Digitaltechnik

[gast (Gast)]

Hallo,

kann mir jemand erklären wie man auf diese Formeln kommt.

a+(a.b)=a
a.(a+b)=a
a+(not)a.b=a+b
a.((not)a+b)=a.b

und wieso


x=((not)C. (not)B. A) + ((not)C. B. (not)A) + (C.B.A) + (C. (not)B. 
(not)A)

x=A xor B xor C


das Gleiche ist

MfG

[Läubi .. (laeubi)]

Gleicheit kannst du durch umformung oder Wertetabelle zeigen.

Zu den anderen: Etwas nachdenken führt zur Lösung:

Bsp: a + (a . b) = a

Wenn a = 1 ist das Ergebnis immer 1 (wegen oder) unabhängig von b also = 
a
Wenn a = 0 ist das Erbenis von a und b immer 0, verodert mit 0 = 0 also 
= a

Also gilt: a + (a . b) = a

Rest funktioniert ähnlich. Also ransetzen an die Hausaufgaben, dan lernt 
man auch was...

[gast (Gast)]

CBA X
000 0
001 1
010 1
011 0
100 1
101 0
110 0
111 1


Das entspricht doch nicht einer XOR-Tabelle oder seh ich was falsch

[Läubi .. (laeubi)]

Wieso nicht?

101 0:
C^B = 1 ^ A = 0

111 1:
C^B = 0 ^ A = 1

[Matthias L. (Gast)]

>Das entspricht doch nicht einer XOR-Tabelle oder seh ich was falsch

Doch:

C BA  Y=AxorB   Z=YxorC   X
---------------------------------
0 00      0      0        0
0 01      1      1        1
0 10      1      1        1
0 11      0      0        0
1 00      0      1        1
1 01      1      0        0
1 10      1      0        0
1 11      0      1        1

[I_ H. (i_h)]

Das lässt sich unmittelbar aus den Eigenschaften herleiten: 
http://de.wikipedia.org/wiki/Boolesche_Algebra#Definition

Die Boolesche Algebra mit 0, 1 und den Operationen UND und ODER ist 
außerdem ein Ring, genau wie die Reellen Zahlen mit + und *. Es sind 
also die selben Umformungen zulässig.

a*(a+b) kann man zB. einfach zu a*a+a*b umformen, weil die 
Distributivität in einem Ring gilt. Nun ist es nicht mehr weit zu 
zeigen, dass a*b=1 => a*a=1 gelten muss, und dann kann man a*b 
weglassen.

Die binomischen Formeln gelten übrigens auch (wie in jedem Ring), also 
(a+b)^2:=(a+b)(a+b)=a*a+(a*b)+(a*b)+b*b (gibt ja keine 2, daher kein 2ab 
und das :=). Nur nutzt das bei 2 Elementen nicht so arg viel, da sich 
die Sache durch die zusätzlichen Eigenschaften der Booleschen Algebra zu 
a+b vereinfachen lässt.


Die Langweilermethode das über Wahrheitstabellen zu zeigen geht 
natürlich auch ;).

[gast (Gast)]

ich dachte das wäre eine xor-Tabelle

0
1
1
1
1
1
1
0

Wie kann ich das durch die Umformung beweisen. Ich hätte auf den ersten 
Blick nie erkannt dass das einer Xor- Tabelle entspricht

[Matthias L. (Gast)]

>dass das einer Xor- Tabelle entspricht

Du hast drei Eingänge! Deshalb musst du erst zwei verknüpfen und das 
Ergebnis mit dem Dritten nochmal!