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Forum: Offtopic Winkelsumme eines Dreieckes auf gekrümmten Flächen


Autor: daniel (Gast)
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Hallo,

Die Winkelsumme eines Dreieckes auf einer gekrümmten Flächen
müsste doch immer grösser 180° Grad sein.
Auf der Kugel ist es offensichtlich. Aber wäre es möglich
eine Oberfläche zu finden, mit der Winkelsumme kleiner als 180°?

grüsse, daniel

Autor: I_ H. (i_h)
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Müsste auf einer konkaven Oberfläche gehen. Also zB. einem Hohlspiegel.

Autor: daniel (Gast)
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ich stelle grad fest, dass die Aufgabe auf einer
beliebigen Oberfläche 2 Punkte zu verbinden eventuell nicht
eindeutig ist. Es könnten unter Umständen mehrere gleich
kurze (gleich kürzeste sagt man im Deutschen wohl nicht) Pfade geben.

Die Gerade ist im Euklidischen Raum der kürzeste Pfad.
(Und die Eigenschaft "kurzest" ist ausschlaggebend, und nicht
etwa Eigenschaft "gerade")

Damit müsste man sich zumindest auf die Fälle konzentrieren,
die eindeutige kurzeste Pfade zwischen 3 Punkten haben.

Bei einer Kugel ist das der Fall, solange keine 2 Punkte
eines Dreieckes am Aquator gegenüber liegen.

>Müsste auf einer konkaven Oberfläche gehen. Also zB. einem Hohlspiegel.

Ich habe gegoogelt und finde dazu parabolantenneähnliche Oberflächen.
Was mich noch einwenig stützig macht.
Die Kugeloberfläche ist ja eindeutig und hat keine Dicke =>
keine 3-te Dimension. Aber ..
betrachte ich von ausserhalb sehe ich eine Wölbung,
betrachte ich von innerhalb (vom Zentrum aus) sehe ich
andere Wölbung. Kann man da von Konkav und Konvex noch reden?

Ich hab aus Physik die Definition für Konvexe Polygone (2d)
und Konvexe Räume/Volumen (3d). Und zwar die geradlinige
Verbindung 2-er beliebigen Punkte liegt gänzlich im Raum selbst.
Wobei Raum ist hier mathematisch zu verstehen und kann 2d oder 3d sein.

grüsse, daniel

Autor: Christian R. (supachris)
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Hihi, dazu fällt mir ein, dass mein Zimmer früher im Altbauhaus meiner 
Eltern auch eine Innenwinkelsumme von mehr als 360 Grad hatte. Das Haus 
war so krumm, dass jede Ecke ein stumpfer Winkel war. :)

Autor: I_ H. (i_h)
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Normalerweise geht man von einer gefüllten Kugel aus, und die ist 
konvex. Die Eigenschaften konvex/konkav sind wohldefiniert, nämlich so:

Sei
mit
die Menge aller Punkte der Strecke zwischen p1 und p2 (etwa
).


Eine Menge M ist nun konvex, gdw. (genau dann, wenn)

Ansonsten ist sie konkav. Ach ja, das umgedrehte A steht für "für alle".

Autor: daniel (Gast)
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Danke für das Auschreiben der Definition.
Das ist was ich mit "die geradlinige Verbindung 2-er beliebigen Punkte
liegt gänzlich im Raum selbst" gemeint habe.

Aber somit wäre die Kugel(ihr Volumen) konvex, aber ihre Oberfläche?
Da die Oberfläche jetzt R^2 ist, kann man keine Geraden quer
durch die Kugel ziehen, da man damit in die 3-te Dimension geht.

Also steht man vor dem Problem .. welche Strecke nimmt man
zwischen 2 beliebigen Punkten auf der Kugeloberfläche?
Hier dachte ich erst "die Kürzeste"!
Aber es ergeben sich nichteindeutige Fälle.
Das passiert im Euklidischen Raum nicht, denn da
ist die kürzeste Strecke eindeutig und es ist eine Gerade.

Als kleines Beispiel der nicht Eindeutigkeit:
http://www.roemerquelle.at/de/downloads/pressefoto...
hat eine krasse Oberfläche.
Ein Punkt im Zentrum der unteren Kreisscheibe und ein Punkt
im Zentrum der Inneren Kreisscheibe werden durch unendlich
viele gleich kurze Strecken verbunden.

grüsse, daniel

Autor: I_ H. (i_h)
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Die Kugeloberfläche im R^3 ist nicht konvex, sondern konkav. Nimm 2 
beliebige, nicht identische Punkte und die Strecke zwischen beiden läuft 
nicht mehr in der Oberfläche. Konvex/konkav bezieht sich nur auf 
Punktmengen, was man darunter dann versteht ist eine andere Sache. Das 
Intervall (1:2) ist zB. auch konvex, genauer gesagt ist jedes Intervall 
konvex.

Du willst auf sphärische Geometrie hinaus. In dem Fall bist du, wie du 
schon geschrieben hast, nicht im R^3. Es gibt unterschiedliche 
Möglichkeiten darin "Geraden" zu definieren.
Die Eigenschaft konvex/konkav bleibt unter stetiger Abbildung auch nicht 
erhalten, es hängt also auch noch davon ab, wie du die Kugel 
"adressierst". Das könntest du machen, indem du die Oberflache auf eine 
Fläche im euklidischen R^2 abbildest, du könntest aber auch Längen- und 
Breitengrade hernehmen.

Stell dir dazu zB. mal die Erde vor, die du mit Klopapier umwickelst. Du 
fängst am Nordpol an, ziehst eine Bahn zum Südpol, und dann weiter 
zurück zum Nordpol.
Wenn du die Oberfläche auf eine Fläche im euklidischen R^2 abbildest, 
ist die vom Klopapier bedeckte Fläche konvex. Gehst du aber von Längen- 
und Breitengraden aus, ist sie konkav.

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