Benutzer:Oldbug/Amplitudenberechnung

Empfindlichkeiten

[math]\displaystyle{ U_{soll} = \frac{Y_{KN}}{Y_{MV}} \cdot |U_{MB}| }[/math]

Begriffe

Frequenz: [math]\displaystyle{ Formelzeichen: f, Einheit: Hz = \frac{1}{s} }[/math]

Kreisfrequenz: [math]\displaystyle{ Formelzeichen: \omega = 2 \cdot \pi \cdot f, Einheit: \frac{1}{s} = Hz }[/math]

Auslenkung: (Amplitude: [math]\displaystyle{ \widehat{s} }[/math]) [math]\displaystyle{ s(t) = \widehat{s} \cdot \sin(\omega_0 \cdot t) }[/math]

Geschwindigkeit: Amplitude: [math]\displaystyle{ \widehat{v} = \widehat{s} \cdot \omega_0 }[/math]

Grundlagen

[math]\displaystyle{ f = 250Hz; \bar{v} = 3,2 \cdot 10^{-3} \frac{m}{s} }[/math]

[math]\displaystyle{ \int a = v\cdot dt;\qquad \int v = x \cdot dt;\qquad \int\int a = v \cdot dt^2 }[/math]

Durchschnittsgeschwindigkeit: [math]\displaystyle{ v = 1/T \int_0^T a(t)dt }[/math]

Umstellung

[math]\displaystyle{ Geschwindigkeitsamplitude: \widehat{v} = \bar{v} \cdot \sqrt{2} = 3,2 \cdot 10^{-3} \frac{m}{s} \cdot \sqrt{2} = 6,51 \cdot 10^{-2} \frac{m}{s} }[/math]

[math]\displaystyle{ Wegamplitude: \widehat{s} = \frac{\widehat{v}}{\omega_0} = \frac{6,51 \cdot 10^{-2} \frac{m}{s}}{2 \cdot \pi \cdot 250Hz} = 2,88101 \cdot 10^{-6} m = 0,00288101 mm }[/math]

Lösung

Start im Umkehrpunkt => Beschleunigung maximal => cos benutzen! => Gesucht: [math]\displaystyle{ x(\frac{T}{2}) = 2 \cdot \widehat{x} }[/math]

[math]\displaystyle{ a(t) = \widehat{a} \cdot cos(2\pi f t) }[/math]

[math]\displaystyle{ v(t) = \int_0^t a(t)dt = \frac{\widehat{a}}{2\pi f} sin(2\pi f t) }[/math]

[math]\displaystyle{ \bar{v} = \frac{1}{T/2} \int^{T/2}_0 v(t) dt }[/math]

[math]\displaystyle{ x(t) = \int_0^t v(t) dt }[/math]

[math]\displaystyle{ x(T/2) = \int_0^{T/2} v(t) dt = \bar{v} \cdot T/2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \widehat{x} = x(T/2)/2 = \bar{v} \cdot T/4 }[/math]

Lösung 2

[math]\displaystyle{ x(t) = \widehat{x} \cdot cos(2 \pi f \cdot t) }[/math]

Ableiten:

[math]\displaystyle{ v(t) = -\widehat{x} \cdot 2 \pi f \cdot sin(2 \pi f \cdot t) }[/math]

Vorfaktoren kürzen sich weg:

[math]\displaystyle{ \bar{v} = \widehat{x} \cdot 2 \cdot \frac{1}{T/2} \int^{T/2}_0 v(t) dt = \widehat{x} \cdot \frac{1}{T/2} \left[cos(2 \pi f \cdot t)\right]^{T/2} = v \cdot \frac{2}{T/2} = \widehat{x} \cdot \frac{4}{T} }[/math]

[math]\displaystyle{ \widehat{x} = \bar{v} \cdot T/4 = \frac{\bar{v}}{4 f} }[/math]

Lösung 3 (!)

[math]\displaystyle{ \widehat{s} = \frac{ \sqrt{2} \cdot V_eff \cdot \frac{1}{\pi f} }{2} }[/math]