Hallo,
ich bin Schüler eines Gymnasiums einer Klasse 12.
In einer Mathematik-Klausur ging es darum, wie ein Graph aus einem
anderen Graph hervorgeht:
Die Lösung war "Graph f(x) wurde an der Y-Achse gespiegelt."
Ich habe geschrieben: "Graph f(x) wurde an X=0 gespiegelt."
Mein Mathe-Lehrer behauptet nun, dass das falsch ist.
Begründung: X=0 könnte ja auch die Stelle 0 bezeichnen.
Ist so eine Begründung richtig? Meiner Meinung nach nein, aber ich weiß
nicht richtig, welche Argumente ich dagegen anführen kann.
Was mir bisher eingefallen ist:
1. Der Satz würde keinen Sinn machen, wenn es sich wirklich um eine
Stelle handeln würde, weil nicht an einer Stelle gespiegelt werden kann,
sondern mindestens an einem Punkt.
2. nach wikipedia: "Stelle: ein Element der Definitionsmenge"; an einem
Element der Definitionsmenge kann keine Spiegelung vorliegen.
Wer hat nun recht?
Wem fallen weitere Argumente ein, dass X=0 eindeutig die Y-Achse ist?
Vielen Dank,
Thomas
wenn es klar ist, dass es sich um 3-D Raum handelt, dann
sagt man oft, die Ebene x=0. Oder ebene x1+x2=0 .. usw
vielleicht hilft dir das als zusätzliche Argumentation.
Formal hingeschrieben ist meiner Meinung nach x=0 das
einzig Mögliche.
Tja, Matheleerer... Es ist richtig zu sagen, f wurde an x=0 gespiegelt.
Such dir jemanden der sich damit auskennt (Prof/Doktor an der Uni nach
der Vorlesung fragen, oder vll in der Bekanntschaft) und dann
konfrontier den MatheLEERer damit. Wenn man es streng nimmt, könnte man
auch argumentieren "f wurde an der Y-Achse gespiegelt" sei falsch.
Vielen Dank für die schnellen Antworten.
Es handelt sich um einen Funktionsgraphen in einem zweidimensionalen
Koordinatensystem.
Leider kenne ich niemand direkt, der sich soweit damit auskennt, als
dass ich den mit meinem Mathelehrer konfrontieren könnte, also muss ich
das auf eigene Faust machen.
Es ist also richtig zu sagen f(x) wurde an X=0 gespiegelt.
Aber gibt es dafür noch weitere Argumente als die schon genannten?
Das es streng genommen falsch ist zu sagen "f wurde an der Y-Achse
gespiegelt" interessiert mich.
Wieso?
Thomas
Du kannst die Spiegelung zB. als einfache Funktion von R nach R (reelle
Zahlen) verstehen, der Form s_z(x)=abs(x-z)+z (abs... Betrag). In dem
Fall wäre s_0 die Spiegelung an der Y-Achse bzw. x=0, gespiegelt von x>z
nach x<z.
Dann könntest du dein f als Funktion f' von {x element R, x>0) nach R
auffassen, mit f:=f'(s_0(x)). Ist recht anschaulich, jedes x<0 wird eben
auf x>0 gespiegelt.
In dem Fall wäre es falsch zu sagen das wurde an der Y-Achse gespiegelt,
weil die Y-Achse eine Menge {(x, y), x=0} ist.
Ohne eine genaue Definition was ihr unter Spiegelung versteht, kann
man nicht einfach hergehen und behaupten das eine sei richtig, das
andere falsch.
Also ich finde die Aussage "Es wurde an der Y-Achse gespiegelt"
schlimmer als "an X=0".
Ist wohl auch mehr nen Lehrer, der versucht dem Schüler lieber was
reinzudrücken, als mal den gesunden Menschenverstand einzuschalten.
Das ist halt das Problem. Mathematik ist sehr elegant und durchweg
logisch. Die Leute die vor einer Klasse stehen und Mathematikuntericht
geben, haben das aber selber nie geblickt, und versuchen das nun anderen
zu vermitteln - kann nur in die Hose gehen.
Also reiten sie auf irgendwelchen Begrifflichkeiten rum, passt ja auch
besser zum Schema Auswendiglernen.
> Die Lösung war "Graph f(x) wurde an der Y-Achse gespiegelt.">> Ich habe geschrieben: "Graph f(x) wurde an X=0 gespiegelt."
Die Y-Achse sind alle Punkte, bei denen X=0 ist.
Frag Deinen Mathelehrer doch auch mal, wie er eine Parallele zur X-Achse
oder Y-Achse definiert.
> Begründung: X=0 könnte ja auch die Stelle 0 bezeichnen.
Wenn Du f(x) mit kleinem "x" und "X=0" mit großem "X" geschrieben hast,
ist seine Begründung hinfällig.
Ganz davon abgesehen: Wenn sich durch den Punkt Deine Note oder sonst
was nicht verändert, vergiss es. Lass ihm seinen wichtigtuerischen
Lehrer-Glauben und warte bis er z.B. einen Fehler vor der Klasse macht
und stell ihn dann bloß oder genieße einfach die Gewissheit, dass er
nicht allwissend ist.
> Also reiten sie auf irgendwelchen Begrifflichkeiten rum, passt> ja auch besser zum Schema Auswendiglernen.
Genau das ist der Punkt.
Nichts ist so schlimm, wie unfähige Mathelehrer. Da könnte ich jedesmal
an die Decke gehen...
also die aussage, dass eine funktion an X=0 gespiegelt wird, ist nicht
nur uneindeutig, ich würde auch eher vermuten, dass nicht an der geraden
f(y)=0 gespiegelt wurde, sondern am punkt (0|0). also eine
punktspiegelung, wo wir folgendes rausbekommen: G(-x)=-f(x) (glaube ich
zumindest).
wenn du schreibst, dass an X(mit vektorpfeil drüber) = (0|0) gespiegelt
wird, würdest du definitiv den koordinatenursprung meinen, ich habe es
bislang so gelernt, dass ein groß geschriebener buchstabe eine explizite
koordinatenangabe meint, also W=(23,6|2342) in der xy-ebene, oder X=9,
auf dem eindimensionalen zahlenstrahl, wärend hingegen ein kleiner
buchstabe die variable meint. also wäre f(x) z.b. die gerade y=2x+4,
aber f(X) für x=3 wäre der Punkt (3|10).
> ich habe es bislang so gelernt [...]
Das ist alles Quark, du kannst den Kram bezeichnen wie du willst. Da
wären wir wieder beim Rumreiten auf Begrifflichkeiten.
Wenn du Mathe an einer Uni machstwirst du feststellen, dass du dir das
Aussehen vom "Vektorpfeil" völlig umsonst eingeprägt hast, den wirst du
nie wieder sehen. Stattdessen schreibt man dann etwa
Das hoch T bedeutet transponiert, also aus dem Zeilenvektor wird ein
Spaltenvektor (wird gern gemacht wenn es in eine Zeile passen muss).
Auch die nicht ganz so üblichen Operationen werden später nach gutdünken
bezeichnet. Wichtig ist nur, dass das am Anfang einmal klar vereinbart
wird.
Ich nehme mal an, ihr schreibt zB. das innere Vektorprodukt 2er
Variablen
folgendermaßen:
Das ist mir so zB. noch nicht untergekommen (außer halt in der Schule).
Stattdessen verwendet man oft
auch schon gesehen:
Das ist alles völlig in ordnung, solange man irgendwo mal definiert, was
diese Operation sein soll. Das mal mit Kreis drumherum wird nämlich gern
für alles mögliche genommen, genauso + mit Kreis drumherum.
In gewissen Kreisen werden Ableitungen einer Funktion
statt häufig
einfach
geschrieben, entsprechend zB.
für die 2. Ableitung usw.
Und wenn die lateinischen Buchstaben ausgehen, werden griechische
benutzt. Gehen die griechischen aus, werden auch gern mal altdeutsche
benutzt. Von hebräischen hab ich auch schon gehört.
Wie du siehst, ist alles eine Frage davon, dass man mal exakt
aufschreibt was was ist. Üblicherweise gilt es als Fehler, wenn du das
weglässt, schreibst du zB.
und f' ist die Ableitung von f mit
so ist die Aussage ganz einfach falsch, weil sie nicht allgemein gilt.
Es fehlt in dem Fall etwas der Art
weil du in den natürlichen Zahlen zB. nicht differenzieren kannst, auf
andere Mengen ist nichtmal eine Multiplikation definiert.
Die Funktion könnte sonst zB. auch von R^(n,m) nach R^(n,m) abbilden.
Mal davon abgesehen, dass dafür afair garkeine Ableitung definiert ist,
ist im Fall n!=m schon die Multiplikation nicht definiert.
Es gibt keinen zwingenden Grund, die Y-Achse auf X=0 zu setzen. Die X &
Y-Achsen sind ja nur Maßstabe, sie können überall im Koordinatensystem
liegen. Allgemein werden sie zwar auf Null gesetzt, aber nicht immer. Es
gibt auch keine zwingenden Grund, beide Achsen gleich zu skalieren, ein
KS kann doppelt-linaer, liner-logarithmisch, doppelt logarithmisch sein.
Frag, ob die Y-Achse auch in einem logarithmischen Koordinatensystem bei
Nulll liegt.
Deshalb ist "an der Y-Achse" nicht korrekt. Damit ist nicht zwingend X=0
gemeint.
Wenn man mehrere Koordinatensystemme direkt übereinanderlegt, legt man
beispielsweise eine Y-Achse links an den Rand, eine rechts (analog bei
X: oben & unten) und bemaßt dann entsprechend so das die Graphen
übereinander liegen. Man weiß also bei "an der Y-Achse" nur wo das ist,
wenn man das komplette Koordinatensystem sieht. Das ist nicht
mathematisch korrekt ausgedrückt. Mathematisch korrekt kann nur "bei
X=0" sein, weil nur das eindeutig ist.
Zeig deinem Matheleeeeeerer einfach ein Koordintanesystem aus einem
buch, wo die Y-achse nicht bei X=0 liegt, dann müßte Ruhe sein.
Ich würd mir aber heute überlegen, ob ich so einen Streit eskalier oder
klein beigebe, der Leerer sitz am längerem Hebel, auch wenn leer,auch
wenn Du im Recht,eventuell handelt man sich da für die Zukunft nur
haufenweise Stress ein. Ich hab seinerzeit im Abi ne zwei bekommen,
obwohl ich eigentlich glatt auf eins stand. Die Leererin hat kurz vor
Schulende die Mathehefter von mir und noch einem eingesammelt, uns dann
für sämtliche nicht erledigte Hausaufgaben jeweils soviel Fünfen
gegeben, das ingesammt eine Zwei rauskam mit keiner Change auf eine Eins
mehr.
Grund: wir wollten Apfelmännchen programmieren, und fragten nach der
Theorie dahinter, sie fühlte sich da wohl bloßgestellt.
Im übrigen waren wir beide in der DDR erfolgreich bei den
Matheolympiaden...
Im kartesischen Koordinatensystem (nichts anderes lernt man in der
Schule in Analysis kennen) liegt Y nun mal bei X=0.
Dein Lehrer hat recht. Mit der Angabe: Spiegelung bei X = 0 machst Du
eine
Punktangabe, ohne Y zu erwähnen.
Selbst mit Y=0 ist es eine Punktspiegelung ohne Angabe in welche
Richtung!
Mathe ist übrigens das einzige Fach, bei dem jeder Schüler gerecht
benotet wird. In Mathe ist es so, wie es ist und nicht anders auch nicht
ein bischen.
Bei Deustch, Geschichte etc. gibts häufig Blubbernoten. Das nur am
Rande...
Und wenn er ne Punktspiegelung an (0|0) hätte beschreiben sollen? Dann
hätte X=0 wohl die Y-Achse gemeint? Schon klar.
Meine Lehrer waren zum Glück in Mathe immer ganz ordentlich.
I_H. hat auch soweit recht, alles Definition. In der Physik ist das
häufig für die Ableitung einer Größe nach der Zeit in Benutzung.
Außerdem sieht man nurnoch dort Vektorstriche/Pfeile, da sich die
Physiker nicht um eine genaue Variablen-Kennzeichnung bemühen (z.B. v €
R^3).
>Im kartesischen Koordinatensystem (nichts anderes lernt man in der>Schule in Analysis kennen) liegt Y nun mal bei X=0.
Nicht unbedingt, es muß nur rechtwinklig sein.
>>Im kartesischen Koordinatensystem (nichts anderes lernt man in der>>Schule in Analysis kennen) liegt Y nun mal bei X=0.>Nicht unbedingt, es muß nur rechtwinklig sein.
DOCH BEDINGT! WEIL KARTESISCH!!!
http://de.wikipedia.org/wiki/Kartesisches_Koordinatensystem
Seit wann hat Wikipedia immer recht? Ich kenn den Atrikel, auch der
artikel in MSN Encarta ist nicht ganz korrekt.
In meinem Verständis eine Koordinatensystems sind die Achsen nicht
wirklich bestandteil des eigentlichen Systems, sondern nur
Maßstäbe(hilfsmittel, die frei postioniert werden dürfen. Allerdings
wird in der Schule schon immer mit Achsen durch Null und den 4
Quadranten gearbeitet. IMHO ist das aber ein Spezialfall, deshalb ist
"bei X=0" korrekter und allgemeiner als "bei der Y-Achse". Ich find es
einfach nicht selbsverständlich das diese bei Null liegt.
"Y-Achse ist nicht X=0" würde ich auch als zu ungenau ansehen.
Wie ist es damit:
Menge aller (x,y) aus RxR mit x=0 dürfte den Sachverhalt treffen.
Die Mengenklammern etc. spare ich, weil das blöd zu tippen ist.
>Fast alle ( nichtrelativistischen ) kartesischen Koordinatensysteme sind>rechtwinklig !
Eben: Fast!
Fast immer ist geht Y-Achse durch X=0! Deshalb sind viele andere
Aussagen auch nur Fast exakt!
Die Physiker sind die Erfinder von Koordinatensystemen aller Art :-)
Die Devise lautet: wähle für ein Problem das passende Koordinatensystem,
dann kannst Du es einfachstmöglich beschreiben.
In der Schule hat man allerdings in der Regel das mit den rechten
Winkeln.
Das hat sich in der täglichen Praxis bewährt.
(Kleine Hetze, bitte haut mich nicht)
Klar: Elektroniker benutzen ab und zu auch mal logarithmische Skalen.
Aber die haben das von den Physikern übernommen...
Es werden auch oft Koordinatensysteme mit unterdrücktem Nullpunkt
verwendet (die oftmals, je nach Verwendung, in die Rubrik "irreführende
Darstellungen" oder auf englisch "misleading charts" fallen). V.a. vom
"Ökonom" gern verwendet, um die Zuwachsraten anschaulich darzustellen.
Es ist beeindruckend, wie imposant z.B. ein Umsatzzuwachs von 100000000€
auf 100000001€ in einem Diagramm mit entsprechender Skalierung plötzlich
daherkommen kann (Bei Verlusten wählt man dann meist eine logarithmische
Skala)... Aber auch in anderen Bereichen sind solche Darstellungen
durchaus geläufig.
In der Schule lernt man allerdings i.d.R. tatsächlich, dass der
Schnittpunkt der Achsen im Ursprung des Koordinatensystems liegt. Und
wenn es heißt, es wird ein Graph an der y-Achse gespiegelt, dann ist
damit die Achse für x = 0 und y = beliebig gemeint. In logarithmischen
Darstellungen macht ein Spiegeln an einer entsprechend skalierten Achse
imho wenig Sinn...
"In logarithmischen
Darstellungen macht ein Spiegeln an einer entsprechend skalierten Achse
imho wenig Sinn..."
Den Quatsch mit irgendwelchen "Ortskurven" hatte ich auch nie begriffen,
zumal es bezahlbare Nav-Geräte auch noch nicht so lange gibt !
>In logarithmischen>Darstellungen macht ein Spiegeln an einer entsprechend skalierten Achse>imho wenig Sinn...
Frequenzgänge von Filtern, Verstärkern, Abschwächern...
Aber da kommt es wieder drauf an, wo meine Achse liegt.
>Fast alle ( nichtrelativistischen ) kartesischen Koordinatensysteme sind>rechtwinklig !
Definition von "fast alle": Alle bis auf endlich viele [1]
--> Deine Aussage ist falsch.
[1] http://de.wikipedia.org/wiki/Fast_alle
"Ein kartesisches Koordinatensystem ist ein orthogonales
Koordinatensystem" heisst es in Wikipedia, und Orthogonalität sei das
Konzept des "Senkrechtstehens".
Man kann natürlich, wenn's passt, auch die eine oder andere, usw., oder
die n-te Achse im logarithmischem Massstab auftragen, dann ist die
betreffende "Null" halt ziemlich weit links oder rechts bzw. an der
betreffenden Achse relativ weit aussen ...
~~~ wrote:
> "Ein kartesisches Koordinatensystem ist ein orthogonales> Koordinatensystem" heisst es in Wikipedia,
Genau. Der Begriff "kartesisch" schließt die Orthogonalität bereits ein.
Wenn ein Koordinatensystem nicht orthogonal (also rechtwinklig) ist,
dann ist es auch nicht kartesisch, weshalb die Aussage von irgendwo oben
unsinnig ist. Alle kartesischen Koordinatensysteme sind rechtwinklig.
> Mein Mathe-Lehrer behauptet nun, dass das falsch ist.> Begründung: X=0 könnte ja auch die Stelle 0 bezeichnen.
@ Thomas
Du sagst damit ja dass x konstant ist und in jedem Fall Null ist.
Das stimmt also.
Die Professoren an der Uni drücken sich oft auch sehr ungenau aus,
manchmal ist das auch falsch was sie sagen.
Ihre Begründung ist dann:
"So wie ich das jetzt sage ist das zwar nicht ganz richtig .. das müsste
so und so sein ..., aber wir einigen uns jetzt mal darauf dass ich das
damit meine."
Ach so, eine Stelle im 2D-Koordinatensystem ist z.B. p=(1,3)
Definiert also eine eindeutige Position im System.
x=0 y=( -oo bis +oo ) in R definiert eine Gerade im System.
@ Gast
> Es gibt keinen zwingenden Grund, die Y-Achse auf X=0 zu setzen.
Ist halt Definitionssache.
Halt ihm mal vor dass er nur ein Mensch ist und du leider auch nur.
Und er als Mensch will dir zeigen dass nur das richtig ist was er dafür
hält.
Pff...typisch Gymnasium. Weil dort ungefähr 75% der Schüler mit
jeglicher Mathe völlig überfordert sind, kann kaum ernsthaft was
unterrichtet werden und somit müssen die Lehrer auf solchen
Definitionsklaubereien herumreiten.
X=0 ist in einem zweidimensionalen Koordinatensystem die Y-Achse, da
gibts nicht viel zu diskutieren. Der Lehrer steigert die Peinlichkeit
sogar noch: Er motzt zwar über das völlig korrekte X=0, merkt aber
nicht, dass "Spiegelung" ein recht ungenauer Begriff ist. Könnte ja
genau so gut eine Punktspiegelung sein. (Was aber keinen Sinn macht, da
man ja nicht an einer Geraden punktspiegeln kann, aber er wiederum will
ja nicht merken, dass es sich um eine Gerade handelt.)
