Hallo.
Ich würde gerne die Antwort eines RC-Gliedes auf einen Rechteckimpuls
mit Hilfe von Mathcad ausrechnen.
Zuerst ist man wohl gut beraten die Differentialgleichung aufzustellen,
die Gleichung in den Frequenzbereich zu transformieren, dort umstellen,
und wieder in den Zeitbereich zurücktransformieren.
Meine Frage nun:
Ist das so richtig, wie ich das gemacht habe, und warum schafft MathCad
das nicht die Gleichung zurückzutransformieren ?
Mache ich hierbei einen prinzipiellen Fehler ?
Die Laplace Transformierte eines Rechteckimpulses habe ich aus der
Papula Formelsammlung (Seite 315) herausgeschrieben.
Ich hoffe ihr könnt mir nen Tip geben
Michael
Oh, Entschuldigung,
es handelt es sich hier praktisch nicht um ein elektrisches Netzwerk,
sondern um ein thermisches. Deswegen sind die Bezeichnungen anders, aber
die Rechnung müsste ja analog sein.
P ist der Wärmestrom, was eben den elektrischen Strom entspricht.
T entspricht der Spannung,
und R ist eben der Widerstand.
Zuerst habe ich die Knotenregel für das RC-Glied aufgestellt, und das
dann in Frequenzbereich transformiert und eben die das
Rechteckimpulssignal berücksichtigt.
Warum kann MathCad das nicht zurücktransformieren ?
Liegt das vielleicht an der numerischen Vorgehensweise, oder muss ich
das erst noch irgendwie vereinfachen?
MathCAD ist das falsche Programm für Symbolische Gleichungen. Für sowas
nimmt man besser Maple. Die letzte Version die ich benutzt habe war die
2000er und die konnte man für symbolische Sachen direkt vergessen.
Vielleicht kann eine neuere mehr aber... nimm Maple.
Warum machst du es eigentlich so kompliziert?
Sowas kann man doch noch bequem zu Fuß ausrechnen und hin und her
transformieren. Der Bronstein oder der Papula liefern genug Tabellen.
Man kann es aber noch einfacher machen wenn man eine etwas andere
Betrachtungsweise benutzt:
Die Impulsantwort des Systems hast du ja. Die Übertragungsfunktion
(=Laplacetransformierte Impulsantwort) auch.
Dein Rechteckimpuls kann man auch durch eine Linearkombination 2er
Heaviside'scher Sprungfunktionen darstellen.
EingangsImpuls = A * (s(t) - s(t-t0))
A: Höhe des Pulses
s(t): Heavisidefunktion
t0: Impulsdauer
Das bedeutet aber doch, dass du nur die Sprungantwort h(t) kennen musst
um das ganze zu berechnen. Die ist zufälligerweise gleich dem Integral
über die Impulsantwort g(t) also (h(t) = INTEGRAL g(t) dt).
Die Systemantwort ist also y(t) = A * (h(t) - h(t-t0)).
Per Laplace geht das ganz genauso:
Y(s) = G(s) * X(s)
X(s) = A*(S(s) - S(s)* e^(-s*t0)) = A * S(s) * ( 1- e^(-s*t0))
Y(s) = A * S(s) * G(s) * ( 1- e^(-s*t0))
S(s) * G(s) = Laplacetrafo der Sprungantwort h(t)
Nach der Rücktransformation bekommt man dann wieder
y(t) = A * (h(t) - h(t-t0))
So jetzt bist du wieder dran...
Ich glaube nicht, dass man da wirklich einen Rechner für braucht außer
dem im Kopf ;)
Gruß
Mandrake
Vielen Dank erstmal für die ausführliche Antwort.
Ich beschäftige mich noch nicht allzu lange mir diesen Thema, und
deswegen bruche ich jetzt auch erstmal etwas um das ganze zu überdenken.
In der Praxis handelt es sich bei meinem Problem aber auch nicht um ein
einzelnes RC-Glied, sondern um ein kleines Netzwerk. Ich wollte nur mal
klein anfangen.
Das Netzwerk auf dem Bild kann man so stark vereinfachen, dass da ein
einfacher RC-Tiefpass rauskommt wo noch genau ein Widerstand parallel zu
C liegt.
Der Graph bestätigt das ebenfalls. Man kann deutlich die beiden
linearkombinierten Sprungfunktionen eines RC-TPs sehen.
(Die Sprungfunktion ist hier im Grunde nichts anderes als die Ladekurve
eines Kondensators.)
Gruß
Mandrake
Und wie kann ich das vereinfachen ?
Wie kann ich z.B. zwei in Serie geschaltete RC-Glieder zu einem
zusammenfassen ?
Einfach die Widerstände aufsummieren und die Kondensatoren in Serie
verrechenen ?
Ich will das Netzwerk eigentlich auch nicht vereinfachen, sondern die
Parameter der einzelnen Widerstände und Kondensatoren so verändern, dass
die Zeitkonstante der Systemantwort möglichst kurz, und die Dämpfung des
Signals möglichst gering ausfällt.
Dazu, dachte ich mir, wäre es hilfreich, die Sprungantwort des Systems
mit Hilfe der Laplace Transformation zu erhalten, um dann aus dieser
Gleichung eventuell die richtige Parameterwahl für die Bauteile
vornehmen zu können.
In der Multisim Simulation kann ich ja schön die Paramter verändern, ich
weiß jedoch nicht, warum eine Veränderung des Wertes eines Kondensator
nun eine geringere Amplitude zum Beispiel nach ssich zieht.
Ich bräuchte also ne analytische Lösung, um meine Bauteile so wie es
eben praktisch geht, richtig zu dimensionieren.
Ich habe jetzt dass Netzwerk mal zusammengefasst, wie ich oben schon
geschrieben habe, und die Simulation in Multisim gibt nun wirklich auch
das selbe Ergebnis aus.
Somit vereinfacht sich das ganz natürlich, und reduziert sich auf ein
einfaches RC-Glied.
Die 2 Sachen, die mir wichtig sind zu wissen, Dämpfung und
Zeitkonstante, erhalte ich genauso wie beim RC-Glied.
Ist ja dann doch nicht so schwer, wie ich mir das zuerst vorgestellt
habe
>und die Dämpfung des Signals möglichst gering ausfällt.
Das geht auch ohne Laplace: Kondensatoren weglassen.
Wie du das allerdings in der Realität machst, ist ne andere Frage
bei der Bestimmung der Zeitkonstante stelle ich noch ne Unstimmigkeit
fest, und zwar lautet die Frmel ja: Zeitkonstante=R*C.
Für mein RC-Glied, dass nun das Netzwerk zusammenfasst ergibt sich eine
Kapazität von ca.1000 Mikrofarad und eine Widerstand von 19,72 MOhm.
Daraus ergibt sich dann ne Zeitkonstante von 5,9h (!)
Schon etwas hoch, für so kleine Bauteile, erstens, und zweitens liegt
die Zeitkontante bei der Simulation nur bei ein paar Millisekunden.
Wie ist denn das zu erklären ?
Du hast falsch zusammengefasst.
Die Ersatzschaltung sieht so aus:
o---R3---o---o---o
| |
Rx Cx
| |
- -
R3 = R3
Rx = (R1+R6) || R2 || R4 || R5 ( || bedeutet parallel geschaltet)
Cx = (C1+C3) || C2
Rx = 31.564 Ohm
Cx = 1.07916 mF
Die Zeitkonstante Tau = (Rx || R3) * Cx = 1.046ms
(Was in der Grafik wohl auch ungefähr hinkommt)
Verwendet habe ich Formeln für:
-Parallel/Reiheschalten Widerstände und Kondensatoren
-Norton bzw. Thevenintheorem um auf den Widerstand für Tau zu kommen
Mit ein bisschen Google solltest du es jetzt nachvollziehen können.
Gruß
Mandrake
Stimmt.
Ich hab die Formel für 2 parallele Widerstände (Rges=(R1*R2)/R1+R2) auf
mehrere erweitert.
Und dann kommt eben unsinniges dabei raus.
Vielen Dank nochmal für die Hilfe !
RC-Glied.png
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