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Forum: Offtopic Lösung einer DGL


Autor: daniel (Gast)
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Hallo,

Wenn einem bewegten Körper konstant(e) Leistung entzogen wird,
so übersetzt sich das nach mathematisch ...
dW/dt = -P
d(0.5*m*v(t)^2)/dt = -P
m*v(t)*v'(t) = -P  bzw  m*v(t)*a(t) = -P
dv/dt = -P/m/v(t)

alles in allem (Konstanten beseitigt) gilt die DGL der Form ...
dx/dt = 1/x(t)

hier steht x generisch für eine Variable und keine Strecke
gibt es hierzu eine analytische Lösung?

mfg, daniel

Autor: mr.chip (Gast)
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Unterschlägst du da nicht ein Vorzeichen zwischen der letzten Zeile der 
Herleitung und der DGL in x(t)?

Autor: daniel (Gast)
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in der Tat tue ich das!
Das war mir nicht bewusst. Ich habe das Minuszeichen quasi
zur Konstante dazugezählt und weggelassen. Aber dabei wird
die Lösungsmenge der DGL verändert ..
x'(t) = x(t) => x(t)=exp(t)
x'(t) = -x(t) => x(t)=exp(-t)

damit wäre die Lösung von DGL
dx/dt = -1/x(t)
gesucht

Autor: Ich (Gast)
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dx/dt = -1/x(t)      |*x(t)

(x(t) * dt) / dt = -1     | * dt

x(t) * dt   = -dt     |integrieren

( (x(t))^2 )/2  =   -t     *2

(x(t))^2  = -2t   |sqrt
x(t) =  sqrt(-2x)

Kann man mit Einsetzen leicht überprüfen:


d(sqrt(-2x))/dt = -(2/(2*sqrt(-2x))) = -(1/sqrt(-2x)) = -1/x(t)

Autor: daniel (Gast)
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Danke für diese Idee

Autor: Ich (Gast)
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Bitte!^^

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