Hallo In ingenieurwissenschaftlichen Vorlesungen/Büchern trifft man immer wieder auf die Aussage "dieses Problem ist analytisch nicht lösbar". Was heisst das eigentlich? Ist es einfach vieeel zu aufwändig? Oder hat noch niemand herausgefunden, wie man es analytisch löst? Oder gibt es wirklich Probleme (beispielsweise im PDE-Bereich), die analytisch nicht lösbar sind? Und warum? Naja, vielleicht eine etwas seltsame Frage, trotzdem... :-) Gruss Michael
Mal mathematisch betrachtet, ohne Bezug auf Ingenieure: Es gibt Probleme, nicht tatsächlich nicht lösbar sind. Und für die man das auch beweisen kann. Es gibt Probleme, für die man keine Lösung kennt. Es gibt Probleme, für die es vielleicht eine analytische Lösung gibt, man aber praktischerweise mit Näherungslösungen auch ganz gut zum Ziel kommt und deshalb nicht erst lang nach einer analytischen Lösung sucht. Und es gibt Probleme, für die man zwar eine analytische Lösung kennt, die sich aber als praktisch nicht nutzbar erweist.
Salopp ausgedrückt: "analytisch lösbar" = "durch (beliebig komplizierte) Termumformungen hinzukriegen" x + 1/x = a ist eine analytisch lösbare Gleichung. exp(x) + sin(x) = a ist eine analytisch nicht lösbare Gleichung. Das Problem (F sei eine Stammfunktion zu f) "f(x) = x^5 - 3 x^2 + 8 x - 1. F(x) = ?" ist analytisch lösbar. Das Problem "f(x) = exp(-x^2). F(x) = ?" ist analytisch nicht lösbar (exp(-x^2) hat als stetige Funktion eine Stammfunktion, aber es gibt erwiesenermaßen keinen Funktionsterm in geschlossener Darstellung, dessen Ableitung gleich exp(-x^2) ist). Wenn ein Problem lösbar, aber nicht <i>analytisch</i> lösbar ist, kann man den Computer mehr oder weniger gezielt Lösungen suchen lassen. Dann spricht man von einer <i>numerischen</i> Lösung des Problems. Die Zahlenwerte, die man bekommmt, sind meistens nur Näherungslösungen. Es gibt natürlich auch Probleme, die überhaupt keine Lösung haben. Als Beispiel könnte man etwa die GLeichung x * 0 = 1 nennen.
> Das Problem "f(x) = exp(-x^2). F(x) = ?" ist analytisch nicht lösbar > (exp(-x^2) hat als stetige Funktion eine Stammfunktion, aber es gibt > erwiesenermaßen keinen Funktionsterm in geschlossener Darstellung, > dessen Ableitung gleich exp(-x^2) ist). Dann haben wir hier also ein beispiel, das analytisch echt nicht lösbar ist und nicht bloss numerisch einfacher geht?
... alles, was ich verstehe, lässt sich auch digital umsetzen.
wovon ich keine Ahnung habe, lasse ich die Finger.
gut gemeinter ratschlag
Carsten :)
Carsten wrote: > ... alles, was ich verstehe, lässt sich auch digital umsetzen. > wovon ich keine Ahnung habe, lasse ich die Finger. Single?
solange meine Frau als Widerstand (zweie Beine) auftritt, ist die Welt io! Carsten :)
Eine analytische Loesung kann noch Variablen drin haben, das bedeutet auch mit einem Parameter bekommt man noch ein schnelle Loesung. Wohingegen eine numerische Loesung keine Parameter mehr drin hat. Das bedeutet eine analytische loesung ist viel schneller evaluiert, eine numerische loesung muss fuer jeden Parameter neu gerechnet werden. Wenn man eine approximative Loesung fuer ein Problem hat kann man mit der approximation weiterrechnen, wie wenn man eine analytische loesung haette.
war da nicht was von Nullstellen eines Polynoms vom Grad 5? Soweit ich richtig weiss hat Abel? den Beweis erbracht, dass es mit Mult/Add/.. Operationen nicht geht.
http://de.wikipedia.org/wiki/Niels_Henrik_Abel hatte sogar richtig im Kopf^^ mit Operationen {Wurzeln,+,-,*,/} geht es nicht. Die Frage ist halt ob man andere Operationen auf R finden kann, die sich wohl nicht aus den schon bekannten ableiten lassen.
Muss jetzt den Text neu ordnen :) > Eine analytische Loesung kann noch Variablen drin haben, das bedeutet > auch mit einem Parameter bekommt man noch ein schnelle Loesung. Hä ? >Bei? Einer analytische Loes... > Wohingegen eine numerische Loesung keine Parameter mehr drin hat. alle Parameter = 0 ? > Das bedeutet eine analytische loesung ist viel schneller evaluiert, eine > numerische loesung muss fuer jeden Parameter neu gerechnet werden. Hast Du Recht! was will ich mit der Theorie steuern? > Wenn man eine approximative Loesung fuer ein Problem hat kann man mit der > approximation weiterrechnen, wie wenn man eine analytische loesung > haette. genauso mach ich das mit meinen Kunden auch, schrittweise Annäherung an dessen Geld! Carsten
>ein beispiel, das analytisch echt nicht >lösbar ist und nicht bloss numerisch einfacher geht? Ja. Aber auch die Gleichung ln(x)/x = a (a gegeben, x gesucht) ist nicht analytisch lösbar. Durch welche Termumformung sollte man sie in die Form x = ..." bringen? Numerisch geht es keineswegs immer "einfacher" als analytisch. Um eine Näherungslösung zu finden, müssen Terme für jeden einzelnen Näherungswert mehrfach ausgewertet werden, u. U. sehr oft, wenn eine große Genauigkeit gewünscht wird --> jede Menge Rechnerei. Außerdem muss man meistens Startparameter festlegen, und es ist nicht immer klar, welche erfolgversprechend sind. Wenn ein Problem irgendwie analytisch lösbar ist, sollte man es auch analytisch lösen. In den Endformeln offenbart sich das Wesen der Lösung, die genaue Abhängigkeit des Outputs vom Input. Und man bekommt mit einer analytischen Lösung natürlich alle numerischen Lösungen automatisch mitgeliefert - man braucht ja nur Zahlenwerte in die Endformeln einzusetzen.
AVRFan wrote: >>ein beispiel, das analytisch echt nicht >>lösbar ist und nicht bloss numerisch einfacher geht? > > Ja. Aber auch die Gleichung ln(x)/x = a (a gegeben, x gesucht) ist > nicht analytisch lösbar. Durch welche Termumformung sollte man sie in > die Form x = ..." bringen? x = -(W(-a)/a) http://de.wikipedia.org/wiki/Lambert-W-Funktion Wenns nicht stimmt schiebe ich es schon mal im Vorraus auf die späte Stunde.
Genau genommen kommt es auch darauf an, welche "Grundfunktionen" man zur Verfügung hat, also Funktionen, die man als "definiert" ansieht und als Grundbausteine in Termen verwenden kann. Zum Beispiel ist die Gleichung ln(x)/x=a sehr wohl analytisch lösbar, mit x=blah(a), wenn man als Grundbaustein die Funktion "blah" hat, welche die Umkehrfunktion von ln(x)/x ist. Andersherum ist schon e^x=a nicht mehr analytisch lösbar, wenn man den Logarithmus nicht als Grundbaustein annimmt.
Die Anzahl dieser Joker (Lambert-W und so) is sehr begrenzt. Und wenn eine Funktion nur noch als schlecht konvergierende Reihe definiert ist, bringt sie nicht mehr so viel.
Von einer analytischen Lösung darf man definitionsgemäß nur sprechen, wenn die Endformel(n) in "elementar-geschlossener Darstellung" vorliegen. "x = -(W(-a)/a)" wäre zwar tatsächlich eine geschlossene Darstellung, aber keine _elementar_-geschlossene, weil die Lambertsche W-Funktion nicht elementar ist. Durch die Forderung "elementar" wird ausgeschlossen, dass man sich zu jeder beliebigen impliziten Lösung einfach die zugehörige Funktion definiert, wodurch man immer eine geschlossene (aber wertlose) Darstellung angeben kann. Zu den elementaren Funktionen zählen - +, -, *, /, - alle Potenzen und Wurzeln, - exp, ln, log zu beliebigen Basen, - die trigonometrischen Funktionen (sin, cos, tan...) und ihre - Umkehrfunktionen (arcsin, arccos, arctan...), - die hyperbolischen Funktionen (sinh, cosh, tanh...) mit ihren Umkehrfunktionen (arsinh, arcosh, artanh...), - die Betrags- und Signumfunktion ...sowie alles, was man daraus zusammenkombinieren kann (auch "Funktion-von-Funktion"-mäßig). Nicht elementar sind - Gamma-, Beta-, Zetafunktion - Integralsinus und -cosinus - Integralexponential- und Integrallogarithmus-Funktion - elliptische Funktionen - die kumulierte Normalverteilungsfunktion - Sonderfunktionen wie die Dirichletfunktion, die Lambertsche W-Funktion oder die Eulersche phi-Funktion
Erstaunlich was sich alles unter Funktionen tummelt. Die Gammafunktion kann als experimentell betrachtet werden. Der Beweis, dass beliebig viele Pole bei -1/2 liegen ist glaub noch ausstehend... oder waren's Nullstellen ? Da waren im 18. & 19.Jh mal ein paar geniale Typen am Arbeiten, ohne Computer natuerlich, solche gibt es heute nicht mehr, resp die machen was anderes. Dasselbe wie in der klassischen Musik.
Die Gammafunktion ist sehr wohl eine Funktion. @AVRFan So geht's auch nicht. Denn nach deiner Definition wäre nichtmal Wurzel(2) lösbar. Versuch mal die Wurzel mit +, -, * und / auf die letzte Stelle zu errechnen. Wenn du einem Prozessor Wurzel(2) zum Rechnen gibst macht der auch nix anderes als ein paar Glieder einer unendlichen Reihe auszurechnen. Im Rahmen der Rechengenauigkeit ist das dann Wurzel(2), aber eben nur im Rahmen der Rechengenauigkeit. Die e Funktion ist zB. nur als Reihe oder Grenzwert definiert. sin, cos, sinh und cosh lassen sich aber aus der Reihe ableiten, wenn du's im komplexen betrachtest (sind natürlich auch wieder Reihen). Genauso kann man Sachen wie a^x erst mit der e Funktion berechnen. Mit Funktionen die im rationalen abgeschlossen sind (also +, -, *, /) kannst du keine irrationalen Zahlen ausrechnen - geht nicht.
Ja. Ja. die Gammafunktion ist eine Funktion. Alle Pole liegen bei N*(-1) und alle Nullstellen sollen bei -1/2 liegen, wurd aber noch nicht abschliessend bewiesen, soweit ich weiss. Diese Funktion kann man offensichtlich verwenden um die Summe aller negativen Integer zu berechnen. Die Gammafunktion hat dort alternierende Pole, und die kann man mit einem Limes konvergieren lassen, und so eine Summe von -1/6 bekommen. Der Beweis ist ein sehr weiter, abenteuerlicher Weg, und Hobbymathematiker wie ich sind schon vor der Mitte abgestiegen.
>Die Gammafunktion ist sehr wohl eine Funktion. Ja. Das sieht man auch daran, dass sie den Begriff "Funktion" im Namen "Gammafunktion" selbst trägt. Ich habe allerdings nirgendwo behauptet, dass die Gammafunktion keine Funktion ist. Lies meinen Post doch noch mal genau. Es ging nicht um Funktion/keine Funktion, sondern um elementare Funktion/nicht-elementare Funktion. Ich habe die als elementar geltenden Funktionen aufgelistet, und einige Beispiele für nicht-elementare Funktionen gegeben, zu denen die Gammafunktion zählt. >So geht's auch nicht. Denn nach deiner Definition wäre nichtmal >Wurzel(2) lösbar. Versuch mal die Wurzel mit +, -, * und / auf die >letzte Stelle zu errechnen. Du mich leider überhaupt nicht verstanden. >Wenn du einem Prozessor Wurzel(2) zum Rechnen gibst macht der auch nix >anderes als ein paar Glieder einer unendlichen Reihe auszurechnen. Im >Rahmen der Rechengenauigkeit ist das dann Wurzel(2), aber eben nur im >Rahmen der Rechengenauigkeit. Das sind doch alles Fragen, die numerische Lösungen betreffen. Mein Post hatte nur analytische Lösungen zum Thema, und zwar habe ich die Definition des Begriffes "analytische Lösung" etwas präzisiert. >Mit Funktionen die im rationalen abgeschlossen sind (also +, -, *, /) >kannst du keine irrationalen Zahlen ausrechnen - geht nicht. Stimmt, nur: darum gehts hier doch gar nicht!?
Es ging mir darum:
(Auszug aus Wikipedia zu elementaren Funktionen)
> Die elementaren Funktionen sind in der Mathematik immer wieder auftauchende,
grundlegende Funktionen, aus denen sich viele andere Funktionen mittels der
Grundrechenarten, Verkettung, Differentiation oder Integration bilden lassen.
Dabei gibt es keine allgemeingültige Definition, wann eine Funktion elementar
genannt wird und wann nicht.
Du kannst nicht einfach hergehen und sagen e^x sei elementar und alles
andere nicht. Das macht keinen Sinn und desswegen wird es auch nicht
gemacht.
Wenn du eine iterative Lösung für ln x / x=a findest (heißer Kandidat: x
= ln x / a) hätte die Funktion genau das selbe Recht elementar genannt
zu werden wie e^x.
Als unendliche Reihe oder Grenzwert findet sich da bestimmt was
passenderes.
Die Gammafunktion braucht man übrigens zB. auch bei Sphären-Hypervolumen
im n-Dimensionalen. Dabei taucht dann auch öfters mal Γ(n+0.5) auf, was
dann keiner Fakultät mehr entspricht.
>(Auszug aus Wikipedia zu elementaren Funktionen) > Die elementaren Funktionen sind in der Mathematik immer wieder auftauchende, >grundlegende Funktionen, aus denen sich viele andere Funktionen mittels der >Grundrechenarten, Verkettung, Differentiation oder Integration bilden lassen. >Dabei gibt es keine allgemeingültige Definition, wann eine Funktion elementar >genannt wird und wann nicht. So ist es, die Grenze ist nicht ganz scharf. Beispielsweise ist laut dem Wikipedia-Artikel für Wolfram (der von Mathematica) auch die Lambertsche W-Funktion elementar. >Du kannst nicht einfach hergehen und sagen e^x sei elementar und alles >andere nicht. Das macht keinen Sinn und desswegen wird es auch nicht >gemacht. Ich habe auch nirgendwo behauptet, e^x sei elementar und alles andere nicht. Ich habe die Funktionen, die man nach allgemeinem Konsens als elementar ansieht, doch aufgelistet, und eine entsprechende Liste, die sich mit meiner im wesentlichen deckt, findet sich auch in dem Wikipedia-Artikel. >Wenn du eine iterative Lösung für ln x / x=a findest (heißer Kandidat: x >= ln x / a) hätte die Funktion genau das selbe Recht elementar genannt >zu werden wie e^x. Verstehe ich nicht. Das Attribut "elementar" hat doch gar nichts mit der Frage nach der Berechenbarkeit einer Funktion zu tun? >Die Gammafunktion braucht man übrigens zB. auch bei Sphären-Hypervolumen >im n-Dimensionalen. Dabei taucht dann auch öfters mal Γ(n+0.5) auf, was >dann keiner Fakultät mehr entspricht. Schön, ich sehe nur den Zusammenhang mit dem Thema der Diskussion hier nicht.
Ich will damit sagen, dass die Unterteilung in elementare und nicht elementare Funktionen absolut keinen Sinn hat und in der Praxis niemanden auch nur ein Stück weiterbringt. Du hast die Frage ob etwas analytisch lösbar ist mit elementaren Funktionen in Verbindung gebracht, nicht ich. Nicht analytisch lösbare Sachen wurden schon gebracht - zB. die Stammfunktion zu e^(-x²). Wobei es natürlich trotzdem eine Reihe geben könnte, die dem Integral entspricht - die e Funktion (der Form exp(x)) ist ja nix anderes als eine Abbildung in eine Teilmenge aller konvergenten unendlichen Reihen. Also nur weil es sich nicht direkt mit e^ lösen lässt, heist das nicht, dass es keine Lösung gibt. Der einfache Weg geht halt nicht. Der Teil mit der Gammafunktion ging eher an 3365.
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