Allpass - Übertragungsfunktion

Ua = Ue*R2/(R2+1/(jw*C)) -Ue*R1/(R1+jw*L)

Ua/Ue = jw*R2*C/(1+jwR2*C) - 1/(1+jw*L/R1)

T2=R2*C
T1=L/R1

Ua/Ue = jw*T2/(1+jw*T2) - 1/(1+jw*T1)

Ua/Ue = (jw*T2*(1+jw*T1) -1 -jw*T2))/((1+jw*T1)*(1+jw*T2))

Ua/Ue = (jw*T2 +jw*jw*T1*T2 -1 -jw*T2))/((1+jw*T1)*(1+jw*T2))

Ua/Ue = (jw*jw*T1*T2 -1))/((1+jw*T1)*(1+jw*T2))

Ua/Ue = -(1+w^2*T1*T2)/((1+jw*T1)*(1+jw*T2))

w=0

Ua/Ue = -1
phi = 180° oder -180°
Das kann man frei wählen, da sich Sinusfunktionen alle 360° wiederholen.
Ich würde +180° bevorzugen da dann die Phase über die Frequenz von 180° 
gegen 0° geht.



Falls T1=T2

Ua/Ue = -(1+w^2*T^2)/(1+jw*T)^2

|Ua/Ue| = 1

phi = 180°-2*arctan(w*T)

Im Anhang die Simulation mit LTspice, dem kostenlosen SPICE-Programm.

http://ltspice.linear-tech.com/software/LTspiceIV.exe

crlr.asc ist der Schaltplan für LTspice.

crlr.plt enthält die Plot-settings für die hier gezeigte Simulation.


Korrektur:

In der Formel im angehängten Bild muß bei |Ua/Ue| das Minusvorzeichen 
weg.


Ua/Ue = -(1+w^2*T1*T2)/((1+jw*T1)*(1+jw*T2))
|Ua/Ue| = (1+w^2*T^2)/( sqrt(1+(w*T1)^2)*sqrt(1+(w*T2)^2) )
phi = 180°-arctan(w1*T)  -arctan(w2*T)

Falls T1=T2=T
Ua/Ue = -(1+w^2*T^2)/(1+jw*T)^2
|Ua/Ue| = 1
phi = 180°-2*arctan(w*T)

Björn schrieb:
> Allerdings muss doch dann, für w = 0 als Übertragungsfunktion 1
> herauskommen oder? In meinem Fall aber -1

Der Betrag der Übertragungsfunktion muss 1 sein, damit sich das Ding
Allpass nennen darf, mehr nicht. Da |-1| = 1, ist alles in Ordnung.

Ich fürchte beinahe, die Diskussion nicht zu verstehen, denn es scheint 
mir doch so einfach:

Durch bloßes Ansehen der Schaltung sieht man doch, dass bei DC UA = -UE 
ist. Wo ist da ein Problem? Dein Ergebnis ist doch völlig richtig!

Uwe B. schrieb:
> Ich fürchte beinahe, die Diskussion nicht zu verstehen, denn es scheint
> mir doch so einfach:
>
> Durch bloßes Ansehen der Schaltung sieht man doch, dass bei DC UA = -UE
> ist. Wo ist da ein Problem? Dein Ergebnis ist doch völlig richtig!

Bei Björn kommt zwar bei w=0 der Wert -1 heraus, aber seine Formel ist 
trotzdem falsch.

Einfach mit C=0.1n, 10n, 1u in LTspice mit dem .step-Befehl simulieren.

Falls die Zeitkonstanten unterschiedlich sind, dann gibt es einen 
Einbruch im Amplitudengang und die Phasenverschiebung ist "aufgetrennt" 
für RC und L/R.

Amplituden: dicke Linien
Phase: dünne gestrichelte Linien

> Zu der ursprünglichen Funktion wäre eine Phase von 0° bis -180° aber
genauso richtig?

Nein.

Wenn schon nicht +180°, dann -180°, also von -180° bis -360°.

Guten Abend
An eine Brückenschaltung erinnert, wollte ich dies zwecks Verifikation 
nachvollziehen, wobei ich die beiden Bezeichner (R1, R2) durch die Namen 
(Rl, Rc) ersetzt habe.
Die (komplexe Spannungs -) Übertragungsfunktion lautet (im Enklang mit 
zuvor geposteten) z. B. wie folgt.

Mit der Absicht, den Betrag dieser Übertragungs -Funktion konstant (1) 
zu halten, kann das Betragsquadrat dargestellt werden(, welches dann 
auch 1 sein sollte).

Hier müssen Nenner und Zähler gleich sein.

Der Koeffizientenvergleich liefert beim 2. Grad die folgende Gleichung.

Umformung ergibt was folgt.

> Wie kommt man auf die 180°?

Ua/Ue = -(1+w^2*T^2)/(1+jw*T)^2

Wir haben ein Minusvorzeichen, also *-1

Das sind entweder +180° oder -180° Phasenverschiebung.

Um den Phasenwinkel einer komplexen Zahl zu berechnen, ist es ratsam,
statt dem gewöhnlichen Arcustangens die atan2-Funktion zu verwenden, da
diese alle vier Qudranten und nicht nur den 1. und 4. abdeckt.

1

Phasenwinkel = atan2(Imaginärteil, Realteil)

Da für ω=0 der Realteil negativ und der Imaginärteil gleich 0 ist,
liefert die Funktion tatsächlich 180° als Ergebnis.