Hilfe bei Lösung einer Gleichung

[Moritz (Gast)]

Hallo Leute,

Ich kann folgende Gleichung einfach nicht lösen. Könnt ihr mir bitte 
weiterhelfen?


0 = sqrt( x*x / [18*18 + x*x] ) +3

[Falk B. (falk)]

@  Moritz (Gast)

>Ich kann folgende Gleichung einfach nicht lösen. Könnt ihr mir bitte
>weiterhelfen?

>0 = sqrt( x*x / [18*18 + x*x] ) +3

Das ist keine Gleichung, sondern eine mathematische Falschaussage.

$$0= \sqrt{\frac{X^2}{18^2 \cdot X^2}}+3=\sqrt{\frac{1}{18^2}}+3$$

$$0 != 3,0555555555555555555555555555556$$

MfG
Falk

[Nixwisser (Gast)]

Keine reelle Lösung.

Gruss

[Moritz (Gast)]

Falk zwischen 18² und x² ist ein Plus und kein mal

[Falk B. (falk)]

Uuups ;-)

[Bernhard M. (boregard)]

Falk, das ist ein '+' kein '*':

$$0= \sqrt{\frac{X^2}{18^2 + X^2}}+3$$

$$-3= \sqrt{\frac{X^2}{18^2 + X^2}}$$

$$9= \frac{X^2}{18^2 + X^2}$$

$$9 \cdot (18^2 + X^2) = X^2$$

$$9 \cdot 18^2 + 9 \cdot X^2 = X^2$$

$$9 \cdot 18^2 + 8 \cdot X^2 = 0$$

$$8 \cdot X^2 = -9 \cdot 18^2$$

$$X^2 = \frac{-9 \cdot 18^2}{8}$$

$$X = \sqrt{\frac{-9 \cdot 18^2}{8}}$$

--> rein imaginär

(keine Ahnung ob ich das richtig gemacht habe, bin völlig aus der 
Übung...)

[Falk B. (falk)]

Ok, als mit Plus sieht das schon anders aus

$$0=\sqrt{\frac{X^2}{18^2+X^2}}+3$$

Quadrieren

$$0=\frac{X^2}{18^2+X^2}+9$$

Mal (18^2 + X^2)

$$0=X^2 + 9 (18^2+X^2)= 10X^2+333$$

Das wird eng mit der reelen Nullstelle, Ergibt

$$X=\sqrt{-33,3}=5,77j$$

 (komplexe Zahl)

MFG
Falk

[Moritz (Gast)]

-9 * 18² / 8 ist negativ + unter der wurzel. Wie bringst du bitte die 
Wurzel weg? man kann doch nicht einfach alles quadrieren, oder doch?

[Moritz (Gast)]

Ich verstehe nicht, warum es legitim ist einfach alles zu quadrieren ?!?

[Nixwisser (Gast)]

Quadrieren ist dann erlaubt, wenn man hinterher die Probe macht.

Gruss

[mh (Gast)]

Mal eine Frage: Wie macht ihr eigentlich die Formeschreibweise?

[Falk B. (falk)]

Siehe Formatierung im Forum.

LaTex Syntax gibts auf Wikipedia

http://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX

MFG
Falk

[Sven P. (Gast)]

Falk..was machts denn du da fün Murks...? schmunzel

$$0 = \sqrt{\frac{X^2}{18^2 + X^2}} + 3$$

$$-3 = \sqrt{\frac{X^2}{18^2 + X^2}}$$

$$9 = \frac{X^2}{18^2 + X^2}$$

$$9 \cdot (18^2 + X^2) = X^2$$

$$2916 + 9 \cdot X^2 = X^2$$

$$2916 + 8 \cdot X^2 = 0$$

[Jörg (Gast)]

Also quadratische Gleichungen haben idR 0,1,2 Lösungen. In der
obigen Gleichung ergeben sich die zwei Lösungen +/-sqrt(364.5)*i,
etwa +/-19.09*i.


Gruss,

Jörg

[Falk B. (falk)]

@  Sven Pauli (haku) Benutzerseite

>Falk..was machts denn du da fün Murks...? schmunzel

Argghhh, ist heute nicht mein Tag :-(

Der Windows-Taschenrechner ist schuld. . . .

Zum Glück weiss keiner, dass ich früher mal an mehreren 
Mathematikolympiaden teilgenommen habe . . . . Man wird nicht jünger :-0

Mathematisch verdrehte Grüsse
Falk

P.S. jaja, Differenzen und Summen . . .

[Johann L. (gjlayde)]

Falk Brunner wrote:

>

$$0=\sqrt{\frac{X^2}{18^2+X^2}}+3$$

>
> Quadrieren
>
>

$$0=\frac{X^2}{18^2+X^2}+9$$

>


Mei mir sieht das so aus:

$$0=\frac{X^2}{18^2+X^2}-9$$

äh... hast du etwa summendenweise quadriert?

Effektiv ist das eine Multiplikeztion der Gleichung mit

$$\sqrt{\frac{X^2}{18^2+X^2}}-3$$

es kommen also Lösungen hinzu, die man später evtl. wieder entfernen 
muss.

[I_ H. (i_h)]

Einfacher ist es, wenn man erstmal die 3 rüberzieht. Dann muss man die 
quadrieren, und die Wurzel verschwindet.

Also

-3=sqrt(x*x / [18*18 + x*x])

quadrieren.

[Moritz (Gast)]

OK Danke jedenfalls für die Antworten

[Michael H* (Gast)]

Moritz wrote:
> Ich verstehe nicht, warum es legitim ist einfach alles zu quadrieren ?!?
quadrieren ist eine äquivalenzumformung. man muss es aber auch ganz
richtig machen.
[sqrt(x)]^2 = |x| = abs(x)
oder i.W.: wenn du eine quadrat-wurzel quadrierst, musst du das argument 
in betrag setzen, weil es positiv oder negativ sein kann.

da du aber im argument nur summen und quotienten von quadraten hast, 
kann da nix negativ werden.

Nixwisser wrote:
> Quadrieren ist dann erlaubt, wenn man hinterher die Probe macht.
oder auch so. eleganter ist die methode mit betrag, weil sie im 
zweifelsfall alle lösungen liefert.

[Johann L. (gjlayde)]

Michael H* wrote:
> Moritz wrote:
>> Ich verstehe nicht, warum es legitim ist einfach alles zu quadrieren ?!?
> quadrieren ist eine äquivalenzumformung. man muss es aber auch ganz
> richtig machen.
> [sqrt(x)]^2 = |x| = abs(x)
> oder i.W.: wenn du eine quadrat-wurzel quadrierst, musst du das argument
> in betrag setzen, weil es positiv oder negativ sein kann.
>
> da du aber im argument nur summen und quotienten von quadraten hast,
> kann da nix negativ werden.
>
> Nixwisser wrote:
>> Quadrieren ist dann erlaubt, wenn man hinterher die Probe macht.
> oder auch so. eleganter ist die methode mit betrag, weil sie im
> zweifelsfall alle lösungen liefert.

...die nach der "Quadrieren-ist-Äquivalenzumformung" leider doppelt 
falsch weil

$$-3 = \sqrt{x} \,\,\,\not\!\!\!\Longleftrightarrow 9 = |x|$$

Die reelle Wurzel ist qua definitio nie negativ: Während die rechte 
Seite die Lösungen 9 und -9 hat, hat die linke keine Lösung.

Also macht man, wenn man diesen Weg denn gehen will, die unelegente 
Probe, oder legt sich elegant auf die Nase.

Diese Falle ist wohl Zweck der gestellten Hausaufgabe.

[Michael H* (Gast)]

richtig, es ist eben keine äquivalenzumformung. wenn man diesen satz 
bei meinem vorherigen post streicht, ist der rest hoffentlich richtig.

[Gast (Gast)]

Siehst du Moritz. jetzt hast du ein Haufen Lösungen. Da werden einfach 
Lösungen hingerotzt, ohne diese überhaupt zu überprüfen. Hauptsache "ich 
bin der Klügste." Investiere lieber in BWL. Solche "Rechenkünste" haben 
schon Flugzeuge zum Abstürzen und und Raketen zum Explodieren gebracht. 
Dann brauchst du nicht zu sagen "Macht ja nichts, dass Menschen 
gestorben sind. Ich habe wenigstens an der Matheolympiade teilgenommen."

[Michael H* (Gast)]

u made my day, pfeife ^^

[Michael G. (linuxgeek)]

Falk: 0! = 1

[Jörg (Gast)]

@Gast (Gast),

>...
>Lösungen hingerotzt, ohne diese überhaupt zu überprüfen. Hauptsache "ich
>bin der Klügste." Investiere lieber in BWL. Solche "Rechenkünste" haben
>schon Flugzeuge zum Abstürzen und und Raketen zum Explodieren gebracht.
>...

Manchmal rotzt man schon schnell eine Lösung hin, in der Praxis wird
das dann aber auch nochmal überprüft, was man in anderen Zweigen z.B.
BWL ja nicht unbedingt behaupten kann. Wenn dann doch mal ein Flugzeug
abstürzt, dann war's mal wieder ein knapper Budget-Plan oder wie bei
Airbus Zwistigkeiten zwischen internationalen Managerteams (jeder will
seine Macht ausbauen und bloss nicht nachgeben).

Was im da im aktuellen Kontext einfällt: Solche Gier-Rechenkünstler
(BWLer) bringen gerade eben mal unsere Welt fast zum Abstürzen!!

Gruss

Jörg

[Sven P. (Gast)]

Gast wrote:
> Siehst du Moritz. jetzt hast du ein Haufen Lösungen. Da werden einfach
> Lösungen hingerotzt, ohne diese überhaupt zu überprüfen. Hauptsache "ich
> bin der Klügste." Investiere lieber in BWL.
Halts Maul und meld dich an. Als Gast rumpflaumen kann jeder.

Also, Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung, weil:

Wenn man folgendes nach X umstellen möchte, kann man quadrieren:

$$9 = \sqrt{x}$$

$$9^2 = x$$

Alles in Butter. Nimmt man aber sowas hier:

$$-5 = \sqrt{x}$$

Und quadriert:

$$25 = x$$

Dann stellt man bei der Probe (Lösung in die Ausgangsgleichung 
einsetzen) fest: Mensch, das passt net:

$$-5 \not= \sqrt{25} \Rightarrow -5 \not= 5$$

da Wurzeln als Reellen Zahlen per Definition positiv sind.

Das Problem beim Quadrieren an sich ist also, dass man ungewollt 
Elemente zur Lösungsmenge hinzufügt.


Die mehrmals erwähnte Sache mit den Betragsstrichen gehört zum 
Wurzelziehen, nicht zum Quadrieren:

$$16 = x^2$$

Hier kann ich jetzt ne Wurzel ziehen:

$$\sqrt{16} = \left|x\right|$$

Und um die wieder loszuwerden, muss ich das positive Ergebnis der 
Wurzel zweimal interpretieren:

$$4 = \left|x\right|$$

$$\pm 4 = x$$

Hier gehen also ungewollt Lösungen verloren.

[D. W. (dave)]

Mit diesen Rechnungen und Umformungen kommt man auf irgendeine Lösung. 
Ob die stimmt/passt und ob es weitere Lösungen gibt, da muss man halt 
seine graue Masse mal einschalten.

Ihr könnt ja jetzt noch weitere 10 Seiten weiterphilosophieren wie man 
das theoretisch hinschreibt.

[John S. (Gast)]

Interessiert das überhaupt noch jemanden oder wird hier versucht, das 
eigene Ego zu befriedigen?

[Der frage (Gast)]

Was ist denn nun die korrekte Lösung?

[Der frage (Gast)]

Denn das hier:
2916 + 9 \cdot X^2 = X^2

2916 + 8 \cdot X^2 = 0

kommt mir etwas komisch vor!

Wenn man schritt für schritt vorgeht:
erstmal durch x^2 teilen:
Also 2916/ x^2  + 9 = 1

Dann ist:
2916 /x^2 = -8
Und  2916 / (-8) = x^2


Oder habe ich da was falsch gemacht?

[I_ H. (i_h)]

Im Reellen gibt es keine Lösung, im Komplexen ist die Lösung +/- 
sqrt(364.5)*i. Da ist die Wurzel nämlich so definiert, dass sqrt(4) +/- 
2 ergibt.

[Sven P. (Gast)]

Der frage wrote:
> Denn das hier:
> 2916 + 9 * X^2 = X^2
>
> 2916 + 8 * X^2 = 0
>
> kommt mir etwas komisch vor!
Was denn? Von den neun Iksquadraten zieh ich eins ab, sinds noch achte.


> Wenn man schritt für schritt vorgeht:
> erstmal durch x^2 teilen:
> Also 2916/ x^2  + 9 = 1
Vorsicht, denn hier könnte mitunter die Lösung "0" bei draufgehen (ist 
hier konkret aber nicht der Fall).

> Dann ist:
> 2916 /x^2 = -8
> Und  2916 / (-8) = x^2
Jo, und? Erst tustes rüberteilen, danach wieder rübermultiplizieren...

> Oder habe ich da was falsch gemacht?
Nö.

$$2916 + 9 \cdot x^2 = x^2$$

Teilen:

$$\frac{2916}{x^2} + 9 = 1$$

Achte abziehen:

$$\frac{2916}{x^2} = -8$$

Wieder multiplizieren:

$$2916 = -8 \cdot x^2$$

Und die achte wieder wegteilen:

$$-\frac{2916}{8} = x^2$$

Könntest auch einfach am Anfang die 2916 abziehen und durch 8 teilen :-)