Berechnung von Mindestabtastfrequenzen bei analogen Signalen

Karl K. Gast #875678
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Hallo,

ich sitze gerade vor einer Abschlussprüfung der IHK und nun kommt hier 
folgende Frage, bei der ich einfach nicht auf die Lösung komme. Ich 
hoffe irgendjemand kann mir den Rechenweg zeigen und eventuell auch eine 
kleine Erklärung:

Bei einer Übertragung sollen zwei analoge Frequenzbänder von jeweils 20 
Hz bis 18 kHz digital übertragen werden. Nach dem Abtasttheorem ist eine 
Mindestabtastfrequenz der analogen Signale erforderlich. Wie groß ist 
die kleinstmögliche der angegeben Übertragungsraten, wenn für die 
Quantisierung der Abtastwerte (Samples) eine Auflösung von 16 Bit 
vorgesehn ist? (Eine Datenreduktion ist nicht vorhanden.)

(1) 288 kbit/s
(2) 1125 kbit/s
(3) 1,125 Mbit/s
(4) 1,92 Mbit/s
(5) 316,8 kbit/s

Vielen Dank im Voraus.

Die richtige Antwort kenne ich aber ich weiss nicht wie man darauf 
kommen soll. (Ich schreibe diese jetzt mal mit Absicht nicht hin)
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Karl K. Gast #875751
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Oh man,

vielen vielen Dank.

f_s > 2*f_max = 2*18 kHz = 36 kHz
36 000 Hz * 16 bit = 576 000 bit/s = 562,5 kbit/s

Soweit hatte ich das auch schon. Aber ich hab nicht bedacht das es ja 
zwei Kanäle sind.

Die Antwort 2 ist richtig.

Nochmal vielen Dank. Ich muss einfach genauer lesen.
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Matthias Gast #875769
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Hab grad die Formel nicht zur Hand, aber gab es da nicht mal was, wenn
man Bandpass-Signale abtasten will, dass man eben nicht 2*fmax benutzen 
muss?

Dann sollte die Abtastfrequenz etwas niedriger sein.
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SI-Unit Gast #875773
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Hallo Matthias,

die Formel, von der Du sprichst, kenne ich nicht. Und ich kann mir auch 
wirklich nicht vorstellen, dass es sie gibt. Zumindest nicht so, wie Du 
sie beschreibst.

Egal ob Bandpass oder nicht: Die höchste abzutastende Frequenz (im 
obigen Beispiel 18 kHz) muss doch nach den Gesetzen des Abtasttheorems 
erfasst werden. Damit musst Du mit mindestens 36 kHz abtasten. Egal ob 
Du auch noch Signale mit 20 Hz erfasst.

Gruß, Nils
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HildeK Gast #876023
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>wenn
>man Bandpass-Signale abtasten will, dass man eben nicht 2*fmax benutzen
>muss?
>Dann sollte die Abtastfrequenz etwas niedriger sein.

Das ist richtig!
Das Abtasttheorem sagt, dass die Abtastfrequenz mindestens zweimal die 
Bandbreite des Signalspektrums betragen muss!
Wenn man also einen Frequenzbereich von z.B. 100kHz...101kHz abtasten 
möchte, dann reicht eine Abtastfrequenz von >2kHz!
Wir haben vor Jahren ein TV-ZF-Signal (Bereich ca. 32 ... 40 MHz) mit 28 
MHz AD-gewandelt und weiterverarbeitet.
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Matthias Gast #876229
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Der Witz an der Sache ist, dass beim Abtasten eines Signals mit 
definierter Bandbreite sogenannte Aliasbänder entstehen:

[Amplitude]
|
|
|
| /-----\    fA   /-----\         /-----\
|/ Orig. \   |   / Alias \   |   / Alias \ ...
|--------------------------------------------> [f]

So wie oben dargestellt, wird praktisch das untere Band in die 
Aliasbänder kopiert. Die 2*fmax sind dazu da, dass man mit wenig 
Filteraufwand die Aliasbänder herausfiltern kann. Ist die Abtastfrequenz 
zu niedrig, dann
liegen die Bänder zu dicht beieinander oder überlappen sich. Dann gibt 
es nur noch Kraut und Rüben.

Allerdings, wenn das Originalsignal im Bereich des ersten Aliasbandes 
liegen würde, dann würde die Abtastung mit fA Aliasbänder im bereich 
oberhalb und unterhalb der Originalsignals erzeugen. Damit haben wir 
dann wieder was wir wollen, nur mit weniger Abtastfrequenz.
Siehe hier:

[Amplitude]
|
|
|
| /-----\    fA   /-----\         /-----\
|/ Alias \   |   / Orig. \   |   / Alias \ ...
|--------------------------------------------> [f]

Ich hoffe diese grafische Darstellung veranschaulicht das Ganze.
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Günter -. #877557
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Matthias wrote:
> Hab grad die Formel nicht zur Hand, aber gab es da nicht mal was, wenn
> man Bandpass-Signale abtasten will, dass man eben nicht 2*fmax benutzen
> muss?

Das ist das Abtasttheorem von Shanon. Leider wird es viel zu oft falsch 
vermittelt.

Genaugenommen sagt das Abtasttheorem, dass die Abtastfrequenz mindest 
doppelt so groß wie die Signalbandbreite sein muss.

In vielen Lehrbüchern wird das Theorem im Zusammenhang mit einem 
Basisbandsignal gezeigt. Da hier die untere Grenzfrequenz 0 ist, stimmt 
natürlich die Aussage das die Abtastfrequenz > 2*fmax sein muss, da fmax 
die Bandbreite des Signals ist. Daraus folgern viele das es immer so 
gilt.

Die Abtastung eines Basisbandsignals ist also nur ein Spezialfall, bei 
dem man einen kleine Teil vom Abtasttheorem weglassen kann.

Didaktisch finde ich das nicht sehr sinnvoll.

Gruß,

Günter
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