Floating Point Fehler: Was passiert da?

[daniel (Gast)]

Hintergrund für das Folgende ist die Formel
limes n->inf (1+x/n)^n = exp(x)

mit x = 1 ergibt sich eine Nährung
seltsamerweise taucht ein Sprung in der Approximation auf
wenn n von 1e14 auf 1e15 um den Faktor 1000 wächst.

octave.exe:19> dx=(1+1/1e14)^1e14 - exp(1)
dx = -0.00217179437202208
octave.exe:20> dx=(1+1/1e15)^1e15 - exp(1)
dx =  0.316753378090217

ok, könnte man die Idee haben, dass es ein Bug ist
deswegen schnell in Python ausprobiert

|4> import math
|5> (1+1/1e14)**1e14 - math.exp(1)
  <5> -0.0021717943720220845
|6> (1+1/1e15)**1e15 - math.exp(1)
  <6> 0.31675337809021675

da beide auf C double stützen, ist eigentlich redundant
es nochmal in C++ auszuprobieren.

Was passiert da?
Wird die Potenzierung 'naive' in einer Schleife durchmultipliziert,
und dabei baut sich so ein grosser Fehler auf?

Grüsse

[Andreas K. (a-k)]

Such dir mal ein Programm mit grösserer Rechengenauigkeit als IEEE 
double precision und probiers damit nochmal.

Double hat ja von Haus aus nur 15-16 Dezimalstellen, und 
1+1/1e15=1,000000000000001 sind 16 Dezimalstellen.

M.a.W: Diese Formel nähert sich irgendwann nicht mehr exp(x) weil die 
Rechengenauigkeit dafür nicht ausreicht.