekommen? Auch Bitanzahl*6dB?
Ich bin zwar nicht darauf gekommen, aber ja, es ist so. Genau ist es der
Faktor 20*log(2) ≈ 6.02
> 2. Meint man nun mit fs/2 immer die maximale auftretende Frequenz im> Eingangssignal? Oder was ist da? Vielleicht kann uns das Bild im Anhang> weiterhelfen, hier ist z.b. bei fs/2 die Amplitude = nahezu null.
Zunächst ist das die halbe Abtastfrequenz. Um unverfälscht wiedergeben
zu können, dürfen keine Signalanteile oberhalb der halben Abtastfrequenz
liegen.
> 2.1 Warum muss man das Signal mit dem Filter multiplizieren, um Bild 2> zubekommen? Sieht das AAF nicht schon von haus aus so aus?
Man multipliziert die Spektralfunktion mit der Übertragungsfunktion des
Filters. Für das Signal selber (Zeitfunktion) ist es eine Faltung.
> 2.2 Ist Bild 3 schon gefiltert? Also abgetastet und gefiltert?
Naja, es hat offenbar nur noch wenig Spektralanteile oberhalb fa/2. Kann
entweder bereits im Quellsignal so sein oder es wurde eben gefiltert.
> 3. Kommt bei fs/2 immer nur 1/(2^n) des Signals durch? Aber was bedeutet> das genau?
Wo kommt es durch? Alle Spektralanteile oberhalb fa/s werden durch die
Abtastung um fa/2 gespiegelt und landen nach der Rückwandlung unterhalb
fa/2. Deshalb soll oberhalb fa/2 ein Filter dafür sorgen, dass keine
Signalanteile da sind.
> 3.1 Nimmt man jetzt immer die maximalste auftretende signalfrequenz her> und das ist dann unser fg des AAF's(in dem fall Tiefpass 1. Ordnung).> Und bei der fg sinkt ja im Amplitudengang der Graph um 20db/Dekade. Also> braucht man doch 5 Dekaden, um 96dB erreichen zu können.
Mit einem Filter 1. Ordnung schon. Deshalb sind ja da auch eher Filter
hoher Ordnung zu finden.
>> Aber ich vestehe es nicht. ABer warum ist dann fs von dieser Dämpfung> abhängig?
fs ist nicht grundsätzlich von der Filterdämpfung abhängig. Du kannst
auch das Filter weglassen, hast dann aber die bereits unter 3. genannten
Störungen. Wenn du korrekt arbeiten willst, dann musst du ein Filter
bauen, das die im Nutzsignal vorkommenden Anteile oberhalb fa/2 auf
-96dB unter Vollaussteuerung hält. Man könnte auch von der
Frequenzverteilung des Quellsignals profitieren. Audiosignale haben
üblicherweise bei 15kHz keine so hohen Amplituden mehr - das könnte man
mit berücksichtigen.
> Was muss fs dann sein bei den 96dB? Wie kann ich mir das> bildlich vorstellen?
Du hast eine Nutzbandbreite. Z.B. die genannten 15 kHz.
Du entwickelst also ein Filter mit der Grenzfrequenz 15kHz irgend einer
höheren Ordnung (oder auch nur 1. Ordnung).
Jetzt schaust du, bei welcher Frequenz du die 96dB Dämpfung erreichst.
Das ist dann deine halbe Abtastfrequenz.
Mit einem Filter erster Ordnung brauchst du etwa 2 GHz als
Abtastfrequenz! (Wenn ich richtig gerechnet habe)
HildeK schrieb:> Mit einem Filter erster Ordnung brauchst du etwa 2 GHz als> Abtastfrequenz! (Wenn ich richtig gerechnet habe)
So kann man das nicht rechnen. Man muss schon eine plausible Verteilung
der Frequenzen im Sprachsignal annehmen und da liegt der Schwerpunkt bei
300Hz-3000Hz. Darüber und darunter tut sich nicht viel und dort wird
auch nichts durch aliasing gestört. Von daher ist bei einem sinnvollen
SNR auch mit einem Filter erster Ordnung mit einer überschaubaren
Überabtastung ein akzeptables Signal zu erzeugen, da es bei der späteren
DAC ebenfalls nochmal durch einen AAF läuft.
herbert schrieb:> o kann man das nicht rechnen. Man muss schon eine plausible Verteilung> der Frequenzen im Sprachsignal annehmen
Dem stimme ich zu, ich hatte dies auch angedeutet:
HildeK schrieb:> Audiosignale haben> üblicherweise bei 15kHz keine so hohen Amplituden mehr - das könnte man> mit berücksichtigen.
Aber in der Aufgabenstellung war keine derartige Verteilung angegeben,
nur die Aussage, dass es sich um ein Sprachsignal(30Hz bis 15kHz)
handelt.
Sorry für den Doppelpost.
herbert schrieb:> da es bei der späteren> DAC ebenfalls nochmal durch einen AAF läuft.
Zum dem Zeitpunkt sind die Spiegelfrequenzen bereits in den Nutzbereich
gelangt und können nicht wieder entfernt werden!
Das Filter nach dem DAC sorgt nur dafür, dass die entstehende
periodische Wiederholung um n*fa unterdrückt wird. Dieser Anteil ist bei
hoher Abtastfrequenz sowieso weit weg und bei knapper Abtastfrequenz
kann man wieder damit argumentieren, dass nur noch wenig im hörbaren
Bereich vorhanden ist.
Beispiel: fa=32kHz. fg=15kHz
Dann werden die Signalanteile zwischen 16kHz (fa/2) und 0 auf den
Bereich 16kHz bis 32kHz (fa) gespiegelt. Ein Signal bei z.B. 15kHz
landet dann nochmals bei 17kHz nach dem DAC ohne Ausgangsfilter. Da es
vorher schon einen geringen Anteil hatte und zudem 17kHz noch weniger zu
hören ist, entspannt das die Lage.
HildeK hat deine Rückfragen zu meinem Beitrag sehr gut beantwortet,
aber wohl auf etwas zu hohem Niveau.
Falls du es WISSEN willst, kann ich es ja noch mal mit einfacheren
Worten probieren.
Übrigens hatte ich wohl fs und fa vertauscht, weil die Abtastfrequenz
außerhalb der Schule fast überall Sample-Frequenz Fs heißt...
zu 1) Dass 6 dB einem Spannungsverhältnis von 2 : 1 entspricht, hatte
ich schon beschrieben.
Da bei einem AD-Wandler mit jedem Bit die Auflösung um den Faktor 2
steigt, muss ein störender Signalanteil, der nicht merkbar werden soll,
gegenüber den "erlaubten" Signalanteilen um den gleichen Faktor kleiner
werden.
Also gilt auch hier Bitanzahl * 6 dB
Ansonsten deuten deine Fragen darauf, dass dir das Abtasttheorem
noch garnicht bildlich klar geworden ist.
Fangen wir mal damit an:
Warum drehen sich Wagenräder in Westernfilmen beim Beschleunigen
erst immer schneller, werden langsamer. Bleiben stehen, drehen sich
rückwärts, bleiben stehen und drehen sich wieder vorwärts?
Da ist das Abtasttheorem bildlich zu sehen!
Es wurden 24 Bilder pro Sekunde (Abtastungen!) aufgenommen. Wenn sich
das Rad in 1/24 s genau um einen halben Speichenabstand dreht (fs =
fa/2), scheint es auf dem Film zu stehenzubleiben (und doppelt so viele
Speichen wie im Stand zu haben).
Wird die Kutsche schneller, dreht sich das Rad wieder langsam, dann
immer schneller, aber rückwärts!
Hier wird fs > fa/2, aber die Wirkung ist, als ob fs = fs - fa/2 ist.
Auf Tonfrequenzen angewandt, bedeutet dies, dass nur Frequenzen
fs < fa/2 richtig erfasst werden. Ist fs ein wenig höher, erscheint
sie im Signalverlauf der ADC-Werte als tiefer Ton. Also ein Brummen,
statt eines hohen Glockentons.
Das muss vermieden werden! Daher muss man Tonfrequenzen ab fs = fa/2
unterdrücken! Und dies geschieht mit einem Tiefpass.
Wenn du das verstanden hast, kannst du nach dem "gespiegelten Spektrum"
fragen. - Oder es schon selbst erklären. :-)
Hm ok danke.
Ja, sagen wir ab nun, dass fs=sampling_frequency und fg=grenzfrequenz
bzw. maximale auftretende Signalfrequenz.
1. Also meine maximalste Signalfrequenz ist = 15kHz. Also muss jetzt die
Grenzfrequenz fg meines Tiefpasses = 15kHz sein, Richtig?
2. Und fg < fs/2, d.h. die höchste auftretende Signalfrequenz soll
kleiner wie die halbe Abtastfrequenz sein. Richtig?
3. Und je mehr Bit, desto stärker muss gedämpft werden. Aber macht das
denn auch Sinn?
4. Mein man mein Spektrum ansieht, also das dritte Bild, dann ist doch
da, wo ich das erste mal eingeringelt habe fs/2 oder?
5. Sollen hier schon die 96dB Dämpfung sein? Aber bei der
Grequnzfrequenz fg fängt es doch an zu dämpfen oder? Und fg ist ja
unsere maximale Signalfrequenz, die ja nicht gedämpft werden kann.
Oder wie sieht das hier jetzt genau aus?
6. Ab fs/2 wird ja hier gespiegelt. Aber die Spiegelfrequenzen sollen
doch Null sein oder? Dachte ab fs/2 sind 96dB Dämpfung da? Also
Frequenzen höher fs/2 sind weg?
Ich hoffe ihr könnt mir hier nochmals weiterhelfen, ich denke ich habe
es bald verstanden.
mfg
markus
Nehmen wir folgende Abkürzungen:
Fs = Abtastfrequenz, Samplefrequenz
Fi = Frequenz des Eingangssignals (i für Input)
Fg = Grenzfrequenz eines Filters. Diese ist aber allgemein
so definiert, dass es bei Fg gerade anfängt, zu wirken.
Ein Eingangssignal mit der Frequenz Fi = Fg wird gerade mal
um 3 dB gedämpft, also sein Pegel auf das 0,707-fache
verringert.
1) Falsch: Wenn du mit 30 kHz samplest, muss das Filter bei
15 kHz schon dafür sorgen, dass Signale dieser Frequenz
kleiner, als die Spannungsauflösung des ADC werden. - Sonst
erscheinen sie mit gespiegelter Freqenz in den ADC-Ausgangsdaten.
2) Stimmt, aber je nach Qualität des Tiefpasses muss fg auch
SEHR viel kleiner, als Fs/2 gewählt werden.
3) Das macht Sinn: Je genauer ich etwas erfasse, desto
besser müssen vermeidbare Störungen unterdrückt werden.
4) Ja, die Kringel sind bei Fi = Fs/2 und Vielfachen davon.
5) Wenn man das erste Bild im Spektrum sieht, kann das
Eingangssignal bei jeder Frequenz die gleiche Spannung haben.
Dann muss auch der Tiefpass so ausgelegt sein, dass er bei
Fi = Fs/2 eine Dämfung von 96 dB (bei einem 16-Bit-ADC) hat.
6) Ab Fi = Fs/2 liegt eine Dämpung von 96 dB vor, WENN der
Tiefpass (das AAF) dort schon so stark dämpft.
markus schrieb:> Ja, sagen wir ab nun, dass fs=sampling_frequency und fg=grenzfrequenz> bzw. maximale auftretende Signalfrequenz.
Ich werde mich bemühen. Ich war auf deutschsprachige Bezeichnungen
eingestellt.
> 1. Also meine maximalste Signalfrequenz ist = 15kHz. Also muss jetzt die> Grenzfrequenz fg meines Tiefpasses = 15kHz sein, Richtig?
Ja, denn du willst ja alle Frequenzen bis 15kHz auch im abgetasteten
Signal noch möglichst unverfälscht haben. Genau genommen hat der TP bei
fg schon mal 3dB Dämpfung ...
> 2. Und fg < fs/2, d.h. die höchste auftretende Signalfrequenz soll> kleiner wie die halbe Abtastfrequenz sein. Richtig?
Ja, denn es ist nicht zu schaffen, einen TP zu bauen, der praktisch
senkrecht abfällt. Die Differenz zwischen fg und fs/s benötigt dein TP,
um die notwendige Sperrdämpfung zu erreichen.
> 3. Und je mehr Bit, desto stärker muss gedämpft werden. Aber macht das> denn auch Sinn?
Richtig, und es ist sinnvoll. Das liegt daran, dass man bei wenigen Bit
Breite ja entsprechend viel Rauschen (Quantisierungsrauschen) hat. Wenn
die Signalanteile oberhalb fs/2 nicht größer sind als die Auflösung des
letzten Bits, dann gehen sie im Quantisierungsgeräusch unter. Daher muss
man nicht mehr tun. Man kann ev. sogar weniger tun, wenn anderweitig
sichergestellt ist, dass im Nutzsignal dieser Frequenzbereich sowieso
nur mit sehr geringer Amplitude auftritt. Wie die 15kHz bei
Sprachsignalen - Vorsicht aber bei Musik: ein Synthesizer z.B. kann da
noch erhebliche Anteile haben!
> 4. Mein man mein Spektrum ansieht, also das dritte Bild, dann ist doch> da, wo ich das erste mal eingeringelt habe fs/2 oder?
Ja.
> 5. Sollen hier schon die 96dB Dämpfung sein? Aber bei der> Grequnzfrequenz fg fängt es doch an zu dämpfen oder? Und fg ist ja> unsere maximale Signalfrequenz, die ja nicht gedämpft werden kann.
Zumindest sollte dort, um keine Verfälschung zu bekommen, nach der
Filterung das Signal die 96dB unterhalb der Vollaussteuerung liegen.
> Oder wie sieht das hier jetzt genau aus?>> 6. Ab fs/2 wird ja hier gespiegelt. Aber die Spiegelfrequenzen sollen> doch Null sein oder? Dachte ab fs/2 sind 96dB Dämpfung da? Also> Frequenzen höher fs/2 sind weg?
Ja, wenn das so ist, dann ist ja alles gut und die Spiegelfrequenzen
sind auch weg. Wenn du aber nicht so aufwendig filterst, dann könnten
oberhalb fs/2 ja noch relevante Signalanteile liegen und die werden dann
gespiegelt. Ein Beispiel wäre noch ein Rest Pilotton des
FM-Stereosignals, das bei 19kHz liegt. Mit 32kHz abgetastet und
ungenügend gefiltert, hörst du dann nach der DA-Wandlung einen Pfeifton
mit 13kHz (fs/2-(19kHz-fs/2)).
Die 19kHz hast du vorher nicht gehört, weil du kein Baby mehr bist. Die
13kHz könnten aber lästig sein (gut, ich höre auch die nicht mehr ...).
chris schrieb:> Kann mir wer helfen bitte?
Und wer bist du? Womit könnten wir dir helfen? :-)
HildeK schrieb:> ... fg und fs/s benötigt ...
Warum sieht man die Fehler immer erst nach dem Abschicken?
... fg und fs/2 benötigt ...
Bernie schrieb:> Nehmen wir ...
Der TO hat jetzt zwei brauchbare Aussagen!
HildeK schrieb:> Mit einem Filter erster Ordnung brauchst du etwa 2 GHz als> Abtastfrequenz! (Wenn ich richtig gerechnet habe)
Etwas OT: Allerdings ist das auch vom Aufbau des ADCs, der nicht in der
Aufgabe spezifiziert wurde, abhängig...
Delta-Sigma-Wandler haben aufgrund ihrer Überabtastung deutlich
entspanntere Anforderungen an AAF, als SARs
Arc Net schrieb:> Delta-Sigma-Wandler haben aufgrund ihrer Überabtastung deutlich> entspanntere Anforderungen an AAF, als SARs
Überabtastung und folgende digitale Filterung ist nicht auf den
Delta-Sigma-Wandler beschränkt. Das kann man auch mit dem
Parallelwandler machen und wird häufig auch angewandt. Die Filterung
wird trotzdem benötigt, kann aber integriert mit besserer Genauigkeit
und geringerem Aufwand realisiert werden.
Auch beim D/A kommt die Überabtastung mit reduzierter Wandler-Bitbreite
zum Einsatz - bis runter zum 1-Bit-Wandler.
HildeK schrieb:> Arc Net schrieb:>> Delta-Sigma-Wandler haben aufgrund ihrer Überabtastung deutlich>> entspanntere Anforderungen an AAF, als SARs>> Überabtastung und folgende digitale Filterung ist nicht auf den> Delta-Sigma-Wandler beschränkt. Das kann man auch mit dem> Parallelwandler machen und wird häufig auch angewandt. Die Filterung> wird trotzdem benötigt, kann aber integriert mit besserer Genauigkeit> und geringerem Aufwand realisiert werden.> Auch beim D/A kommt die Überabtastung mit reduzierter Wandler-Bitbreite> zum Einsatz - bis runter zum 1-Bit-Wandler.
Richtig, nur fehlt die Angabe des Wandlertyps in der Aufgabe.
Zumal gerade die Delta-Sigma-Wandler etwas anders "gestrickt" sind.
Bspw. muss eben gerade nicht mit extrem hohen Abtastraten gearbeitet
werden (Modulatoren mit höherer Ordnung).
Ansonsten müsste ein 16-Bit-Delta-Sigma-Wandler mit min. ~2 GHz
arbeiten...
SNR = 6.02 * Anzahl Bits + 1.76 dB (theoretischer, rauschfrei).
Pro Verdopplung der Abtastrate ein halbes Bit mehr SNR...
@ HildeK (Gast) und Arc Net (arc)!
Der TO bearbeitet ÜBUNGSAUFGABEN!
Fachsimpeleien über Verfeinerungen der Technik (wer weiß, ob
sein Lehrer da mithalten kann) sind da eher verwirrend.
Er will/soll doch erstmal das Prinzip kapieren!
Mal abwarten, ob sich der TO wieder meldet, oder schon das
Handtuch geworfen hat...
