Ich weiss nicht, ob Apps das Recht zugewiesen werden kann, Maildaten
fremder Apps zu lesen. Wenn nicht, dann gibt es allenfalls bei
gerooteten Geräten einen Weg. Denn es ist grad der Sinn des
Rechtekonzepts von Android, dass nicht jede App die Daten anderer Apps
lesen kann.
Wenn du also ein paar wichtige Mails dort liegen hast, dann leite sie an
einen anderen deiner Mailaccounts weiter, auf den du vom PC aus
zugreifst. Für Massenverarbeitung taugt das freilich weniger.
POP3 Accounts sind bei solchen Mobilgeräten etwas unpraktisch. IMAP
empfohlen. Oder bei POP3 die Mails auf dem Server im Postfach liegen
lassen, das lässt sich in der App einstellen. Dann bleiben sie für den
PC-Zugang sichtbar und der räumt sie bei nächster Gelegenheit in seinen
Mailstore weg. Ab dann sind sie allerdings für die App nicht mehr im
Zugriff.