Einfügedämpfung und Phasenverzögerung bei einem 4-Tor-Netzwerk berechnen

FORMATIERUNG ANGEPASST

Hallo,
bei dieser Aufgabe (Anhang) soll die Einfügedämpfung und die
Phasenverzögerung zwischen Port 1 und Port 2 berechnet werden.
Für die Einfügedämpfung zu berechnen müsste ich doch den Parameter S_21
verwenden. Denn dieser beschreibt den Eingang im Port1 a1 und den 
Ausgang beim Port2 b2.Somit ist S21 = b2 / a1.
Für die Einfügedämpfung zu berechnen wird folgende Formel verwendet:
S21(dB) = 20⋅log|S21|
S21 ist jedoch in der Matrize mit 0 angegeben.
Muss ich die Matrize noch umformen?

Bei der Phasenverzögerung habe ich das selbe Problem.

Über einen Ansatz oder über eine Literaturempfehlung würde ich mich
freuen.

D.N. schrieb:
> Matrize

Das ist eine Matrix.

> Über einen Ansatz oder über eine Literaturempfehlung würde ich mich
> freuen.

In der Aufgabe steht, dass von dem Viertor die Tore 3 und 4 mit einer 
Leitung verbunden sind. Das muss man natürlich berücksichtigen. Die am 
Tor 2 auslaufende Wellengröße b_2 ist also

$$b_2=S_{21}a_1+S_{41}\mathord{\rm e}^{\mathord{\rm i}\varphi}S_{32}a_1+S_{31}\mathord{\rm e}^{\mathord{\rm i}\varphi}S_{24}a_1,$$

da die in das Tor 4 reflektierte Welle nicht in das Tor 2 transmittiert 
wird, und auch nicht in das Tor 3 (S_24 = S_34 = 0). Dabei ist a_1 die 
in das Tor 1 einlaufende Welle, und φ die Phasenverschiebung der 
Leitung. Da in der S-Matrix im Bild einiges Null ist, gilt also

$$b_2=S_{41}\mathord{\rm e}^{\mathord{\rm i}\varphi}S_{32}a_1.$$

Die gesuchte Einfügedämpfung in dB bekommt man dann aus

$$20\cdot\log\Bigl(\Bigl\lvert\frac{b_2}{a_1}\Bigr\rvert\Bigr)=20\cdot\log(\lvert S_{41}\mathord{\rm e}^{\mathord{\rm i}\varphi}S_{32}\rvert),$$

und mit "Phasenverzögerung" ist wohl einfach die Phasenverschiebung bei 
der betrachteten Frequenz gemeint, also

$$\arg\Bigl(\frac{b_2}{a_1}\Bigr).$$

Tobias P. schrieb:
> bist du sicher?

Du hast Recht, das stimmt so nicht. Ich habe übersehen, dass S_44 nicht 
Null ist, daher hat man eine geschlossene Schleife im 
Signalflussgraphen.

Ich habe den gesamten Signalflussgraphen inkl. Leitung mal aufgemalt, 
siehe Anhang. Die von Null verschiedenen Signale bei Anregung an Tor 1 
sind rot angemalt; alle anderen Signale verschwinden aufgrund der Nullen 
in der gegebenen S-Matrix (die S_22- und S_32-Signale sind ebenfalls 
Null, da in den unteren Knoten bei Tor 2 nichts einfällt).

Unter der Annahme, dass die Leitung zwischen Port 3 und 4 angepasst ist, 
liest man ab:

$$a_3=a_1S_{41}\mathord{\rm e}^{\mathord{\rm i}\varphi}+a_3S_{33}\mathord{\rm e}^{\mathord{\rm i}\varphi}S_{44}\mathord{\rm e}^{\mathord{\rm i}\varphi},$$

also

$$a_3=\frac{a_1S_{41}\mathord{\rm e}^{\mathord{\rm i}\varphi}}{1-S_{33}S_{44}\mathord{\rm e}^{\mathord{\rm i}2\varphi}}.$$

Damit bekommt man dann

$$b_2=S_{23}a_3=a_1\frac{S_{23}S_{41}\mathord{\rm e}^{\mathord{\rm i}\varphi}}{1-S_{33}S_{44}\mathord{\rm e}^{\mathord{\rm i}2\varphi}}$$

bzw.

$$\frac{b_2}{a_1}=\frac{S_{23}S_{41}\mathord{\rm e}^{\mathord{\rm i}\varphi}}{1-S_{33}S_{44}\mathord{\rm e}^{\mathord{\rm i}2\varphi}}.$$

Für die Einfügedämpfung gilt dann wie gehabt

$$20\cdot\log\Bigl(\Bigl\lvert\frac{b_2}{a_1}\Bigr\lvert\Bigr),$$

und für die Phase

$$\arg\Bigl(\frac{b_2}{a_1}\Bigr).$$

Passt das so, oder habe ich noch etwas übersehen?

> Es heisst zwar, die Leitung zwischen P3 und P4 ist verlustlos, aber
> nirgends steht, dass sie perfekt angepasst ist, darum sind ja die S33
> und S44 nicht 0.

Dann wird die Sache natürlich noch etwas komplizierter, da man mehrere 
geschlossene Schleifen im Graphen bekommt.