Feststellen wie zufällig Zufallszahlen sind

Bei 10^6 sollte es gleichverteit sein, aber wirklich feststellen kann 
man das eher nicht. Bei Verschlüsselung braucht man gute Zufallszahlen, 
da gibt es jede Menge Literatur über deren Erzeugung.
Es ist aber auch nicht schwer, Pseudozufallszahlen mit einer Periode 
>10^6 zu erzeugen, die sehr gut gleichverteilt sind. Ohne Kenntnis des 
Verfahrens ist es prinzipiell unmöglich, herauszubekommen, ob es echte 
Zufallszahlen sind oder dich jemande beschei?t. Nur das Verfahren der 
Herstellung sagt was aus.

Eine ganz nette erste Korrelationsanalyse, wie ich finde, die 
Zahlenfolge in Tupel bzw. Tripel zu zerlegen und sich dann den 2D- bzw. 
3D-Plot davon anzuschauen. Gibt es korrelationen, erkennt man sofort ein 
MUster. Sind die Zahlen gleichverteilt wird die Zahlenebene, bzw. der 
Würfel homogen gefüllt.
Kann man rel. Schnell in Mathematika schreiben und ist auch recht 
anschaulich. So habe ich z.B. einen selbstgebauten 
hardware-zufallszahlengenerator mit pseudo-zufallszahlen-algorythmen 
vergleichen könnnen.

Wenn ich mich recht erinnere kann man auch die Entropie der Zahlenfolge 
berechnen. Für echte Zufallszahlen wird die Entropie maximal.

Also eine einzige Methode, die die Qualität der Zufälligkeit feststellt,
gibt es nicht. Es gibt aber viele Techniken, die verschiedene Aspekte
testen.

Als guter Start: Teste per Histogramm die Verteilung. Gleichverteilungen
lassen sich so sehr einfach verifizieren. Dieser Test stellt aber nur
die Notwendigkeit fest, nicht aber ob es hinreichend ist.

Dann: Korrelationen überprüfen. Teile dazu die Zufallszahlen in (z.B.
10,20,100 etc) Gruppen auf, wobei die erste Zahl in die Erste, die
zweite Zahl in die zweite Gruppe ... die n-te dann wieder in die erste
Gruppe usw. Zeichnest du nun die Zahlen zweier (oder mehr) Gruppen
in einem Korrelationsdiagramm ein, dann sollte sich bei jeder beliebigen
Wahl der Gruppen immer ein visuell zufälliges Muster (bei 
Gleichverteilung:
die gesammte Fläche gleichverteilt bedeckt) ergeben und keine Puktwolke
oder Wolke entlang einer Geraden.

Gruss

Jörg

Fürs Grobe würde ich die Zahlen in eine Datei schreiben und dann 
komprimieren (ZIP, RAR oder so).

3,3 bit pro Zahl mal 1 Million sind etwas über 400 kByte.

Wenn die Dateigröße in höchster Kompressionsstufe kleiner ist, dann sind 
die Zahlen nicht zufällig.

Btw - ein guter Komprimierer macht genau das von Jörg vorgeschlagene.

Der beste Test, ob 10^6 Zahlen zufällig sind, ist folgender:

Veröffentliche die ersten 999000 Zahlen und schreibe einen Wettbewerb 
aus, dass derjenige 1000000€ gewinnt, der die letzten 1000 Zahlen aus 
dem Anfang rekonstruiert.

Du kannst die Signifikanz des Ergebnisses kontrollieren a) mit dem 
Anteil der veröffentlichen Zahlen b) mit der Höhe des Preisgeldes.

array unsigned int a[10]//alle Felder nullen

for(i=0;i<10^6;i++)
{
 a[rand_1_10()-1]++;
}

gucken ob a[0] -> a[9] ungefährt gleich.

Lies nochmal die Fragestellung.

> Wenn alle Zahlen ungefähr gleich oft vorkommen, heißt das ja auch
> nicht unbedingt dass die Zahlen zufällig sind, es könnte z.B. eine
> Folge wie 1, 2, 3,4,5,6,7,8,9,1,2,3,.. sein.