- Bildergalerie

Spektrum vom Rechteck

Jens Gast 20.05.2008 20:06 #872872

Guten Abend,

ich hab bei der Berechnung des Spektrums von einem Rechteck Probleme.

Das Spektrum eines Signals x(k) lässt sich so berechnen:

$X(w)=\sum_{k=-\infty}^\infty~x(k)\cdot e^{jwkT}$


In dem Bild das ich im Anhang angehängt habe, ist das Spektrum R(w) von 
einem Signal r(t) (Rechteck) gegeben. Warum wurde hier mit

$e^{-\frac{jwTm}{2} }$

 multipliziert?
Hat hier jemand eine Idee?

Angehängte Dateien:

Spektrum_Rechteck.PNG (2,2 KB)

Antwort Zitieren Bearbeiten Thread verschieben Thread sperren Langsamer Modus Anmeldepflicht aktivieren Anpinnen Thread löschen Thread mit anderem zusammenführen Melden Danke

Thomas B. (detritus) 20.05.2008 20:59 #872947

Damit man das Ding als Si-Funktion (sin(x)/x) schreiben kann. Darauf hat 
man hier zwar verzichtet, aber das dürfte das Ziel gewesen sein.
Da das Rechteck nicht um 0 rum zentriert ist, kriegt das Spektrum ne 
Phase und das ist der e^-Term.

Antwort Zitieren Bearbeiten Löschen Melden Danke

Jens Gast 21.05.2008 09:34 #873282

Das mit dem sin(x)/x ist mir schon klar. Trotzdem weiss ich immer noch 
nicht wie man rechnerisch auf den Phasentherm kommt.

Antwort Zitieren Bearbeiten Löschen Melden Danke

Jens Gast 21.05.2008 09:38 #873285

Wahrscheinlich ist es so, dass das Integral bzw. die Summe von -Tm/2 bis 
+Tm/2 geht. Damit erhält man den sin(x)/x Ausdruck. Da das Rechteck 
nicht von -Tm/2 beginnt sondern bei Tm=0 beginnt hat man noch mit dem 
Phasentherm e^(-jwTm/2) multipilizuiert.

Antwort Zitieren Bearbeiten Löschen Melden Danke

I_ H. (i_h) 21.05.2008 14:44 #873626

Schreib mal die Fouriertransformation für a(t) und a(t-a) hin (Integral 
von - bis + unendlich usw.).

Nun ersetzt du in der 2. Gleichung t-a durch tau, dann hast du statt 
e^(-j*2PI*f0*t) dastehen e^(-j*2*PI*f0(tau+a)) - kannst du zu 
Multiplikation von 2 e^ umschreiben, der Teil mit a ist konstant, kommt 
also vor's Integral. t kannst du so ohne weiteres ersetzen, weil die 
Sache eben von - bis + unendlich läuft.

Antwort Zitieren Bearbeiten Löschen Melden Danke

Jens Gast 21.05.2008 15:03 #873661

Ist meine obige Erklärung falsch? Ich denke nicht.

Fourier-Integral: (es handelt sich ja um ein Energiesignal)

$R(w)=\int_{-\infty}^{\infty}~r(t)e^{-jwt}~dt$

$R(w)=\int_{-\frac{-Tm}{2}}^{\frac{-Tm}{2}}~r(t)e^{-jwTm}~dt$


Damit erhalte ich dann den Ausdruck:

$R(w)=Tm \cdot \frac{sin(w \frac{Tm}{2})}{w \frac{Tm}{2}}$


Da aber der Rechteck zum Zeitpunkt 0 beginnt muss man noch mit den
Phasentherm multiplizuieren:

$e^{-\frac{jwTm}{2} }$

$R(w)=Tm \cdot e^{-\frac{jwTm}{2}} \cdot \frac{sin(w \frac{Tm}{2})}{w \frac{Tm}{2}}$

Antwort Zitieren Bearbeiten Löschen Melden Danke

Jens Gast 21.05.2008 15:12 #873676

Dieser Formel ist falsch:

$R(w)=\int_{-\frac{-Tm}{2}}^{\frac{-Tm}{2}}~r(t)e^{-jwTm}~dt$


Korrigierte Formel:

$R(w)=\int_{-\frac{Tm}{2}}^{\frac{Tm}{2}}~r(t)e^{-jwt}~dt$

Antwort Zitieren Bearbeiten Löschen Melden Danke

Thomas B. (detritus) 21.05.2008 15:52 #873737

Ja. Alternativ:

Integration von 0 bis Tm.
Nach dem Einsetzen der Grenzen siehst du (w ist omega)
-1/(jw)*e^(-j*Tm*w) + 1/(jw)*e^0
Dann klammerst du den halben Phasenfaktor aus:
e^(-jwTm/2)*[-1/(jw)*e^(-jwTm/2)+1/(jw)*e^(+jwTm/2)]
Dann den gemeinsamen Faktor 1/(w) noch ausklammern und dann wird das in 
der [] zu
2*sin(wTm/2).
Vorne wird der ausgeklammerte Faktor 1/(w) noch mit (Tm/2)/(Tm/2) 
erweitert. Der Nenner davon kommt zusammen mit dem w unter den sin, was 
zur si führt und der Zähler wird zusammen mit der 2 vom sin zu Tm. Damit 
erhält man dasselbe Ergebnis.
Deine Lösung macht das ganze natürlich sehr viel einfacher.

Antwort Zitieren Bearbeiten Löschen Melden Danke

Jens Gast 21.05.2008 17:14 #873849

Ok Danke Thomas B. für deine Unterstützung.

Antwort Zitieren Bearbeiten Löschen Melden Danke

Thread beobachten

Antwort schreiben

Eine eigene Frage? Dieser Thread ist über 18 Jahre alt. Stell sie in einem eigenen Thread – dort lesen mehr Leute mit, und sie wird öfter und schneller beantwortet.

Neuen Thread starten

Eine Lösung, Ergänzung oder Rückmeldung zu diesem Thread? Dann antworte hier.

Text *

Formatierung

[c]C-Code[/c]
[code]Code in anderen Sprachen, ASCII-Zeichnungen[/code]
[math]Formel in LaTeX-Syntax[/math]
[[Titel]] – Link zu einem Artikel
Verweis auf einen anderen Beitrag: Rechtsklick auf dessen Beitrags-ID (#8078628), „Adresse kopieren“, in den Text einfügen

Mehr zur Formatierung

Anhänge

Längeren Sourcecode als Anhang, nicht in den Text. JPG nur für Fotos und Scans; Zeichnungen und Screenshots als PNG oder GIF. Siehe Bildformate.

Dein Name und deine E-Mail-Adresse

Schon registriert? Anmelden

Vorname *

E-Mail-Adresse *

Wird nicht angezeigt. Wir schicken dir einen Link; sobald du damit bestätigst, erscheint dein Beitrag.

Thread beobachten

Mit dem Abschicken legst du einen kostenlosen Account an und erkennst die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzerklärung an.

Kontakt/Impressum – Datenschutzerklärung – Nutzungsbedingungen – Werbung auf Mikrocontroller.net