"nicht analytisch lösbar"

Salopp ausgedrückt:

"analytisch lösbar" = "durch (beliebig komplizierte) Termumformungen 
hinzukriegen"

x + 1/x = a ist eine analytisch lösbare Gleichung.

exp(x) + sin(x) = a ist eine analytisch nicht lösbare Gleichung.

Das Problem (F sei eine Stammfunktion zu f) "f(x) = x^5 - 3 x^2 + 8 x - 
1.  F(x) = ?" ist analytisch lösbar.

Das Problem "f(x) = exp(-x^2).  F(x) = ?" ist analytisch nicht lösbar 
(exp(-x^2) hat als stetige Funktion eine Stammfunktion, aber es gibt 
erwiesenermaßen keinen Funktionsterm in geschlossener Darstellung, 
dessen Ableitung gleich exp(-x^2) ist).

Wenn ein Problem lösbar, aber nicht <i>analytisch</i> lösbar ist, kann 
man den Computer mehr oder weniger gezielt Lösungen suchen lassen.  Dann 
spricht man von einer <i>numerischen</i> Lösung des Problems.  Die 
Zahlenwerte, die man bekommmt, sind meistens nur Näherungslösungen.

Es gibt natürlich auch Probleme, die überhaupt keine Lösung haben.  Als 
Beispiel könnte man etwa die GLeichung x * 0 = 1 nennen.

> Das Problem "f(x) = exp(-x^2).  F(x) = ?" ist analytisch nicht lösbar
> (exp(-x^2) hat als stetige Funktion eine Stammfunktion, aber es gibt
> erwiesenermaßen keinen Funktionsterm in geschlossener Darstellung,
> dessen Ableitung gleich exp(-x^2) ist).

Dann haben wir hier also ein beispiel, das analytisch echt nicht 
lösbar ist und nicht bloss numerisch einfacher geht?

... alles, was ich verstehe, lässt sich auch digital umsetzen.
    wovon ich keine Ahnung habe, lasse ich die Finger.


gut gemeinter ratschlag

Carsten :)

Der war gut.

solange meine Frau als Widerstand (zweie Beine) auftritt,
ist die Welt io!

Carsten :)

Eine analytische Loesung kann noch Variablen drin haben, das bedeutet 
auch mit einem Parameter bekommt man noch ein schnelle Loesung. 
Wohingegen eine numerische Loesung keine Parameter mehr drin hat. Das 
bedeutet eine analytische loesung ist viel schneller evaluiert, eine 
numerische loesung muss fuer jeden Parameter neu gerechnet werden. Wenn 
man eine approximative Loesung fuer ein Problem hat kann man mit der 
approximation weiterrechnen, wie wenn man eine analytische loesung 
haette.

war da nicht was von Nullstellen eines Polynoms vom Grad 5?
Soweit ich richtig weiss hat Abel? den Beweis erbracht,
dass es mit Mult/Add/.. Operationen nicht geht.

http://de.wikipedia.org/wiki/Niels_Henrik_Abel
hatte sogar richtig im Kopf^^
mit Operationen {Wurzeln,+,-,*,/} geht es nicht.
Die Frage ist halt ob man andere Operationen auf R
finden kann, die sich wohl nicht aus den schon
bekannten ableiten lassen.

Muss jetzt den Text neu ordnen :)


> Eine analytische Loesung kann noch Variablen drin haben, das bedeutet
> auch mit einem Parameter bekommt man noch ein schnelle Loesung.

Hä ? >Bei? Einer analytische Loes...

> Wohingegen eine numerische Loesung keine Parameter mehr drin hat.

alle Parameter = 0 ?

> Das bedeutet eine analytische loesung ist viel schneller evaluiert, eine
> numerische loesung muss fuer jeden Parameter neu gerechnet werden.

Hast Du Recht!

was will ich mit der Theorie steuern?

> Wenn man eine approximative Loesung fuer ein Problem hat kann man mit der
> approximation weiterrechnen, wie wenn man eine analytische loesung
> haette.

genauso mach ich das mit meinen Kunden auch, schrittweise Annäherung an
dessen Geld!

Carsten

>ein beispiel, das analytisch echt nicht
>lösbar ist und nicht bloss numerisch einfacher geht?

Ja.  Aber auch die Gleichung  ln(x)/x = a  (a gegeben, x gesucht) ist 
nicht analytisch lösbar.  Durch welche Termumformung sollte man sie in 
die Form x = ..." bringen?

Numerisch geht es keineswegs immer "einfacher" als analytisch.  Um eine 
Näherungslösung zu finden, müssen Terme für jeden einzelnen 
Näherungswert mehrfach ausgewertet werden, u. U. sehr oft, wenn eine 
große Genauigkeit gewünscht wird --> jede Menge Rechnerei.  Außerdem 
muss man meistens Startparameter festlegen, und es ist nicht immer klar, 
welche erfolgversprechend sind.

Wenn ein Problem irgendwie analytisch lösbar ist, sollte man es auch 
analytisch lösen.  In den Endformeln offenbart sich das Wesen der 
Lösung, die genaue Abhängigkeit des Outputs vom Input.  Und man bekommt 
mit einer analytischen Lösung natürlich alle numerischen Lösungen 
automatisch mitgeliefert - man braucht ja nur Zahlenwerte in die 
Endformeln einzusetzen.

Genau genommen kommt es auch darauf an, welche "Grundfunktionen" man zur 
Verfügung hat, also Funktionen, die man als "definiert" ansieht und als 
Grundbausteine in Termen verwenden kann.

Zum Beispiel ist die Gleichung ln(x)/x=a sehr wohl analytisch lösbar, 
mit x=blah(a), wenn man als Grundbaustein die Funktion "blah" hat, 
welche die Umkehrfunktion von ln(x)/x ist.

Andersherum ist schon e^x=a nicht mehr analytisch lösbar, wenn man den 
Logarithmus nicht als Grundbaustein annimmt.

Die Anzahl dieser Joker (Lambert-W und so) is sehr begrenzt. Und wenn 
eine Funktion nur noch als schlecht konvergierende Reihe definiert ist, 
bringt sie nicht mehr so viel.

Von einer analytischen Lösung darf man definitionsgemäß nur sprechen, 
wenn die Endformel(n) in "elementar-geschlossener Darstellung" 
vorliegen.

"x = -(W(-a)/a)" wäre zwar tatsächlich eine geschlossene Darstellung, 
aber keine _elementar_-geschlossene, weil die Lambertsche W-Funktion 
nicht elementar ist.  Durch die Forderung "elementar" wird 
ausgeschlossen, dass man sich zu jeder beliebigen impliziten Lösung 
einfach die zugehörige Funktion definiert, wodurch man immer eine 
geschlossene (aber wertlose) Darstellung angeben kann.

Zu den elementaren Funktionen zählen

- +, -, *, /,
- alle Potenzen und Wurzeln,
- exp, ln, log zu beliebigen Basen,
- die trigonometrischen Funktionen (sin, cos, tan...) und ihre - 
Umkehrfunktionen (arcsin, arccos, arctan...),
- die hyperbolischen Funktionen (sinh, cosh, tanh...) mit ihren 
Umkehrfunktionen (arsinh, arcosh, artanh...),
- die Betrags- und Signumfunktion

...sowie alles, was man daraus zusammenkombinieren kann (auch 
"Funktion-von-Funktion"-mäßig).

Nicht elementar sind

- Gamma-, Beta-, Zetafunktion
- Integralsinus und -cosinus
- Integralexponential- und Integrallogarithmus-Funktion
- elliptische Funktionen
- die kumulierte Normalverteilungsfunktion
- Sonderfunktionen wie die Dirichletfunktion, die Lambertsche W-Funktion 
oder die Eulersche phi-Funktion

Erstaunlich was sich alles unter Funktionen tummelt. Die Gammafunktion 
kann als experimentell betrachtet werden. Der Beweis, dass beliebig 
viele Pole bei -1/2 liegen ist glaub noch ausstehend... oder waren's 
Nullstellen ?
Da waren im 18. & 19.Jh mal ein paar geniale Typen am Arbeiten, ohne 
Computer natuerlich, solche gibt es heute nicht mehr, resp die machen 
was anderes. Dasselbe wie in der klassischen Musik.

Ja. Ja. die Gammafunktion ist eine Funktion. Alle Pole liegen bei N*(-1) 
und alle Nullstellen sollen bei -1/2 liegen, wurd aber noch nicht 
abschliessend bewiesen, soweit ich weiss. Diese Funktion kann man 
offensichtlich verwenden um die Summe aller negativen Integer zu 
berechnen. Die Gammafunktion hat dort alternierende Pole, und die kann 
man mit einem Limes konvergieren lassen, und so eine Summe von -1/6 
bekommen. Der Beweis ist ein sehr weiter, abenteuerlicher Weg, und 
Hobbymathematiker wie ich sind schon vor der Mitte abgestiegen.

>Die Gammafunktion ist sehr wohl eine Funktion.

Ja.  Das sieht man auch daran, dass sie den Begriff "Funktion" im Namen 
"Gammafunktion" selbst trägt.  Ich habe allerdings nirgendwo behauptet, 
dass die Gammafunktion keine Funktion ist.  Lies meinen Post doch noch 
mal genau.  Es ging nicht um Funktion/keine Funktion, sondern um 
elementare Funktion/nicht-elementare Funktion.  Ich habe die als 
elementar geltenden Funktionen aufgelistet, und einige Beispiele für 
nicht-elementare Funktionen gegeben, zu denen die Gammafunktion zählt.

>So geht's auch nicht. Denn nach deiner Definition wäre nichtmal
>Wurzel(2) lösbar. Versuch mal die Wurzel mit +, -, * und / auf die
>letzte Stelle zu errechnen.

Du mich leider überhaupt nicht verstanden.

>Wenn du einem Prozessor Wurzel(2) zum Rechnen gibst macht der auch nix
>anderes als ein paar Glieder einer unendlichen Reihe auszurechnen. Im
>Rahmen der Rechengenauigkeit ist das dann Wurzel(2), aber eben nur im
>Rahmen der Rechengenauigkeit.

Das sind doch alles Fragen, die numerische Lösungen betreffen.  Mein 
Post hatte nur analytische Lösungen zum Thema, und zwar habe ich die 
Definition des Begriffes "analytische Lösung" etwas präzisiert.

>Mit Funktionen die im rationalen abgeschlossen sind (also +, -, *, /)
>kannst du keine irrationalen Zahlen ausrechnen - geht nicht.

Stimmt, nur: darum gehts hier doch gar nicht!?

>(Auszug aus Wikipedia zu elementaren Funktionen)
> Die elementaren Funktionen sind in der Mathematik immer wieder auftauchende,
>grundlegende Funktionen, aus denen sich viele andere Funktionen mittels der
>Grundrechenarten, Verkettung, Differentiation oder Integration bilden lassen.
>Dabei gibt es keine allgemeingültige Definition, wann eine Funktion elementar
>genannt wird und wann nicht.

So ist es, die Grenze ist nicht ganz scharf.  Beispielsweise ist laut 
dem Wikipedia-Artikel für Wolfram (der von Mathematica) auch die 
Lambertsche W-Funktion elementar.

>Du kannst nicht einfach hergehen und sagen e^x sei elementar und alles
>andere nicht. Das macht keinen Sinn und desswegen wird es auch nicht
>gemacht.

Ich habe auch nirgendwo behauptet, e^x sei elementar und alles andere 
nicht.  Ich habe die Funktionen, die man nach allgemeinem Konsens als 
elementar ansieht, doch aufgelistet, und eine entsprechende Liste, die 
sich mit meiner im wesentlichen deckt, findet sich auch in dem 
Wikipedia-Artikel.

>Wenn du eine iterative Lösung für ln x / x=a findest (heißer Kandidat: x
>= ln x / a) hätte die Funktion genau das selbe Recht elementar genannt
>zu werden wie e^x.

Verstehe ich nicht.  Das Attribut "elementar" hat doch gar nichts mit 
der Frage nach der Berechenbarkeit einer Funktion zu tun?

>Die Gammafunktion braucht man übrigens zB. auch bei Sphären-Hypervolumen
>im n-Dimensionalen. Dabei taucht dann auch öfters mal Γ(n+0.5) auf, was
>dann keiner Fakultät mehr entspricht.

Schön, ich sehe nur den Zusammenhang mit dem Thema der Diskussion hier 
nicht.