Mathe: Zwei Strecken "teilen"

[Klemens (Gast)]

Hallo,

ich habe mal eine formale Frage an euch:

Ich habe vier Punkte (A,B,C,D) und zwei Geraden

$$\overline{AB}$$

 und

$$\overline{CD}$$

Ich weiß, dass die Geraden nicht sofort für ihre Länge stehen, aber kann 
ich trotzdem

$$\frac{\overline{AB}}{\overline{CD}}$$

 schreiben?

[Jan M. (mueschel)]

Geraden haben keine Länge, sie sind unendlich lang. Du meinst Strecken. 
Hier schreibt man wohl meistens Betragsstriche, wenn man die Länge 
meint:

$$\frac{\abs{AB}}{\abs{CD}}$$

[Klemens (Gast)]

Hi,

ja, ich meine auch eine Strecke. Habe mich beim dritten Mal 
verschrieben.

Was würde es denn heißen, wenn ich die Betragsstriche weglasse? Bzw. was 
genau ist denn eine Strecke? Wikipedia hilft da nicht weiter, denn dort 
wird die Länge auch nur mit dem Strich oben drüber angegeben. Und im 
Bronstein gibt es auch keine klare Definition. Es wird nur gesagt, dass 
eine Strecke eine Punktmenge beinhaltet.

[Läubi .. (laeubi)]

"mit Strich" bedeutet eine Strecke zwischen den beiden Punkte --> 
Gleichzeit ist die Länge fest.
Eine Gerade ist z.B. y = mx + b, diese kann aber auch durch zwei Punkte, 
eine Normale oder oder beschrieben sein. Sie ist aber immer (wie schon 
gesagt) unendlich lang hat als keine Anfang/Ende. Eine Strecke ist ein 
Geradenstück einer bestimmten Länge durch die beiden Punkte beschränkt 
hat also auch eine (endliche) Länge.

[Johann L. (gjlayde)]

Klemens wrote:
>
> Was würde es denn heißen, wenn ich die Betragsstriche weglasse? Bzw. was
> genau ist denn eine Strecke?

Eine Strecke ist eine Punktmenge, ebenso wie zB ein Winkel, der eine 
Teilmenge der Ebene oder des Raumes (bei einem Raumwinkel) ist. Der 
Betrag bzw. die Länge einer Strecke, die Größe eines Winkels, etc. sind 
hingegen Maße, d.h. sie bilden eine geometrische Form auf eine reelle 
Zahl ab.

In diesem Sinne ist es zum Beispiel sinnlos, zwei Strecken durcheinander 
zu teilen.

Gleichwohl wird oft eine Strecke mit ihrer Länge identifiziert, d.h. man 
schreibt nur eine Strecke in eine arithmetische Formel anstatt exakt die 
Länge der Strecke. Das ist prinzipiell in Ordnung, wenn man

(1) sich darüber im klaren ist, daß eine Strecke was anderes ist als 
ihre Länge
(2) kein Anlass zur Verwechslung besteht, was hier ja der Fall ist
(3) der Lehrer nicht rumzickt ;-)

[Sven P. (Gast)]

Klemens wrote:

$$\overline{AB}$$

Das ist nichts weiter als der Name einer Geraden. Allerdings kocht da 
scheinbar jeder sein eignes Süppchen, Wikipedia bezeichnet die 
Schreibweise als Strecke, ich hab früher gelernt, dass bei der Strecke 
der Querstrich zwei Häkchen bekommt und wieder andere bezeichnen 
strecken mit "[AB]".
Wie auch immer. Mit dieser Art von Namen lässt sich nicht sonderlich gut 
rechnen. Einzig

$$|\overline{AB}|$$

kenne ich als Länge der Strecke.

Wesentlich einfacher gehts da mit Vektorrechnung:

$$\vec{A} = \left(\begin{matrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{matrix}\right); \vec{B} = \left(\begin{matrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{matrix}\right)$$

Dann ist ein Vektor von A und B

$$\overrightarrow{AB} = \left(\begin{matrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{matrix}\right) - \left(\begin{matrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}b_1 - a_1 \\ b_2 - a_2 \\ b_3 - a_3\end{matrix}\right)$$

Und die Hälfte ist dann auch die Hälfte dieses Vektors. Die Mittelpunkt 
zwischen den beiden Punkten kriegt man demnach so:

$$\vec{M} = \vec{A} + \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{AB}$$

Oder einfach mit

$$\vec{M} = \frac{1}{2} \cdot \left(\vec{A} + \vec{B}\right)$$

Wobei mit A und B natürlich Ortsvektoren gemeint sind.

[Morin (Gast)]

In diesem Fall trifft wirklich der Grundsatz zu: Alles hat die 
Bedeutung, mit der es definiert ist. Jeder macht es anders.