Betragsgang Spektralfunktion von zeitdiskretes Signal

Frank Gast 06.06.2014 17:47 #3681748

habe eine Spektralfunktion:

$X(e^{j\theta}) = \frac{1-ae^{j\theta}}{e^{j\theta}-a}$


Wenn ich die Euleridentität einsetze, und umforme erhalte ich den 
Betragsverlauf:

$|H(e^{j\theta})| = \sqrt{\frac{1-2\cos(\theta) + \cos^2{\theta}+a^2\sin^2{\theta}}{1-2a\cos(\theta)+\cos^2{\theta}}}$


in den Lösungen steht aber soetwas:

$|H(e^{j\theta})| \equiv 1$



Diese 3 Striche bedeuten Kongruenz, jedoch finde ich keinen Zusammenhang 
zwischen der Knongruenz (die ja zur Zahlentheorie gehört) und der 
Spektralfunktion.

Was meint man damit?

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Frank Gast 06.06.2014 18:12 #3681777

(X = H)

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Markus B. (russenbaer) 07.06.2014 02:13 #3682099

Bevor du den Betrag machst hebe nur im Zähler exp(j theta) heraus und 
schreibe das vor den Bruch.
Dann ersetze im Zähler und Nenner exp(j theta )  durch COS(theta)+ j 
SIN(theta) respektive der korrekten Form für exp(-j theta).
Danach Betrag ausrechnen. Der Betrag des herausgehobenen Terms ist 1. 
Beim Bruch wirst Du das dann auch sehen...

Lg
Markus

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Yalu X. (yalu) Moderator 07.06.2014 07:47 #3682120

Frank schrieb:
> Wenn ich die Euleridentität einsetze, und umforme erhalte ich den
> Betragsverlauf:

$|H(e^{j\theta})| = \sqrt{\frac{1-2\cos(\theta) + \cos^2{\theta}+a^2\sin^2{\theta}}{1-2a\cos(\theta)+\cos^2{\theta}}}$


Ich nicht ;-)

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Frank Gast 07.06.2014 09:14 #3682144

Danke für die beiden Antworten.

MarkusB: So geht es wirklich einfacher, da muss man weder quadrieren 
noch sonst irgendwas.

Und Yalu: Ich habe mich da wirklich wieder verrechnet. Ich sollte 
vielleicht das nächste mal nicht so schnell aufgeben und das ganze doch 
ein drittes mal rechnen...

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