Wie findet man ein Optimum bei z=f(x,y)?

Wenn Du im Eindimensionalen als Ableitung (z.B. df(x)/dx) = 0 hast
(diff.bare Funktion vorausgesetzt!!), so sagt das ja noch nicht aus,
dass ein lokales Maximum oder Minimum vorliegt; als Beispiel: x^3
hat bei x=0 eine Null-Ableitung, aber kein Extremum. Eine Null-Ableitung
ist aber eine notwendige Voeraussetzung, es müssen also noch andere
Kriterien untersucht werden (zweite Ableitung ungleich NULL).

Im Zweidimensionalen ist es ähnlich, es kommen aber noch zusätzliche
Probleme wie z.B. Sattelpunke hinzu. Hier zeigt die Summe der beiden
partiellen Ableitungen immer in Richtung maximale Steigung. Also hast
Du als notwendiges Kriterium dann ein Extremum, wenn beide partiellen
Ableitungen Null sind. Für eine hinreichende Bestätigung brauchst
Du aber die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung.

Mach Dir vieleicht mal einfache Skizzen um Dir den Sachverhat klar
zu machen, ist einfacher als man annimmt.

Gruss

Jörg

Randbedingung?

2te Formel (Optimum)

Mögliche Extrema bekommt man also durch den Test df/dx=0,df/dy=0.
Bleiben also noch die zweiten Ableitungen (Annahme: f ist zweimal
stetig diff.bar). Die zweiten Ableitungen lassen sich zu einer
Bilinearform zusammenfassen:

  Ableitung in (x,y)-Richtung =

           ( fxx   fyx )   (x)
  (x,y) *  (           ) * ( )
           ( fxy   fyy )   (y)

  = (x,y)  M  (x,y)^T


(z.B. x=cos(w),y=sin(w), w = Richtung im Bogenmass).
Wenn jetzt M positive Eigenwerte hat, dann ist M positiv definit, sind
beide Eigenwerte negativ, dann ist M negativ definit. Im ersten Fall
liegt dann ein MINIMUM vor, im zweiten Fall ein MAXIMUM.

Im Mehrdimensionalen ist es genauso, nur dass Eigenwerte dann wesentlich
schwerer zu bestimmen sind.

Gruss

Jörg