Hi Community,
hier ist eine Fragestellung, welche den einen oder anderen vielleicht
aus der Reserve locken wird:
Gegeben ist eine ebene Platte, welche schräg von oben fotografiert
wurde.
Die Frage ist nun:
Aus welchem Winkel wurde die Platte fotografiert?
Die Maße wurden manuell der Fotografie entnommen.
Die Maße sind also die, die so beobachtet wurden?
Oder sind es die richtigen Maße der Platte?
und in welcher Entfernung zur Lotrechten des Auges liegt die Platte? Aus
der Skizze auf der rechten Seite erkennt man einen gewissen Abstand...
Aus welcher Entfernung sieht das Auge die Platte?
Mike B. schrieb:> Die Maße sind also die, die so beobachtet wurden?
Richtig. So bildet sich die Platte auf dem Foto ab.
> Oder sind es die richtigen Maße der Platte?
Nein. Die Platte ist in Wahrheit rechteckig.
> und in welcher Entfernung zur Lotrechten des Auges liegt die Platte? Aus> der Skizze auf der rechten Seite erkennt man einen gewissen Abstand...
"Gewisser Abstand" trifft zu. Der Abstand ist unbekannt, kann aber gerne
mit gelöst werden.
Eddy C. schrieb:> Nein. Die Platte ist in Wahrheit rechteckig.
davon ging ich aus... ;)
Aber mit den gegebenen Angaben ist es m.E. unmöglich, die richtigen Maße
der Platte zu errechnen.
Ein Platte "monolithischen" Ausmaßes die am Himmel schwebt hätte (bei
gleichem Winkel zum Auge) die gleiche Abbildungsgröße wie eine Postkarte
die vor mir auf dem Tisch liegt.
Oder?
Bist du sicher, dass der Betrachtungswinkel nur aus den vier
Seitenlängen berechnet werden kann?
So rein gefühlsmäßig würde ich sagen, dass man mindestens noch einen
Winkel des Vierecks benötigt.
Yalu X. schrieb:> So rein gefühlsmäßig würde ich sagen, dass man mindestens noch einen> Winkel des Vierecks benötigt.
"rechteckig", also 4*90° würd ich sagen
Mike B. schrieb:> Yalu X. schrieb:>> So rein gefühlsmäßig würde ich sagen, dass man mindestens noch einen>> Winkel des Vierecks benötigt.>> "rechteckig", also 4*90° würd ich sagen
:)
Ich meinte natürlich das Bildviereck und nicht das Originalrechteck.
Aber wahrscheinlich braucht man sogar noch mehr Informationen, nämlich
die Position des abgebildeten Vierecks innerhalb des Gesamtbilds und das
Seitenverhältnis des Originalrechtecks. So ganz sicher bin ich mir aber
nicht.
Und mass muss natürlich davon ausgehen können, dass die Kamera bzw. das
verwendete Objektiv verzeichnungsfrei ist, sonst wird das alles beliebig
kompliziert.
A. K. schrieb:> Mike B. schrieb:>> Aber mit den gegebenen Angaben ist es m.E. unmöglich, die richtigen Maße>> der Platte zu errechnen.>> Nach den Maßen ist nicht gefragt.
in der Tat, jetzt wo du es sagst...
Ist es erlaubt, die Winkel des abgebildeten Rechtecks aus dem Photo
auszumessen?
Eddy C. schrieb:> Aus welchem Winkel wurde die Platte fotografiert?>> Die Maße wurden manuell der Fotografie entnommen.
Eine Leiterplatte mit den obigen krummen Maßen definieren und in einer
3D-Visualisierung so lange drehen, bis es ein Rechteck ist.
Dann müsste der gewünschte Winkel einfach zu ermitteln sein.
Geht natürlich nur, wenn die Drehwinkel auch angezeigt werden :)
Ist nicht mathematisch exakt, aber vielleicht geügt das dem TO für seine
Zwecke.
Gruß Thomas
Wenn die Platte quadratisch ist, kann man den 3D Winkel berechnen. Etwas
3D Geometrie. Strahlen auf ein Quadrat und ein Gleichungssystem, wie
legt man die vermessene Platte in den Strahlengang.
Wegstaben V. schrieb:> Eddy C. schrieb:>> hier ist eine Fragestellung>> kannst/darfst du zu den urspünglichen Objekten und der Intention der> Fragestellung was sagen?
Na klar, es ist natürlich eine Platine, sonst hätte ich ja nicht in
diesem Forum Anfrage dürfen ;-)
Es geht darum, anhand eines Referenzfotos weitere Fotos aus der
identischen Perspektive zu machen.
Eddy C. schrieb:> Aus welchem Winkel wurde die Platte fotografiert?
dazu braucht man Daten zur Entstehung des Fotos.
Du kannst die selbe Entfernung, den selben Winkel haben, abe rmit
unterschiedlichen Objektiven und Zoomeinstelungen
völlig verschiedene Vierecke bekommen.
● J-A V. schrieb:> Du kannst die selbe Entfernung, den selben Winkel haben, abe rmit> unterschiedlichen Objektiven
Es soll hier nur darum gehen, aus den obigen Angaben den Winkel zu
errechnen. Dass es Fehlerquellen gibt, ist nicht abzustreiten.
Oh D. schrieb:> Nee, das Objektiv faellt raus. Die Position bestimmt die Ansicht.> Zumindest den Winkel. Das Photo sollte eine Referenz Laenge enthalten.
Interessant: Die langen Kanten (163mm und 175,5mm) sind tatsächlich
100mm lang, die kurzen Kanten (100,5mm und 107,5mm) tatsächlich 59.2mm.
Es ist einzusehen, dass erst damit die Entfernung zur Platine
berechenbar wird. Ggf. ist nur über die bekannte Entfernung der Winkel
berechenbar (was dann sogar einfach wäre)?
ein erster Ansatz:
die kurzen Kanten (100,5mm und 107,5mm)
Die Mitte daraus würde ich auf eine Kantenlänge von jeweils 104mm
ermitteln, richtig? Oder nur zufällig eine runde Zahl? (Abbildungslänge
unter Eliminierung eines Dreh-Winkels um eine Achse)
dieser Winkel wäre irgendwas mit 3,5mm/100,5mm bzw. 3,5mm/107,5mm
cos(3,5/100,5)=1,0
Bringt uns das was?
Die langen Kanten (163mm und 175,5mm), da funktioniert dies nicht.
man ist das peinlich, aber der Mathe-Leistungskurs ist echt schon >20
Jahre her
Daniel A. schrieb:> Die Aufgabe ist um einiges Komplexer, als man zunächst annehmen wüede.> Nicht nur der Blickwinckel, sondern auch die Entfernung beeinflussen das> Ausmass der Verzerrung.
Das Perspektivwechsel interessante Effekte ergibt, ist ja spätestens
seit Vertigo Allgemeingut :-)
https://de.wikipedia.org/wiki/Dolly-ZoomEddy C. schrieb:> Aus welchem Winkel wurde die Platte fotografiert?
Unter realen Bedingungen (endlicher Abstand) sieht man jeden Punkt der
Platte under einem andern Winkel.
Was sind die Annahmen über das Objektiv bzw. den Abbidungsprozess?
Zentralprojektion?
Johann L. schrieb:> Zentralprojektion?
Ja. Mag sein, dass der Fotoapparat zusätzliche Verzerrungen mit
einbringt, aber die müssen aussen vor bleiben. Es geht ja nur im die
prinzipielle Lösbarkeit des Problems.
Mike B. schrieb:> Oder nur zufällig eine runde Zahl?
Zufall. Es ist keine vorberechnete Aufgabe. Ich kann selber nur
schätzen, die Lösung muss irgendwo - obacht Spoileralarm! - zwischen 0
und 90 Grad liegen...
Keiner hier, der die Geometrie von Computergrafik beherrscht? Da sollte
das gang und gäbe sein. Hätte gedacht, das sowas in heutiger Informatik
Basiswissen ist, zumindest in bestimmten Bereichen.
Da sowohl die Maße der Platine als auch die Koordinaten der Bildpunkte
ihrer Ecken bekannt sind, kann man versuchen, die Projektionsmatrix
aufzustellen:
https://de.wikipedia.org/wiki/Projektionsmatrix
In dem Artikel ist auch beschrieben, wie man aus dieser Matrix die
Kameraposition C und -orientierung R gewinnt. Dabei fällt auch die
Kalibrierungsmatrix K ab, die die intrinsischen Kameraparameter enthält.
Aus der Rotationsmatrix R lassen sich die drei Orientierungswinkel
ableiten:
https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Winkel
Damit wäre die Aufgabe prinzipiell gelöst, allerdings gibt es da noch
ein kleines Problem:
Für die eindeutige Bestimmung der 12 Elemente der Projektionsmatrix
werden mindestens (12-1)/2 = 5½ Paare aus Original- und Bildpunkten
benötigt, wobei die Originalpunkte nicht alle in einer Ebene liegen
dürfen. In der vorliegenden Aufgabestellung sind aber nur 4 Punkte in
einer Ebene gegeben, womit 3 Elemente der Projektionsmatrix unbestimmt
bleiben.
Wahrscheinlich lässt sich die Kameraorientierung auch irgendwie aus der
unvollständigen Projektionsmatrix bestimmen. Ganz sicher ist dies dann
möglich, wenn man das Seitenverhältnis der Kamerapixel ky/kx (praktisch
immer 1) den Scherungswinkel des Sensorchips Θ (immer 0°) und die
Position des optischen Zentrums (bei sorgfältig montierter Kamera exakt
in der Bildmitte) fest vorgibt.
Dennoch ist die Berechnung ziemlich aufwendig, so dass ich mir überlegt
habe, ob man auch mit einer grafischen Methode zum Ziel kommt:
Christoph K. schrieb:> Rein grafisch könnte man die Parallelen zu zwei Fluchtpunkten hin> verlängern. Aber ob man damit weiterkommt?
Mit nur wenig zusätzlicher Rechnerei ist es tatsächlich möglich, über
die Position der FLuchtpunkte die räumliche Kamaraorientierung zu
bestimmen. Dazu muss man nicht einmal die Originalmaße der Platine
kennen, es genügt zu wissen, dass sie rechteckig ist.
Die rechteckige Platine liege in einer horizontalen Ebene und ihre
Eckpunkte seien mit A, B, C und D benannt.
Die Kameraorientierung sei durch die Winkel α, β unfd γ festgelegt, die
wie folgt definiert sind:
α: Kameraorientierung in der Platinenebene
0°: in Richtung AB
+90°: in Richtung AD
β: Nickwinkel
0°: waagerecht
+90°: senkrecht nach unten
γ: Kippwinkel um die optische Achse
0°: aufrecht stehend
+90°: nach links gekippt (das Bild dreht sich dadurch um 90° im
Uhrzeigersinn)
Der gesuchte Winkel ist β, aber auch die beiden anderen können von
Nutzen sein.
Man konstruiere nun im Bild (hellblau) der Platine (grün) die beiden
Fluchtpunkte F₁ und F₂ und verbinde diese zur Fluchtlinie F₁F₂. Vom
optischen Zentrum Z (bei sorgfältig montierter Kamera liegt dieses exakt
in der Bildmitte) wird das Lot auf die Fluchtlinie gefällt. Die Abstände
des Lotfußpunkts von F₁, F₂ und Z seien a, b und c.
Den Winkel γ kann sofort abgelesen werden (s. Abbildung), α und β
errechnen sich aus a, b und c wie folgt:
Möglicherweise kann man auf ähnliche Weise auch die Kameraposition
relativ zur Platine ermitteln. Dazu habe ich aber noch keine Lösung
gefunden. Vielleicht schafft es ja jemand von euch :)
Yalu X. schrieb:> Für die eindeutige Bestimmung der 12 Elemente der Projektionsmatrix
Es brauch aber doch nicht als 3D-Problem formuliert zu werden; es genügt
doch, es als 2-dimensional projektiv zu formulieren?
Außerdem ist die Bildmitte bekannt, nämlich der Schnitt der Diagonalen.
Johann L. schrieb:> Yalu X. schrieb:>> Für die eindeutige Bestimmung der 12 Elemente der Projektionsmatrix>> Es brauch aber doch nicht als 3D-Problem formuliert zu werden; es genügt> doch, es als 2-dimensional projektiv zu formulieren?
Wenn es nur darum geht, die Abbildungsvorschrift von der Platinenebene
auf die Bildebene zu ermitteln, ist das Problem nur zweidimensional, und
es reicht eine 3×3-Matrix, die durch die 4 abgebildeten Punkte (bis auf
einen Normierungsfaktor) vollständig bestimmt ist.
Aber hier ist ja nicht die Abbildungsvorschrift, sondern die räumliche
Orientierung der Kamera gesucht. Oder kann man diese auch aus der
3×3-Matrix ableiten?
> Außerdem ist die Bildmitte bekannt, nämlich der Schnitt der Diagonalen.
Ich verstehe nicht ganz, was du damit aussagen möchtest.
Yalu X. schrieb:> Johann L. schrieb:>> Yalu X. schrieb:>>> Für die eindeutige Bestimmung der 12 Elemente der Projektionsmatrix>>>> Es brauch aber doch nicht als 3D-Problem formuliert zu werden; es genügt>> doch, es als 2-dimensional projektiv zu formulieren?>> Wenn es nur darum geht, die Abbildungsvorschrift von der Platinenebene> auf die Bildebene zu ermitteln, ist das Problem nur zweidimensional, und> es reicht eine 3×3-Matrix, die durch die 4 abgebildeten Punkte (bis auf> einen Normierungsfaktor) vollständig bestimmt ist.
Mein Ansatz wäre, die Abbilding M zu bestimmen und daraus dann weitere
Parameter wie die Winkel (ist ja mehr als einer). So fit bin ich
allerdings nicht in Projektiver Geometrie. M ist eine 3x3 Matrix mit
einer orthogonalen 2x2 Teilmatrix, d.h. das Problem hat noch 6
Dimensionen. Weil man wegen
>> Außerdem ist die Bildmitte bekannt, nämlich der Schnitt der Diagonalen.
die Bildmitte kennt, kann man o.E. M(0) = 0 nehmen, d.h. der
translatorische Anteil ist 0; verbleiben also 4 Dimensionen für M.
Blöderweise ist das Seitenverhältnis des Rechtecks nicht bekannt, so
dass man ein 1-parametrisches, überbestimmtes, lineares Gleichungssystem
für 4 Variablen erhält.
O.E. kann man 1 Seitenlänge als 2 nehmen, die andere sei 2S. Die Bilder
der Eckpunkte sind also Bilder von (1,S) (-1,S) (1,-S) und (-1,-S).
Dass das System überbestimmt ist macht zunächst keine Sorge, anstatt
wird die Lösung von
genommen. Das führt schließlich zu einem Optimierungsproblem in S.
Johann L. schrieb:> Blöderweise ist das Seitenverhältnis des Rechtecks nicht bekannt, ...Eddy C. schrieb:> Interessant: Die langen Kanten (163mm und 175,5mm) sind tatsächlich> 100mm lang, die kurzen Kanten (100,5mm und 107,5mm) tatsächlich 59.2mm.
Ich denke das sind die "echten" Maße.
Dieter W. schrieb:> Johann L. schrieb:>> Blöderweise ist das Seitenverhältnis des Rechtecks nicht bekannt, ...>> Eddy C. schrieb:>> Interessant: Die langen Kanten (163mm und 175,5mm) sind tatsächlich>> 100mm lang, die kurzen Kanten (100,5mm und 107,5mm) tatsächlich 59.2mm.>> Ich denke das sind die "echten" Maße.
Falls es nicht nur ein konkretes Beispiel war, sondern die Maße immer
bekannt sind, dann macht das die Lösung natürlich wesentlich einfacher.
Allerdings weiß man a priori die Zuordnung der Ecken nicht, d.h. das
Problem is 2x zu lösen, einmal für jede sinnvolle Zuordnung der Ecken.
Hey und danke an Yalu, das war ein reife Leistung!
Ich habe die Konstruktion im CAD-Programm nachgezogen, die Maße lauten:
a = 433mm
b = 842mm
c = 492mm
Der optische Mittelpunkt stimmt ziemlich exakt mit der Platinenmitte
überein, hier bitte nicht irritieren lassen.
Beta ist dann 55 Grad, was subjektiv ganz gut hin kommt.
Winkel.PNG
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