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sigma Fourier transformieren
Gast
#918196
Ich habe folgende Korrespondenz daraus wird Wie kommt man denn dadrauf? Wenn ich direkt in die Formel sigma reinsetzte, dann kann ich die untere Integralgrenze auf 0 setzen und sigma durch 1 ersetzen. Dann lässt sich e-Funktion sehr einfach integrieren .. nur t=+inf kann man dann doch nicht einsetzen!? das wäre doch so ähnlich wie cos(t), t->inf
Gast
#923402
Ich weiß jetzt nicht, wie das d(t)/2 dahin kommt, aber im Grunde ist es kein Problem mit dem t=inf, denn lim e^(-jwt) für t->inf = 0. Dagegen lim e^(-jwt) für t->0 = 1. Damit hast du ein Integral von 0 bis inf für e^-jwt dt = 1/-jw * [e^-jwt] von 0 bis inf = (-1/jw)*(0-1) = 1/jw mit w=2PIf Hm frag mich nur gerade auch wo der Deltaimpuls herkommt. Das kommt davon, wenn man nur nach Rechentabellen geht -.-
Gast
#923523
>>denn lim e^(-jwt) für t->inf = 0
das stimmt nicht, der Exponent ist imaginär!
Am einfachsten ist die Herleitung über die Zusammensetzung der
Signumfunktion und einer Konstanten:
Die Fouriertransfomrierte der Signumfunktion ist und die von 1/2 zusammengesetzt kommt dann deine Korrespondenz heraus.
Gast
#923816
@Rafael
Wenn man x'(t) Laplace transformiert, macht man das ja
mit der partiellen Integration. Der erste Summand ist ja
x(t)*exp(-st) in Grenzen von 0 bis +inf.
*Nur unter der Annahme, dass Re{s}>0 ist*, kommt das
bekannte -x(0) heraus. Also zusammen s*X(s)-x(0).
Daher diese Beschränkung auf Rechte s-Halbebene.
Bei der Fourier gibt es keinen Realteil von dem man
etwas fordern und einschränken könnte ...
@joep
Ich hab verzweifelt nachgedacht woher 0.5d(t) kommt
und hab keine Minute daran gedacht, dass manche
sigma(0) = 1/2 definieren!!!
Daran ist wohl auch das Buch was ich habe schuld.
Da steht nur sigma(x<0)=0 und sigma(x>0)=1
und nix für sigma(0). Aber bei der Transformierten
taucht dann 0.5d(t).
Ok, wäre damit aufgeklärt :)
Danke für die Antworten.
Grüsse
Gast
#924139
>Ich hab verzweifelt nachgedacht woher 0.5d(t) kommt >und hab keine Minute daran gedacht, dass manche >sigma(0) = 1/2 definieren!!! Das ist aber auch nicht frei gewählt. Damit die fouriertransformierte der Funktion existiert muss die Dirichlet-Bedingung erfüllt sein, daher das sigma(0)=1/2.
Gast
#924161
so wie ich das weiss, könnte man schon eine Unstetigkeit an der Stelle 0 machen, und zB sigma(0)=1 setzen. Nur wird die Rücktransformierte dann nicht gleich der definierten sigma Funktion sein, sondern an der Stelle 0 0.5 sein. Meinst Du das? grüsse
Gast
#924436
Genau das meine ich. Die Fouriertransformation macht natürlich nur Sinn, wenn nach der Rücktransformation wieder die ursprüngliche Funktion heraus kommt, sonst ist es ja eben nicht die Fouriertransformierte dieser bestimmten Funktion sondern einer anderen Funktion ;) Antwort schreiben |
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