Abstand zweier Windschiefer Geraden - Frage zur Formel

M. M. (mrmcchicken) 12.06.2015 20:04 #4163363

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Hallo miteinander,
ich möchte den Abstand zweier Windschiefer Graden berechnen.
In meiner Formelsammlung habe ich nun folgende Formel gefunden:

$\frac{\mid\overrightarrow{a}_1 \overrightarrow{a}_2(\overrightarrow{r}_2 - \overrightarrow{r}_1)\mid}{\mid\overrightarrow{a}_1 \times \overrightarrow{a}_2 \mid}$


Wenn ich mir die Formel nun angucke, und auch damit rechne, fällt mir 
auf, dass es doch eigentlich wie folgt heißen müsste:

$\frac{\mid\overrightarrow{a}_1 \times\overrightarrow{a}_2(\overrightarrow{r}_2 - \overrightarrow{r}_1)\mid}{\mid\overrightarrow{a}_1 \times \overrightarrow{a}_2 \mid}$


Oben auf dem Bruchstrich muss doch das Kreuzprodukt aus a1 und a2 
gebildet werden wie es in der unteren Formel steht. Oben bei der ersten 
Formel wird das Skalarprodukt gebildet.
Bilde ich das Skalarprodukt komme ich nicht auf das richtige Ergebnis.
Leider steht die Formel so überall in meinem Buch, was mache ich falsch?

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Dumdi D. (dumdidum) 12.06.2015 20:28 #4163378

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Vielleicht mal eine Zeichnung? Was sind a1,2 und r1,2?

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Johann L. (gjlayde) 12.06.2015 20:28 #4163380

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Hier weiß echt jeder, was a1, a2, r1 und r2 ist.

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M. M. (mrmcchicken) 12.06.2015 20:38 #4163386

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Es sind zwei Windschiefe Geraden in der Form:

r_1(Lambda) = r1 + (Labda) * a1
r_2(Lambda) = r2 + (Labda) * a2

Bin gerade unterwgs. Mobil LaTeX zu benutzen bringe ich gerade nicht 
fertig.

r1,2 sind quasi die Stützvektoren. a1,2 die Richtungsvektoren.

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Johann L. (gjlayde) 12.06.2015 20:53 #4163401

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Die Länge l einer Strecke λr, die 2 Punkte auf zwei Geraden

$g_1:P_1 + \R r_1$

$g_2:P_2 + \R r_2$

verbindet, ist

$\ell = \ell(r,\alpha,\beta) = |\lambda r|$

falls

$\lambda r = P_1 + \alpha r_1 - (P_2 + \beta r_2)$

λr ist genau dann der minimale Abstand, wenn r senkrecht auf g1 und 
senkrecht auf g2 steht.

Multiplikation der obigen Gleichung mit r ergibt dann:

$\lambda r^2 = (P_1 - P_2)r$

bzw. als Absolutbetrag:

$\ell |r| = |(P_1 - P_2)r|$

Somit ist der Abstand

$\ell = \frac{|(P_1 - P_2)r|}{|r|}$

Eine naheliegende Wahl für r ist r = r1 × r2:

$\ell = \frac{|(P_1 - P_2)(r_1 \times r_2)|}{|r_1 \times r_2|}$

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Karl H. (kbuchegg) 12.06.2015 21:02 #4163410

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M. M. C. schrieb:

> Wenn ich mir die Formel nun angucke, und auch damit rechne, fällt mir
> auf, dass es doch eigentlich wie folgt heißen müsste:


Yep. Das ist richtig.

Denn mittels

$\frac{\overrightarrow{a}_1\times\overrightarrow{a}_2}{\mid\overrightarrow{a}_1 \times \overrightarrow{a}_2 \mid}$


konstruierst du mittels des Kreuzproduktes im Zähler aus den beiden 
Einzelvektoren den Normalvektor von einem Richtungsvektor zum anderen.

Durch die Division mit der Norm normierst du ihn dann nur noch auf 
Einheitslänge.

Der wird dann mit den beiden Punkten entsprechend skaliert und dessen 
Länge ist dann die gesuchte Distanz.

Das muss ein Kreuzprodukt sein.

In der Wikipedia ist das eigentlich recht gut beschrieben
http://de.wikipedia.org/wiki/Windschiefe#Berechnung_des_Abstandes_zweier_windschiefer_Geraden

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M. M. (mrmcchicken) 12.06.2015 21:16 #4163428

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Hallo nochmal,
danke euch beiden! Wie kommt das nun dass in der Formel, so wie sie in 
meiner Formelsammlung steht (Lothar Papula), nicht angegeben ist dass es 
das Kreutzprodukt ist? Ist das eine Übliche Schreibweise?

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D. I. Gast 12.06.2015 22:24 #4163477

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M. M. C. schrieb:
> Papula

Der ist ja auch was für Einsteiger. Die Kenner greifen natürlich zum 
Bronstein :) (Diesen Flamewar habe ich schon lange nich mehr hier 
gelesen)

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