Wie finde ich schnell die passenden Zahnräder?
Beispiel: Gesucht ist ein Übersetzungsverhältniss von
1: 6,1843 als zweistufiges Getriebe.
Zahnzahlen sollten zwischen max. 90 und min.12 liegen.
Nach längerem Grübeln komme ich auf:
60:20 mit 66:38 = 6,1875. Gut, aber nicht genau genug.
Die zweite Lösung in meiner Zeichnung kommt schon besser hin.
Wie lässt sich das schneller rechnen?
Mir fehlt eine generelle Lösung.
Eine Excel Tabelle hätte auch gereicht. Bruteforce bedeutet "alle möglichen Kombinationen" ausprobieren, in deinem Fall noch filtern/sortieren. Das geht ohne Programm oder KI.
Wie man es ohne Computer mathematisch löst bleibt interessant!
"Brut Force" heißt: Alle Möglichkeiten durchspielen, ohne weitere clevere Tricks. Da die Zähnezahlen ganzzahlig sind und der Bereich übersichtlich, kann das ein Rechner innerhalb ein paar Sekunden.
In python würde da so aussehen:
1
ratioTarget = 6.1843
2
tolerance = 0.0001
3
nTreffer = 0
4
for z1 in range(12, 91):
5
for z2 in range(12, 91):
6
for z3 in range(12, 91):
7
for z4 in range(12, 91):
8
ratio = z2/z1 * z4/z3
9
if (ratio>ratioTarget-tolerance/2) and (ratio<ratioTarget+tolerance/2):
Faszinierend find ich, dass trotz der engen Toleranz noch 80 Möglichkeiten gefunden werden. Diese könnte man weiter einschränken, je nach mechanischen Gegebenheiten.
Oder noch weniger, wenn man die unterschiedlichen Kombinationen der gleichen Zahlen oder deren Vielfachen als "eine" Möglichkeit ansieht.
Eine offenbar auch oft praktizierte Regel ist "lieber ungerade als gerade Zähnezahlen". Dann fallen noch ein paar Kombinationen weg.
Claude.ai trägt recht selbstbewusst eine Lösung vor, auch ziemlich daneben ist:
Thema Getriebe. Was ist die beste zweistufige Paarung mit maximal 100 Zähnen pro Rad für eine Übersetzung von 1 : 6,1843? Für eine zweistufige Getriebepaarung mit dem Übersetzungsverhältnis 1:6,1843 und maximal 100 Zähnen pro Rad müssen wir das Gesamtübersetzungsverhältnis auf zwei Stufen aufteilen.
Das Gesamtübersetzungsverhältnis ist i_ges = 6,1843, also:
i_ges = i₁ × i₂ = 6,1843
Zunächst suchen wir eine optimale Aufteilung. Eine gute Näherung ist:
√6,1843 ≈ 2,487
Dies deutet auf eine Aufteilung von etwa 2,5 × 2,5 hin.
Optimale Lösung:
Alle Zähnezahlen ≤ 100
Die Zähnezahlen sind teilerfremd (keine gemeinsamen Teiler außer 1)
Sehr geringe Abweichung vom Sollwert
Ausgewogene Aufteilung der Übersetzung auf beide Stufen
Alternative Lösungen mit etwas höherer Abweichung wären:
29→72 und 43→100 (i_ges = 5,74, Abweichung -7,2%)
32→80 und 40→100 (i_ges = 6,25, Abweichung +1,1%)
Die empfohlene Lösung 31→77 und 40→100 bietet die beste Annäherung an das gewünschte Übersetzungsverhältnis.
Meine Rückfrage: Die Abweichung ist zu groß. Gibt es eine Lösung mit viel geringerer Abweichung?
Antwort:
Sie haben recht, es gibt deutlich bessere Lösungen. Lassen Sie mich systematischer vorgehen.
Für eine präzisere Lösung brauchen wir eine andere Aufteilung des Übersetzungsverhältnisses 6,1843.
Optimale Lösung:
i_ges = 4,6842 × 1,3158 = 6,1632
Abweichung: (6,1632 - 6,1843) / 6,1843 = -0,34%
Diese Lösung mit 19→89 und 76→100 reduziert die Abweichung auf nur 0,34%, was deutlich präziser ist als die ursprünglichen 0,41%.
Beispiel: Gesucht ist ein Übersetzungsverhältniss von
1: 6,1843 als zweistufiges Getriebe.
Zahnzahlen sollten zwischen max. 90 und min.12 liegen.
Nach längerem Grübeln komme ich auf:
60:20 mit 66:38 = 6,1875. Gut, aber nicht genau genug.
Wie lässt sich das schneller rechnen?
Mir fehlt eine generelle Lösung.
Die generelle Lösung geht so: ein Getriebe aus 2 Zahnrädern Z1 und Z2 realisiert eine Übersetzung Z1:Z2. Nehmen wir eine zweite Stufe Z3 und Z4 dazu ergibt sich die Übersetzung (Z1:Z2)×(Z3:Z4)=(Z1×Z3):(Z2×Z4). Usw. Usf.
Du suchst also Zahlen Z1..Z4 ∈ [12..90] so daß
(Z1×Z3):(Z2×Z4) = 10000:61843
Exakt geht das so, daß man sowohl 10000 als auch 61843 in ihre Primfaktoren zerlegt und diese dann passend kombiniert. Blöderweise ist 61843 nicht zerlegbar. Es ist eine Primzahl. Exakt geht das also nicht.
(mit den angegebenen Constraints geht das mit 2 Stufen ohnehin nicht, weil 10000 = 100×100 zu große Zahnräder ergeben würde)
Bleibt also eine Näherung. Dummerweise enthalten sowohl 61842=2×3×11×937 als auch 61844=2×2×15461 jeweils einen großen Primfaktor (>100).
Untersuchen wir benachbarte Verhältnisse. 100000:618426 sieht gut aus.
100000=2^5×5^5 und 618426=2×3×3×17×43×47. Eine 2 können wir rauskürzen. Wir brauchen insgesamt 4 Stufen und zwar mit 3, 51=3×17, 43 und 47 Zähnen. Auf der anderen Seite können wir z.B. 2, 50=2×5×5, 25=5×5 und 20=2×2×5 Zähne nehmen (es würden auch 4, 20, 25 und 25 gehen). Die Zahnräder mit 2 und 3 Zähnen "blasen" wir auf 20 bzw. 30 Zähne auf. Wir haben also eine Übersetzung
Vielen Dank für die letzte ausführliche Antwort, welche vorbildlich schon nahe einer Anleitung ist.
Auf so was hoffe ich und werde aber regelmäßig (als Mitleser oder Googlenutzer) mit fertigen Onlineberechnungstools, Programmen, Tabellen, oder Behelfslösungen (von Leuten, die es selbst wohl nicht so genau wisse, bzw. die Lehrer hatten, die es nicht genau wussten, bzw. "einfach" einen Rechner ansetzen -Brute Force- )usw. als Lösung beglückt.
Es ist sehr schwierig mal solche "Anleitungen" und Antworten wie von Axel zu erhalten - irgendwo her müssen doch auch all die "Onlinerechner" für solche Probleme ihr "Wissen" und Rechenanleitungen haben.
Nochmal:
Danke, an solchen "Anleitungen" und Detailerklärungen, die auf fertige Black Boxes oder durch irgendwelche, irgendwie erstellte Tabellen (Z. B Ebbe und Flutzeitpunkt - nicht weil ich sie brauchen würde, sondern "einfach so" aus Neugeier wie das "per hand" berechnet wird bzw. wurde) verzichtet.
Das Ergebnis hat Bernd vorgegeben. Wenn sich der Mond 6,1843 mal um die Erde gedreht hat, dann ist ein halbes Jahr vergangen. Eine Bewegung von 180° reichen aus, um die Erde hinter einer Blechverkleidung verschwinden zu lassen.
Das Ergebnis hat Bernd vorgegeben. Wenn sich der Mond 6,1843 mal um die
Erde gedreht hat, dann ist ein halbes Jahr vergangen.
Und was wäre der Fehler ?
"Nach längerem Grübeln komme ich auf:
60:20 mit 66:38 = 6,1875. Gut, aber nicht genau genug.
Die zweite Lösung in meiner Zeichnung kommt schon besser hin"
6,1875 : 6,1843 = 1,0005174, d.h +517,4ppm Fehler
Ob DAS die Funktion des Modells sichtbar verschlechtert? Das wäre ein Winkelfehler des Mondes von sagenhaften 0,18 Grad bzw. 11,1 Bogenminuten.
Ob DAS die Funktion des Modells sichtbar verschlechtert? Das wäre ein
Winkelfehler des Mondes von sagenhaften 0,18 Grad bzw. 11,1
Bogenminuten.
Dann wäre die Frage was verwenden (historische) astronomische Uhren? Sind die besser oder schlechter? Also im Prinzip die Frage was war und ist Stand der Technik.
Man könnte sich auch noch die Ganggenauigkeit des Antriebs ansehen und ob der Fehler nicht in der Ganggenauigkeit unter geht.
Man könnte sich auch noch die Ganggenauigkeit des Antriebs ansehen und
ob der Fehler nicht in der Ganggenauigkeit unter geht.
Naja, ein Zahnradgetriebe hat keine akkumulierenden Fehler, denn dann müßten die Zähne springen. Aber kann ein Zahnradgetriebe trotzdem einem Fehler machen, wenn die Durchmesser der Zahnräder nicht EXAKT stimmen? Ich meine nein, denn das wird durch das Spiel kompensiert und es ist IMMER ein EXAKTER, gebrochenrationaler Teiler. Also die Verhältnisse der Drehzahlen stimmen schon.
Ich gebe erschwerend zu bedenken, dass alle 4 Jahre ein Schaltjahr ist. Alle 100 Jahre fällt das Schaltjahr jedoch aus und alle 400 Jahre wiederum nicht, aber nach 1600 Jahren fällt es dann doch wieder aus.
Außerdem muss man sowieso nach einem halben Jahr die Uhr regelmäßig stellen, solange es noch Sommer- und Winterzeit gibt.
Ich gebe erschwerend zu bedenken, dass alle 4 Jahre ein Schaltjahr ist.
Was hat das mit der Mondumlaufbahn zu tun? Der springt ja nicht, wenn wir hier Schaltjahr haben.
Schwieriger zu handhaben ist, daß sich der Mond langsam (etwa 4cm pro Jahr) von der Erde entfernt und damit der Umlauf langsamer wird.
Übrigens gibt es schon länger mechanische Lösungen, um
Zahnräder mit wechselnder Zähnezahl zu erhalten.
Sowas stelle ich mir für die "Erde" vor. Der Vorteil wäre, dass
hier ein Zeiger auf einer Datumsskala mitlaufen könnte.
Mit Schaltjahresberücksichtigung.
Das würde bei eine festen Übersetzungsverhältniss von 1:365,25
nicht funktionieren.
Das würde bei eine festen Übersetzungsverhältniss von 1:365,25
nicht funktionieren.
Ohje, jetzt will er einen mechanischen Kalender bauen 8-0
Wer nur einen Hammer hat, sieht überall nur Nägel . . .
Die Sache mit den Schaltjahren ist eine praktische Annäherung an die realen Verhältnisse, weil man ja keine halben Tage im Kalender unterbringen kann. Man kann das Rotationsverhältnis aber auch ausrechnen, auch wenn es dann wie in deiner Ursprungsfrage ein gebrochenrationales Verhältnis mit vielen Nachkommastellen wird. Dann braucht man keine Schrittmechanik mit Sprüngen an Zahnrädern. Und wenn doch, kann man die Schaltjahrberechnung auch rein mechanisch mit ganzen Zahlen lösen, man muss halt variable Monatszähler bauen (was man so oder so braucht). Hab ich mal vor vielen Monden zumindest theoretisch mit TTL-ICs gemacht.
Ohje, jetzt will er einen mechanischen Kalender bauen 8-0
Wer nur einen Hammer hat, sieht überall nur Nägel . . .
.. und hat Dir einen rostigen in den Kopf gehämmert.
Bei Bernd waren Beruf und Hobby vermutlich nie trennbar und er tobt sich nun an der Präzionsmechanik seiner Uhr aus. Das ist bewundernswerte Arbeit und braucht Deinen dämlichen Kommentar nicht!
Gibt ein Ergebnis nur dann aus, wenn es besser ist als alle bisherigen.
Bessere Metrik: Angenommen, man will ein Verhältnis von 1:1. Dann erzeugt ein Verhältnis von 1:2 einen gleich großen Fehler wie 2:1. Daher ist die Differenz zum Zielverhältnis keine gute Metrik (Ok, wenn das Zielverhältnis fast exakt erreicht werden kann macht es keinen großen Unterschied. Andererseits tut log nicht weh).
Ich finde Falk's Einwand berechtigt. Ich hab mir genau das gleiche gedacht. Lieber das Übersetzungsverhältnis leicht anpassen 100:36525, so dass es die uns bekannte Realität abbildet (statt den 365 Tage Kalender mit Schaltjahr)
Dieser Bruch wird dann wie gewünscht auf zwei Faktoren aufgeteilt, wobei man evtl. noch erweitern muss / kann um in den gewünschten Bereich von 12...90 zu kommen.
O.E. kann man z3 >= z1 nehmen, was die Laufzeit verringert.
Du hyperoptimierst gerade.
Und du hyperventilierst :-)
Ich fand's halt nervig, dass das Skript so lange braucht. Sich über die Gestalt des Ergebnisraumes Gedanken zu machen schadet nie, schon garnicht bei so ausgefeilten Ansätzen wie Brute Force.
Das angehängte Programm reduziert die Anzahl der Schleifendurchläufe
deutlich, so dass auch in Python die Lösungen praktisch sofort dastehen
(in C geht es natürlich nochmals deutlich schneller). Es gibt noch mehr
Optimierungsmöglichkeiten, aber ich wollte es nicht übertreiben ;-)
Ausgegeben werden nur die Zähnekombinationen mit dem geringsten Fehler
im Übersetzungsverhältnis. Von mehreren Lösungen, die durch Vertauschen
der Zahnräder ineinander übergeführt werden können, wird jeweils nur
eine ermittelt und angezeigt.
Für das von Bernd gewünschte Übersetzungsverhältnis von 6.1843 liefert
das Programm die folgende Ausgabe:
1
ratio0 = 6.18430000
2
ratio = 6.18431373 error = +2.22e-06
3
4
z1 z2 z3 z4
5
-------------------
6
17 83 15 19
7
30 83 17 38
8
34 83 15 38
9
34 83 30 76
10
45 83 17 57
11
51 83 15 57
12
51 83 20 76
13
60 83 17 76
14
68 83 15 76
15
85 83 12 76
16
-------------------
Die Ergebnisse stimmen mit den von Uwe überein. Mit einem relativen
Fehler von +2.22E-6 wird der Sollwert schon recht gut getroffen, vor
allem vor dem Hintergrund, dass die von Bernd verwendete julianische
Jahreslänge (365.25 Tage) mit einem relativen Fehler von -1.74e-5
gegenüber der siderischen Jahreslänge fast um den Faktor 8 ungenauer
ist.
Ich habe mir erlaubt, den Sollwert für das Übersetzungsverhältnis aus
der Wikipedia-Angabe für die synodische Monatslänge mit ein paar mehr
Nachkommastellen auszurechnen. Damit ändern sich auch die optimalen
Zähnezahlen:
1
ratio0 = 6.18426541
2
ratio = 6.18423552 error = -4.83e-06
3
4
z1 z2 z3 z4
5
-------------------
6
39 88 27 74
7
81 88 13 74
8
-------------------
Mit Modifikationen auch am Rest der Mechanik kann die Genauigkeit weiter
erhöht werden. Betrachten wir dazu Bernds Skizze:
Ersetzt man das große, hellblaue Zahnrad durch eines mit 61 statt 122
Zähnen (es dreht sich dann sechsmal statt dreimal pro Jahr) und ändert
zum Ausgleich das Übersetzungsverhältnis des Reduktionsgetriebe von 3:1
in 6:1 (Parameter red_ratio in der Software), ergibt such folgendes:
1
ratio0 = 2.47370616
2
ratio = 2.47370534 error = -3.33e-07
3
4
z1 z2 z3 z4
5
-------------------
6
53 79 47 78
7
-------------------
Der Schaltstern muss dann 24 statt 12 Zacken haben, die Abstände der
zwischen den Schaltzähnen sind dann jeweils 6, 6 und 12 Zacken.
Wegen der nur angenäherten Jahreslänge von 365.25 Tagen kann man
entweder die Monatslänge in Tagen oder die Anzahl der Mondumläufe pro
Jahr optimieren, aber leider nicht beides gleichzeitig.
Dieser Konflikt wird beseitigt, wenn man statt der 365.25 Tage die
tatsächliche (also die siderische) Jahreslänge von 365.25636042 Tagen
verwendet. Ohne an der jetzigen Mechanik viel zu ändern, könnte man dies
einfach dadurch realisieren, das man das Tagesrad (grün in der Skizze)
um den entsprechenden Faktor langsamer antreibt. Die Mechanik für die
Schalttage macht dann wenig Sinn und würde wegfallen.
Mit dem 3:1-Reduktionsgetriebe ergibt sich dann:
1
ratio0 = 6.18437310
2
ratio = 6.18438538 error = +1.99e-06
3
4
z1 z2 z3 z4
5
-------------------
6
43 73 14 51
7
-------------------
Auch hier kann die Genauighkeit mit dem 6:1-Reduktionsgetriebe nochmals
deutlich gesteigert werden:
1
ratio0 = 2.47374924
2
ratio = 2.47374948 error = +9.85e-08
3
4
z1 z2 z3 z4
5
-------------------
6
59 88 41 68
7
-------------------
Dass jetzt das Tagesrad keine echten Tage mehr zählt, ist natürlich
hässlich. In einem nächsten Schritt kann deswegen versucht werden, die
Zähnezahlen des großen, hellblauen Rads und der vier Räder des
Reduktionsgetriebes anzupassen. Da für diese Optimierung weitere vier
Freiheitsgrade verfügbar sind, bin ich mir ziemlich sicher, dass man
damit eine sehr hohe Genauigkeit für das Gesamtsystem erreichen kann.
D.h. sowohl das Verhältnis von Tages- zu Monats- als auch von Monats-
zu Jahreslänge sind dann gleichermaßen genau.
Der Vorteil wäre, dass hier ein Zeiger auf einer Datumsskala mitlaufen
könnte. Mit Schaltjahresberücksichtigung.
Dieser Vorteil ist dann leider dahin. Welcher der beiden Alternativen
man den Vorzug gibt, hängt davon ab, ob das Gerät eher als origineller
Kalender oder eher als astronomischer Demonstrator dienen soll.
Für einstufige Getriebe ist das das Standardverfahren, vor allem für
Leute ohne Computer (Papier und Bleistift genügen). Aber für zweistufige
Getriebe mit Beschränkung der Zähnezahlen habe ich keine so richtige
Idee, wie man das Verfahren anwenden könnte.
Ja ein mathematisches Problem. Ich hab auch mal die Ki das in einen Dezimalbruch umzuwandeln lassen. Das ist blöderweise 61843/10000, da gab es nichts zu kürzen. Die Gesamtübersetzung müsste also 61843/10000 sein. Da du 3 Zahnräder in Reihenschaltung hast, ist das Gesamtübersetzungsverhältnis
(Z1/Z2)*(Z2/Z3). Also "Getriebe konstruieren" und mathematische Frage passen hier nicht.
Wenn denn auch ein Übersetzungsverhältnis von 6,1875 noch ok ist, dann sind das 99/16. Eine mögliche praktische Lösung wäre dann z.B. Z1 zu Z2=9/4 und Z2 zu Z3=11/4.
Ich vermute, es gibt keine geschlossene Lösung, außer für Trivialfälle. Also bleibt nur das systematische Durchprobieren, wie es oben schon mehrfach gemacht wurde.
Also alle in der Nähe der Lösung liegenden Zahlenwerte suchen und die beste Lösung nehmen. Das könnte auch eine Exceltabelle sein, die man aufsteigend sortieren lässt.
Ein ähnliches Problem hat man, wenn man eine hochgenaue Frequenz erzeugen will, und dazu die krumme Referenzfrequenz aus einem GPS-Empfänger benutzt.
Ein PLL-Oszillator hat vermutlich zuviel Jitter.
Für einstufige Getriebe ist das das Standardverfahren,
vor allem für Leute ohne Computer (Papier und Bleistift
genügen).
Ahh. Interessant. Wusste ich nicht.
Aber für zweistufige Getriebe mit Beschränkung der
Zähnezahlen habe ich keine so richtige Idee, wie man
das Verfahren anwenden könnte.
Naja, im gegebenen Fall sprang das fast ins Auge:
Ich habe erstmal 6.1843 in einen regulären Kettenbruch
entwickelt; der Anfang ist [6;5,2,2,1,7...], dann hatte
ich keine Lust mehr. (Ich wollte schließlich keine
"beste" Lösung finden, sondern nur eine bessere als
Bernd -- und das möglichst ohne Probieren.)
Als Näherungsbrüche ergeben sich 6/1; 31/5; 68/11;
167/27; 235/38; 1812/293.
Der letztgenannte Näherungsbruch ist Mist, weil der
Nenner prim ist.
Dass 235/38 ein guter Kandidat ist, sieht man, weil
235 = 47 * 5 ist, und außerdem gilt 38 = 19 * 2.
Die beiden kleinen Primfaktoren habe ich mit 10 erweitert,
so dass man letztlich die von mir angegebenen Zähnezahlen
47/19 und 50/20 erhält.
Johann listet diese Lösung in der Form
1
12 30 19 47 --> 6.18421053 0.999985532124
auf; das sind in der Essenz dieselben Primfaktoren.
[...] Aber für zweistufige Getriebe mit Beschränkung
der Zähnezahlen habe ich keine so richtige Idee, wie
man das Verfahren anwenden könnte.
Mein Herumgerechne im konkreten Fall habe ich ja schon
beschrieben; jetzt mal zum allgemeinen Fall:
Kettenbruchentwicklung als erster Schritt ist klar,
damit man überhaupt erstmal eine Darstellung des
Übersetzungsverhältnisses als gemeinem Bruch hat.
(Im konkreten Beispiel ergaben sich die Näherungs-
brüche 6/1; 31/5; 68/11; 167/27; 235/38; 1812/293.)
Jetzt können zwei Fälle eintreten:
Entweder -- Fall (a) -- die Kettenbruchentwicklung
liefert direkt einen Näherungsbruch, der sowohl genau
genug ist als auch weder im Zähler noch im Nenner zu
große Primfaktoren enthält, oder -- Fall (b) -- die
Kettenbruchentwicklung liefert keinen solchen Bruch.
Die Fortsetzung im Fall (a) ist auch klar: Man zerlegt
Zähler und Nenner in Primfaktoren und sortiert die so
hin und her (und erweitert gegebenenfalls), dass man
eine geeignete Darstellung der Übersetzung als Produkt
zweier Brüche (mit jeweils zulässigem Zähler und Nenner)
hat.
Fall (a) manifestiert sich im Beispiel in der Näherung
235/38 -- das habe ich im andern Beitrag schon dargestellt.
Fall (b) liegt bei 1812/293 vor, denn 293 ist prim.
So. In der Zwischenzeit ist mir wieder etwas eingefallen,
das ich früher irgendwo in den unendlichen Weiten des
Internet gelesen hatte:
Die Näherungsbrüche, die sich direkt aus der Kettenbruch-
entwicklung ergeben, sind (in einem mir unbekannten Sinne)
"beste" Näherungen.
Zu diesen "besten" Näherungsbrüchen z_k/n_k; z_k+1/n_k+1;
kann man nun Zwischenbrüche der Gestalt
1
(z_k + m*z_k+1)/(n_k + m*n_k+1)
bilden, die auch alle "relativ gute" Näherungen sind.
Darüberhinaus ist auch die Frage der Primzahlzerlegung
wieder offen.
Im Beispiel: "Beste" Näherungen sind 235/38 und 1812/293.
Ein Zwischenbruch wäre z.B.
1
(1812+1*235)/(293+1*38).
2
3
235/38 = 6.1842105
4
1812/293 = 6.1843003
5
2047/331 = 6.1842900
Leider hilft das nicht weiter, weil 331 auch prim ist.
Geht man allerdings ganz hemdsärmelig vor und bildet
(1812-235)/(293-38), dann findet man den Zwischenbruch
1
1577/255 = 19*83/15*17 = 6.1843137
das ist genau die von Johann und anderen gefundene beste
Lösung.
Durch die Zwischenbrüche kann man somit aus der
Kettenbruchentwicklung -- die stets nur "beste"
Näherungen liefert -- weitere "gute" Näherungen mit
i.d.R. anderen Primfaktoren gewinnen, die dann weiter
auf Eignung getestet werden können.
Ich habe erstmal 6.1843 in einen regulären Kettenbruch
entwickelt; der Anfang ist [6;5,2,2,1,7...], dann hatte
ich keine Lust mehr.
Die Enticklung von 6.1843 in einen einfachen Kettenbruch ist:
1
[6; 5, 2, 2, 1, 7, 34]
Da 6.1843 rational ist bricht die Kettenbruchentwicklung nach endlich vielen Stellen ab: Nach der 34 kommen nur noch Nullen. Die Partialbrüche und logarithmischen Abstände zu 6.1843 sind:
1
6 = 6.00000000 -0.03025435
2
31/5 = 6.20000000 +0.00253547
3
68/11 = 6.18181818 -0.00040139
4
167/27 = 6.18518519 +0.00014312
5
235/38 = 6.18421053 -0.00001447
6
1812/293 = 6.18430034 +0.00000006
7
61843/10000 = 6.18430000 0
Als Näherungsbrüche ergeben sich 6/1; 31/5; 68/11;
167/27; 235/38; 1812/293.
Der letztgenannte Näherungsbruch ist Mist, weil der
Nenner prim ist.
Dass 235/38 ein guter Kandidat ist, sieht man, weil
235 = 47 * 5 ist, und außerdem gilt 38 = 19 * 2.
Glück gehabt dass 235 keine Primzahl ist.
Johann listet diese Lösung in der Form
1
> 12 30 19 47 --> 6.18421053 0.999985532124
auf; das sind in der Essenz dieselben Primfaktoren.
Aber die Lösung ist nicht optimal.
12 30 19 47 hat einen Fehler von 1.45e-05. Bestlösung hat einen Fehler von 2.22e-06, also einen um den Faktor 6.5 kleineren Fehler!
Wo lernt man sowas? Ich hatte Mathe und Physik 1 im Abi und später hatten wir Taylor-Polynome, Laplace-Transformation
und Fourier-Analyse an der Akademie. Wieso ist Kettenbruchentwicklung komplett an mir vorbei gegangen? Habt ihr alle Mathematik studiert?
Ist einfach der Euklid'sche Algorithmus angewandt auf reelle Zahlen. Alles was man dazu braucht ist +, * und Division mit Rest (so dass der Rest kleiner ist als der Divisor).
Der Euklid'sche Algorithmus angewandt auf zwei reelle Zahlen ≠0 terminiert genau dann, wenn deren Verhältnis rational ist. Die Alten Griechen nannten das "kommensurabel".
In einem gewissen Sinne sind die so erhaltenen Partialbrüche optimal, d.h. der Approximationsfehler steht in einem bestimmten Verhältnis zur Größe des Nenners, und kein Bruch mir kleinerem Nenner liefert eine bessere Approximation.
Interessanterweise sind die Rationalen Zahlen diejenigen, die sich am schlechtesten durch Rationale Zahlen approximieren lassen. Danach folgen quadratische Irrationalzahlen wie der Goldene Schnitt.
Taylor-Polynome
U.U. sind Approximationen durch rationale Funktionen statt durch Polynome besser geeignet um eine Funktion anzunähern. Dazu wendet man den erweiterten Euklid'schen Algorithmus auf das m-te Taylor-Polynom und x^{m+1} an und bricht nach einer gegebenen Schrittzahl ab.
Ergebnis ist eine Padé-Approximante. Wie Taylor-Approximanten auch, stimmen ihre ersten n-ten Ableitungen in einem gegebenen Punkt mit denen der Zielfunktion überein. Taylor-Polynome sind lediglich der Spezialfall mit konstantem Nenner. Die beste Approximante ist jedoch i.d.R diejenige mit Grad(Zähler) = Grad(Nenner) / 2.
Der (erweiterte) Euklid'sche Algorithmus wird auch verwendet, um das multiplikativ Inverse in einem endlichen Körper zu berechnen. Da ist man dann in der Ecke von CRC, Pseudo-Zufall und Kryptographie.
Wo lernt man sowas? Ich hatte Mathe und Physik 1 im Abi und später
hatten wir Taylor-Polynome, Laplace-Transformation
und Fourier-Analyse an der Akademie. Wieso ist Kettenbruchentwicklung
komplett an mir vorbei gegangen?
M.W. lernen das die Maschinenbauer im Studium. Zumindest war das früher
der Fall, als noch nicht jeder einen PC hatte.
Hier ein auf möglichst geringe Anzahl der Zahnräder optimiertes
Planetenmodell.
Respekt! So etwas im Alter von 77 Jahren ohne Computer hinzubekommen,
ist schon eine beachtliche Leistung. Evtl. hatte der Herr eine
mechanische Rechenmaschine, aber selbst damit ist das immer noch eine
Sisyphusarbeit. Auch die Idee, den Mondumlauf um die Erde von der
Differenz der Umläufe von Erde und Mars abzuleiten, zeugt von hoher
Kreativität. Immerhin hat er wohl so um die drei Jahre an der Sache
herumgetüftelt.
Hallo,
habe jetzt nicht jeden Beitrag peinlichst genau durchgelesen, aber wenn ich das Problem des TO richtig verstanden habe, möchte er doch nur eine exakte Übersetzung.
Er schreibt zwar, er möchte es mit einem Zahnradgetriebe machen, das aber ohne weitere Begründung, vielleicht hat er sich damit einfach schon zuweit eingeschränkt, drum mal ein alternativer Vorschlag: Reibradgetriebe!
Damit kann er beliebig genau werden, die Fertigung ist wenige kompliziert als irgendwelche exotische Zahnräder zu fertigen/beschaffen.
Gruß Hans
Ja ja, oder Kegel-Riemengetriebe oder Schrittmotoren Direktantrieb. Natürlich kommt das zuerst in den Kopf. Dann liest man sich die Fragestellung noch mal genau durch, es war ein Matheproblem.
Reibradgetriebe!
Damit kann er beliebig genau werden
und handelt sich dafür das Problem namens Schlupf ein.
Außerdem müssten, um die gleiche Genauigkeit im Übersetzungsverhältnis wie beim zweistufigen Zahnradgetriebe zu erhalten, die Reibräder mit einer relativen Genauigkeit von 1e-6 gefertigt werden. Bei einem Raddurchmesser von 100mm entspricht dies einem absoluten Fehler von ca. 0,1um. Um diese Genauigkeit beizubehalten, müssten die Räder praktisch verschleißfrei sein. Das erscheint mir ziemlich utopisch.
entwickelt sich beim Moped schnell ein Kettenbruch ;-)
Eigentlich auch schon lange nicht mehr. Die O-Ring oder X-Ring Ketten sind dauergeschmiert. Die schmierst du eigentlich nur noch, um die Reibung zwischen Kette und den Ritzeln zu minimieren. :-)
das ist alles nur ge-klaauwt
Den Preis mit dreistelliger Nachkommazahl "EUR 227,000" habe ich schon richtig verstanden?
Der "Crystal" aus Saphir ist kein Schwingquarz.
Und dafür braucht es eine Übersetzung, die auf hunderte oder gar
tausende Jahre nur kleinste Fehler macht? C'mon!
Der Fehler in Bernds erstem Ansatz mit vier Zahnrädern ist
60:20 · 66:32 / 6,1843 - 1 ≈ 517 ppm
Bereits nach einem Jahr beträgt der Fehler der Mondposition 2,3°, was
problemlos mit dem Auge erkennbar ist, wenn man die tatsächliche
Position kennt.
Nach 5,3 Jahren hat der simulierte Mond gegenüber dem realen schon einen
Vorsprung von einem Tag. Der Vergleich mit den in einem gewöhnlichen
Kalender eingetragenen Mondphasen genügt schon, um diesen Fehler zu
erkennen.
Es besteht nun die Möglichkeit, allein durch eine andere Dimensionierung
der vier Zahnräder die Genauigkeit von 517ppm auf 2,22ppm, also um mehr
als zwei Größenordnungen zu verbessern. Das mag dir vielleicht etwas
übertrieben vorkommen, aber warum sollte man diese Chance verschenken?
Wenn du zwei Multimeter zum gleichen Preis angeboten bekämst, von denen
das eine auf 0,2% und das andere auf 0,001% genau misst (bei sonst
mindestens gleich guten Daten), welches der beiden würdest du nehmen?
Würdest du sagen
"Wozu brauche ich eine Genauigkeit von 0,001%? C'mon!"
und dich deswegen für das ungenauere Gerät entscheiden?
Bereits nach einem Jahr beträgt der Fehler der Mondposition 2,3°,
was
problemlos mit dem Auge erkennbar ist, wenn man die tatsächliche
Position kennt.
Keine Sekunde! Und schon dreimal nicht auf dem angedachten Ziffernblatt!
Das schafft man bestenfalls mit einem DIREKTEN Vergleich mit Meßhilfsmittlen! Macht aber keiner.
Nach 5,3 Jahren hat der simulierte Mond gegenüber dem realen schon einen
Vorsprung von einem Tag.
Wie das?
Der Vergleich mit den in einem gewöhnlichen
Kalender eingetragenen Mondphasen genügt schon, um diesen Fehler zu
erkennen.
Nö, denn du kannst auf dem Ziffernblatt die Mondphase mal sicher nicht so genau ablesen.
Es besteht nun die Möglichkeit, allein durch eine andere Dimensionierung
der vier Zahnräder die Genauigkeit von 517ppm auf 2,22ppm, also um mehr
als zwei Größenordnungen zu verbessern. Das mag dir vielleicht etwas
übertrieben vorkommen, aber warum sollte man diese Chance verschenken?
Soll man nicht. Es war die Frage, wieviel Genauigkeit real sinnvoll ist.
Wenn du zwei Multimeter zum gleichen Preis angeboten bekämst, von denen
das eine auf 0,2% und das andere auf 0,001% genau misst (bei sonst
mindestens gleich guten Daten), welches der beiden würdest du nehmen?
Die Illusion von benötigter Genauigkeit ist weit verbreitet. Sieht man überall immer wieder. Auch wenn die 0,001% theoretisch deutlich besser sind, sind die allermeisten Messungen mit 0,2% problemlos bedient.
Würdest du sagen
"Wozu brauche ich eine Genauigkeit von 0,001%? C'mon!"
In der Tat! Vor längerer Zeit ging es um die Berechnung von Masse in einem neuen Gerät, das mußte abspecken. Ein Kollege rechnete mit 2,69 g/cm^3 für die Dichte von Aluminium. Jaja, sehr sinnvoll. Und absolut praxisrelevant!
. . . . . Der Rest der Welt rechnet mit 2,7g/cm^3.
und dich deswegen für das ungenauere Gerät entscheiden?
Ich bin Realist und Praktiker, kein Genauigkeitsfetischist und Pedant. Ein hochpräzises Meßgerät nutze ich nur, wenn ich es WIRKLICH brauche! Und das ist bei mir EXTREM selten.
Fast eine Viertelmillion am Handgelenk? Man weiß ja nie, ob man nicht zufällig auf dem Mars landet und dort dringend wissen möchte, welche Uhrzeit gerade auf der Erde gilt.
Klar, "technically sweet" ist das Ding schon. Oppenheimer nannte sein "Kind" so.
Ich dachte, die Saphire, auch "jewels" genannt, dienen als verschleißarmes Achslager.
Das schafft man bestenfalls mit einem DIREKTEN Vergleich mit
Meßhilfsmittlen! Macht aber keiner.
Vielleicht wird Bernd entsprechende Skalen vorsehen, damit man die
Bewegung von Erde und Mond leichter quantitativ verfolgen kann.
Nach 5,3 Jahren hat der simulierte Mond gegenüber dem realen schon einen
Vorsprung von einem Tag.
Wie das?
Sorry, es sind 5,7 Jahre.
Ich hatte gerechnet mit
1 d / (365,24 d/a · 517 ppm) ≈ 5,3 a
habe dabei aber nicht berücksichtigt, dass das Mondgetriebe nicht
stationär montiert ist, sondern sich beim Umlauf der Erde um die Sonne
mitdreht. Der Wert muss deswegen noch mit t_syn / t_sid (synodische und
siderische Umlaufzeit des Mondes) multipliziert werden:
5,3 a * 29.53 / 27.32 ≈ 5,7 a
Der Vergleich mit den in einem gewöhnlichen Kalender eingetragenen
Mondphasen genügt schon, um diesen Fehler zu erkennen.
Nö, denn du kannst auf dem Ziffernblatt die Mondphase mal sicher nicht
so genau ablesen.
Man wartet einfach einen Vollmondtag (oder einen Neumondtag) ab, dann
springt der Fehler mehr als deutlich ins Auge (s. Anhang).
Der wichtige Punkt ist doch: Die Zahnräder müssen speziell gefertigt
werden. Wenn es eine Kombination gibt, die nicht mehr Räder braucht,
aber ein genaueres Ergebnis liefert, wäre es verschenkte Genauigkeit.
Ein Zahnrad mit 68 Zähnen ist genau so viel Arbeit, wie ein Rad
mit 69 Zähnen.
Die Uhr ist für Leute, die schon alles haben mit Ausnahme einer
Armbanduhr mit den Planeten. Genau diese Leute würden die Uhr aber
verschmähen, wenn sie nur 277€ statt 277000€ kosten würde.
Ich dachte, die Saphire, auch "jewels" genannt, dienen als
verschleißarmes Achslager.
Die Lagersteine sind üblicherweise Rubine. Diese sind ebenso wie Saphire
kristallines Aluminiumoxid (Al₂O₃, Korund), haben aber durch bestimmte
Verunreinigungen eine rote Farbe. Dadurch heben sie sich optisch gut vom
umgebenden Messing ab, so dass sie der Uhrenliebhaber leichter zählen
kann ;-)
Natürliche Saphire sind meist ebenfalls leicht gefärbt (oft hellblau
oder rosa). Uhrgläser sollen farblos sein und werden deswegen aus
synthetischem, reinen Korund hergestellt (ist natürlich auch billiger).
Trotzdem wird das Material Saphir genannt, weil das sehr viel edler als
Korund oder Aluminiumoxid klingt.
Bernd, kannst du mir so etwas als schicke, kleine Armbanduhr bauen?
Wobei wir hier im Elektronikforum sowas auch mit einem Haufen Mikromotoren oder einem hochauflösenden Display hinkriegen sollten, ohne auf Zahnräder zurückgreifen zu müssen.
Faszinierend dass es 200 vor Chr. schon Menschen gab die so präzise Sonnen- und Mondfinsternisse vorhersagen und solche genauen Getriebe konstruieren konnten (gestern auf Terra X)
Auf PDF-Seite 24 von 36 ist das Zahnradschema abgebildet, mit der Erklärung
"Figure 7. Price’s 1974 gearing scheme, adapted from Gears from the Greeks, with gear identifiers as in Figure 4. Gears having no counterpart in Figure 4 are designated by primed letters."
Ein Wunder jedenfalls, dass man den Fund nicht mit den technischen Möglichkeiten von 1900 beschädigt hat.
Faszinierend dass es 200 vor Chr. schon Menschen gab die so präzise
Sonnen- und Mondfinsternisse vorhersagen und solche genauen Getriebe
konstruieren konnten (gestern auf Terra X)
Faszinierend finde ich auch Nachbauten des Antikythera Mechanismus, wie im ytube Kanal Clickspring.
Da ist nicht nur ein Nachbau zu sehen, sondern komplette Dokumentation des Prozesses, inclusive Nachbau von damals verwendeten Werkzeugen wie Feilen und Bohrer, mit Herstellung von Gussteilen, Härtung etc.
Mondantrieb.png
(9,6 KB)
