Wie findet man ein Optimum bei z=f(x,y)?

[Daniel (Gast)]

Hallo Leute,

wenn ich partielle Ableitung gleich 0 setze, zB
df/dx = 0
dann bekomme ich für ein festes y, Maxima oder Minima
in der xz Ebene. Natürlich ist das kein lokales
Hoch oder Tief auf die Fläche unter xy Ebene.
Aber diese Gleichung hat eben 2 Unbekannte, x und y.

Wenn ich dasselbe Spiel für df/dy mache, dann bekomme
ich 2 Gleichungen. Ist die Lösung dieses Gleichungsystems
die Lösung?

Irgendwie hatte ich nach der Schule keine Zeit gehabt
die Ideen auf mehr Dimensionen auszuweiten^^
Aber müsste glaube ich so stimmen.

Kann das jemand bestättigen?

Grüsse, Daniel

[Jörg (Gast)]

Wenn Du im Eindimensionalen als Ableitung (z.B. df(x)/dx) = 0 hast
(diff.bare Funktion vorausgesetzt!!), so sagt das ja noch nicht aus,
dass ein lokales Maximum oder Minimum vorliegt; als Beispiel: x^3
hat bei x=0 eine Null-Ableitung, aber kein Extremum. Eine Null-Ableitung
ist aber eine notwendige Voeraussetzung, es müssen also noch andere
Kriterien untersucht werden (zweite Ableitung ungleich NULL).

Im Zweidimensionalen ist es ähnlich, es kommen aber noch zusätzliche
Probleme wie z.B. Sattelpunke hinzu. Hier zeigt die Summe der beiden
partiellen Ableitungen immer in Richtung maximale Steigung. Also hast
Du als notwendiges Kriterium dann ein Extremum, wenn beide partiellen
Ableitungen Null sind. Für eine hinreichende Bestätigung brauchst
Du aber die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung.

Mach Dir vieleicht mal einfache Skizzen um Dir den Sachverhat klar
zu machen, ist einfacher als man annimmt.

Gruss

Jörg

[Kevin K. (nemon)]

also du ermittelst für df/dx alle nullstellen, ebenso für df/dy.
wenn du das für -oo <= x,y <= +oo machen möchtest, also in der 
kompletten ebene die minima/maxima finden willst, bist du beinahe 
fertig, du musst nur noch schauen, ob für x => +oo, y => +oo, x => -oo 
und y => -oo die funktion gegen einen höheren/niedrigeren wert geht, als 
bei den ermittelten minima/maxima.
wenn du für ein intervall von x und y die lokalen minima/maxima machen 
willst, machst du wiederum die richtungsableitungen und bestimmst deren 
nullstellen, da sind aber jetzt nur die im intervall interessant.
dann machst du die ableitungen für die kanten, sprich du setzt in die 
gleichung eine kante ein und machst die ableitung nach der verbleibenden 
variablen. hast du dort eine nullstelle, musst du diese auch ausrechnen. 
das amchst du für alle 4 kanten und zum schluss noch für alle 4 ecken. 
die funktionswerte an diesen koordinaten berechnest du und vergleichst 
sie. prinzipiell geht das auch für höhere dimensionen, ist aber dann 
deutlich aufwändiger

[Fred (Gast)]

Randbedingung?

2te Formel (Optimum)

[Jörg (Gast)]

Mögliche Extrema bekommt man also durch den Test df/dx=0,df/dy=0.
Bleiben also noch die zweiten Ableitungen (Annahme: f ist zweimal
stetig diff.bar). Die zweiten Ableitungen lassen sich zu einer
Bilinearform zusammenfassen:

  Ableitung in (x,y)-Richtung =

           ( fxx   fyx )   (x)
  (x,y) *  (           ) * ( )
           ( fxy   fyy )   (y)

  = (x,y)  M  (x,y)^T


(z.B. x=cos(w),y=sin(w), w = Richtung im Bogenmass).
Wenn jetzt M positive Eigenwerte hat, dann ist M positiv definit, sind
beide Eigenwerte negativ, dann ist M negativ definit. Im ersten Fall
liegt dann ein MINIMUM vor, im zweiten Fall ein MAXIMUM.

Im Mehrdimensionalen ist es genauso, nur dass Eigenwerte dann wesentlich
schwerer zu bestimmen sind.

Gruss

Jörg