Hallo Fourieranalysten :) ich habe heute versucht, die Zeitverschiebungsregel auf eine T-periodische Funktion anzuwenden. x(t) = x(t-T) | | X(f) = exp(-j*2*pi*f*T)*X(f) da sich die Funktion bei einer T-Verschibung immernoch dieselbe ist, muss exp(-j*2*pi*f*T) = 1 werden/sein => 2*pi*f*T = 2*pi*n => f*T = n T kann beliebig gewählt werden und f läuft über alle Frequenzen und der Produkt muss ganzzahlig sein. Das ist nur auf den ersten Blick ein Widerspruch. Denn später habe ich mich erinnert, dass das Spektrum X(f) nur an den diskreten Frequenzen Beiträge hat, also aus Dirakimpulsen aufgebaut ist. Für das Produkt aus exp(-j*2*pi*f*T) und X(f) ist es somit unwichtig, nur fur die Frequenzen an denen Dirakimpuls steht, muss die obige Bedingung f*T = ganzzahlig gelten. Ist diese "Herleitung" sauber? Grüsse, Daniel
Hallo, wieso meinst Du, dass exp(-j*2*pi*f*T) = 1 gilt? X(f) ist im allgemeinen komplex-wertiges, und lediglich |X(f)| muss gleich bleiben. Der Therm exp(-j*2*pi*f*T) beschreibt dann die Zeitverschiebung. Gruß FL
>da sich die Funktion bei einer T-Verschibung immernoch >dieselbe ist, muss exp(-j*2*pi*f*T) = 1 werden/sein Wegen T = 1/f ist exp(-j*2*pi*f*T) = exp(-j*2*pi) = 1 Du darfst die Originalfunktion x(t) sogar um n T mit beliebigem ganzzahligem n verschieben; auch das lässt sowohl diese als auch ihre Fouriertransformierte X(f) unverändert: exp(-j*2*pi*n*f*T) = exp(-j*2*pi*n) = 1
Ja, wenn T die Abtastperiode ist, hast Du recht. Das war in Daniels Beitrag aber nicht angegeben, ich habe T als beliebige Zeitkonstante augefasst. Es war ja noch nicht einmal davon die Rede, dass wir hier von einem zeitdiskreten System reden... Gruß FL
>Ja, wenn T die Abtastperiode ist, hast Du recht. >Das war in Daniels Beitrag aber nicht angegeben, Abtastperiode? Ich habe recht, wenn T schlicht die Periode des Signals ist, und als solche hat Daniel es auch spezifiziert (erstes Posting, dritte Zeile: " [...] T-periodische Funktion [...]") >ich habe T als beliebige Zeitkonstante augefasst. Periodische Funktionen bleiben nur unter Verschiebungen um ganzzahlige Vielfache ihrer Periode erhalten. Aus der Verschiebung um was Beliebiges resultiert i. a. eine andere Funktion.
Du schreibst aber: T=1/f, dass ist "überlichweise" ein abgetastetes System (natürlich geht es auch zeitkontinuierlich). Nur war eben dieses T=1/f dem Original-Post nicht so ohne weiteres zu entnehmen. Dass Daniel erst nach einigen Berechnungen auf die Gleichung f*T=n kommt, läßt ja eher anderes vermuten ;-) Wenn f=1/T ist, muß man ja diese Berechnungen nicht vornehmen. Dann ist exp(-j*2*pi*f*T) = exp(-j*2*pi) und damit ist der Term 1. Gruß Frank
Hallo, >wieso meinst Du, dass > exp(-j*2*pi*f*T) = 1 >gilt? weil wenn die Funktion T-periodisch ist, dann ist x(t) und ihre verschobene x(t-T) bzw x(t-nT) absolut identisch. Also müssen auch ihre Spektren identisch sein. Wenn jetzt aber das Spektrum von x(t) nur Beiträge an den Vielfachen von 1/T hat, was dann auf f=n/T hinausläuft, dann wird diese Forderung "exp(-j*2*pi*f*T) = 1" automatisch erfüllt. Mathematisch ergibt sich halt der Ausdruck exp(-j*2*pi*f*T)*X(f) als Produkt von zwei Funktion von f => a(f)*b(f) Wobei b(f) = X(f) ist. a(f) für sich alleine ist eben nicht für alle f gleich 1. Aber an den entscheidenden Stellen wo b ungleich 0 ist, wird sie 1. Somit gilt dann a(f)*b(f)=b(f) Ich hoffe, ich hab's verständlich ausgedruckt. Grüsse, Daniel
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