polynom verschieben

Abradolf L. schrieb:
> https://de.wikipedia.org/wiki/Horner-Schema

inwiefern hilft mir das?

mh schrieb:
> Für den Zahlenfaktor in den einzelnen Termen
> https://de.wikipedia.org/wiki/Pascalsches_Dreieck bzw.
> https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient

ja, das hab ich auch gefunden, nachdem mir die Zahlen bekannt vor kamen 
:)


weiß nicht obs noch cleverer geht, so richtig zufrieden bin ich noch 
nicht :)

1

void PolynomialParamsSet::shift(double i_off)

2

{

3

  constexpr int MAX_ORDER = 20;

4

  auto oldC = coefficients;

5

  std::array<int, MAX_ORDER> binCoeff;

6

  std::array<double, MAX_ORDER> offsetPower;

7

  binCoeff[0] = 1;

8

  offsetPower[0] = 1.;

9

  for (int i = 1; i < coefficients.length(); ++i) {

10

    offsetPower[i] = offsetPower[i - 1] * i_off;

11

    binCoeff[i] = 1;

12

    coefficients[0] += offsetPower[i] * oldC[i];

13

  }

14

15

  for (int i = 1; i < coefficients.length(); ++i) {

16

    int lastCoeff = binCoeff[i - 1];

17

    binCoeff[i - 1] = 0;

18

    coefficients[i] = 0;

19

    for (int j = i; j < coefficients.length(); ++j) {

20

      int curF = lastCoeff + binCoeff[j - 1];

21

      coefficients[i] += curF * offsetPower[j - i] * oldC[j];

22

23

      lastCoeff = binCoeff[j];

24

      binCoeff[j] = curF;

25

    }

26

  }

27

}

Vlad T. schrieb:
> weiß nicht obs noch cleverer geht

Du könntest den Offset zusammen mit dem Polynom speichern und erst bei 
der Auswertung anwenden, d.h. anstatt ein neues Polynom q(x) = p(x-off) 
zu berechnen, speicherst du off im Polynom-Objekt.

Vorteile:
- Einfachere Auswertung.
- Weniger Rundungsfehler, wenn mehrfach verschoben wird.

Nachteile:
- Die Darstellung des Polynoms ist nicht mehr eindeutig.
- Zur Polynomarithmetik müssen alle beteiligten Polynome gleichen
  Offset haben.

...und das o.g. Horner-Schema sieht auch ganz gut aus, aben mit formaler 
Auswertung der neuen Koeffizienten anstatt Wertberechnung:

Schreib das Polynom in Horner-Darstellung und hangel dich rekursiv vom 
höchsten Koeffizienten runter bis a0.

Edi M. schrieb:
> Duennwandiger Troll schrieb:
>> Faktorisieren. Dh die Nullstellen bestimmen.
>
> Geht das etwas genauer? Was macht man mit den Nullstellen?
> In die Normalform verschieben?

Für praktische Anwendung ist Faktorisierung die inpraktikabelste und 
aufwändigste Methode, zusätzlich mit Rundingsfehlern behaftet.

Nehmen wir mal p(x) = x^2 + 2 und wollen das mittels Faktorisierung um 1 
nach rechts verschieben.  Das Polynom zerfällt über Q(sqrt(-2)) als:

Um 1 nach rechts:

Und dann ausmultiplizieren um wieder ein Polynom über Z zu erhalten.

> Wie berechnet man die Nullstellen allgemein, wenn die Koeffizienten
> nicht vorher bekannt sind?

Das ist eine Wissenschaft für sich.  Vergiss den Vorschlag.