Hi, frohe Weihnachten erstmal. Ich schreibe gerade eine Facharbeit über komplexe Zahlen (12 Klasse) und komm mit der Ableitung von z^n nicht klar. Wenn man es wie bei reellen zahlen macht, also (z^n)' = lim (z+h)^n - z^n kommt n*z^(n-1) raus, h->0 ------------- h wenn man aber in der Polarform ableitet, also z.b. (z^2)' = (r^2 * e^(2i*phi))' kommt ja 2ri*e^(2i*phi) raus, was nicht 2z ist. Von einer Webseite weiss ich, dass das erste, also n*z^(n-1) richtig ist, aber ich kann kein Gegenargument für die 2te Variante finden. Und die Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen verschtehe ich auch nicht. Kann mir jemand auf die Sprünge helfen, bitte? Bin voll am verzweifeln...
>(z^2)' = (r^2 * e^(2i*phi))' kommt ja 2ri*e^(2i*phi)
Ich kenne mich mit komplexen Funktionen nicht wirklich aus, aber musst
du hier nicht die Produktregel nehmen?
also
(z^2)' = 2r * e^(2i*phi) + r^2 * 2i*e^(2i*phi)
Ja, das kann sein. Allerdings ist das immer noch nicht 2r*e^(i*phi).
Mach dir erstmal klar, nach welcher Größe du ableitest. Wenn du sagst, dass (z^n)'=nz^(n-1) ist, dann leistest du nach z ab. In dem Schritt (z^2)' = (r^2 * e^(2i*phi))' = 2ri*e^(2i*phi) machst du aber was anderes, da leitest du teils nach r und teils nach phi ab, aber sicher nicht nach z. Da liegt der Fehler.
Ok, dann ist diese Gleichung also falsch und es bleibt nur die mit dem limes übrig. Danke für eure Hilfe.
Ich führ es mal etwas genauer aus. Wenn du (...)' schreibst, dann meinst du die Ableitung nach z, also formal d(...)/dz. In Polarkoordinaten kannst du das (...) wie gehabt umschreiben, aber das dz musst du eben auch in Polarkoordinaten umrechnen. Dann kommen noch ein paar Rechenregeln dazu was die d's betrifft und fertig. Letztendlich ist das aber nur eine Kurzschreibweise für alles was du mit dem Limes machst.
Eure Formeln sind unlesbar. Bitte benutzt LaTeX. Unser Forum unterstützt das nicht umsonst.
> Eure Formeln sind unlesbar. Für uns nicht, aber scheinbar für dich. Geh bitte auf die Schule, da lernst du auch lesen. > Bitte benutzt LaTeX. Nein. > Unser Forum unterstützt das nicht umsonst. Doch. Ich habe es schon mehrfach benutzt und musste noch nie etwas zahlen.
Eine komplexe Zahl kann als Vektor mit 2 Größen verstanden werden. Wie schon geschrieben wurde, muss man vorher festlegen, nach welcher Größe man ableiten will.
> Eine komplexe Zahl kann als Vektor mit 2 Größen verstanden werden. > Wie schon geschrieben wurde, muss man vorher festlegen, nach welcher > Größe man ableiten will. Man kann aber auch nach "der komplexen Zahl" an sich ableiten, entweder per Limes oder per d-Gefrickel (letzteres geht nur unter bestimmten Voraussetzungen, die aber für viele Funktionen aus dem täglichen Gebrauch gegeben sind). z.B. mit Real- und Imaginärteil: z = a + ib f(z) = ... f' = df/dz = df / (da + idb) rumrechnen und am Ende dz -> 0 bzw da -> 0 und db -> 0. Entsprechend für Polarkoordinaten. Interessant ist dabei, das für die Ableitung nach z dann wieder die (meisten der) bekannten Rechenregeln aus den reellen Zahlen gelten, wie z.B. (z^n)' = nz^(n-1).
>In Polarkoordinaten kannst du das (...) wie gehabt umschreiben, aber das dz >musst du eben auch in Polarkoordinaten umrechnen. Dann kommen noch ein paar >Rechenregeln dazu was die d's betrifft und fertig. In Polarkoordinaten kann man aber nicht addieren/subtrahieren... >Eine komplexe Zahl kann als Vektor mit 2 Größen verstanden werden. >Wie schon geschrieben wurde, muss man vorher festlegen, nach welcher >Größe man ableiten will. Es muss aber nach beiden größen gleichzeitig abgeleitet werden, das ist das Problem.
Ansatz für die Quadratfunktion: Die einfachen Rechenregeln sagen:
In kartesischen Koordinaten bzw. Polarkorrdinaten ist
In beiden Systemen sind die Koordinaten unabhängig:
Die Umrechnung zwischen den Koordinatensystemen (nur eine Richtung):
... und die Ableitungen dazu:
Soviel zur Vorbereitung.
Jetzt kommt die Ableitung der Funktion f in Polarkoordinaten. Zunächst mal die Produktregel:
Umstellung der obigen Ableitungen der kartesischen Koordinaten nach den Polarkoodinaten ergibt:
Jetzt werden im ersten Teilterm 'da' und 'db' nach den ersten beiden Regeln, im zweiten Teilterm nach den zweiten beiden Regeln ersetzt:
Umstellen:
Jetzt kommen da zwei Ableitungen in reellen Zahlen vor, für die die gewohnten Regeln gelten:
Kürzen und Ausklammern:
Brüche verrechnen:
Im Zähler zusammenrechnen, im Nenner i ausklammern:
... usw. Ich glaub, irgendwo ist noch ein Rechenfehler drinne, aber das Prinzip sollte jetzt klar sein.
@Morin, es gilt zwar die Transformation a = cos(phi) * r b = sin(phi) * r aber es gilt nicht da = cos(phi) * dr db = sin(phi) * dr Setze z.B. für das Differential da die Differenz delta_a = a_1-a_0. ist phi_0,r_0 zu a_0 gehörend, dann ist für a_1 != a_0 nicht nur r1 != r0, sondern auch phi_1 != phi_0 und somit per Limesrechnung da != cos(phi)*dr, sondern da ~= cos(d_phi)*dr, wobei d_phi und dr sich über eine Transformation aus da und db gleichzeitig ergeben. Wird aber ein wenig komplizierter (komplexer?). Gruss Jörg
Okay, ich weiß was du meinst... das müsste der Unterschied zwischen dem
partiellen und dem totalen Differential sein, der hier zuschlägt. Ich
bin jetzt von partiellen Ableitungen ausgegangen, habe aber denke ich
das falsche d dafür benutzt (also das normal-geschriebene d statt dem
komisch-geschriebenen d - diese Schreibweise konnte leider ein ganzes
Studium lang kein Prof mal sauber erklären).
Ich vermute aber, dass die d-Rechenregeln, die ich hier einfach benutzt
habe, nur für das totale Differential gelten - also muss der ganze
Rechenweg nochmal überarbeitet werden :(
> Wird aber ein wenig komplizierter (komplexer?).
Naja, man hat halt beide partiellen Anteile zusammen, die ich oben
fälschlicherweise getrennt verwendet habe, also z.B.
Sorry, habe oben geschrieben: d_a ~= cos(d_phi) * d_r, es müsste heissen: d_a = cos(d_phi) * d_r (ohne das "Ungefähr"-Zeichen). Es hat nichts mit partiellen oder mit totalen Ableitungen zu tun. d_r und d_phi ergibt sich per (d_r,d_phi)^T = M * (d_a,d_b), M ist eine 2x2-Matrix (von a,b abh.). D.H. d_r,d_phi sind ja nicht willkürlich, sondern von d_a UND d_b gleichzeitig abhängig 8d_a und d_b sind willkührlich gewählt). Du kannst aber auch d_r und d_phi willkürlich wählen und daraus d_a,d_b per M^(-1) bestimmen und in der Ableitungsformel in die Funktion f einsetzen. Um die Korrektheit zu überprüfen: Schreibe einfach ein kleines MonteCarlo-Programm, dass d_a,d_b zufällig wählt und deine/meine Thesen auf Gleichheit überprüft. Habe ich hier zwar nicht gemacht, mache ich aber immer wenn's ein wenig kompizierter wird. Die Wahrscheinlichkeit bei 100000 Durchläufen bei kleiner Dimension (für C: 2-Dim) für einen Fehler sind vernachlässigbar gering. Gruss Jörg P.S.1: sorry, dass ich die math. Ausdrücke ohne Latex geschrieben habe, aber ich kann a) kaum noch Latex und b) sind die Werbepause zu klein. P.S.2: habe mei Abi in BW gemacht, aber Ableitungen in Pol.Koord. habe ich erst im Studium kennengelernt (Funktionentheorie).
> Es hat nichts mit partiellen oder mit totalen Ableitungen zu tun.
Bis auf diesen Satz gebe ich dir recht. Ganz im Gegenteil scheint mir
genau der Unterschied zwischen partieller und totaler Ableitung der Kern
des Problems (und meines anfänglichen Fehlers) zu sein.
Partiell ist:
und total ist:
was aber nichts anderes ist als die von dir genannte Matrixschreibweise:
Sorry, Teil 2: Du hast das ganze Problem von der Dr,Dphi-Seite betrachtet, ich von der da,db-Seite. Beide Seiten sind natürlich äquivalent (bin seit vielen Jahren aussser Übung). Deine Matrix ist mein M^(-1), grob übersehen stimmt's dann. Aber zu partiell/total: Partiell ist's trotzdem, total wär's wenn phi und r von einem weiteren Parameter (z.B. h) abhängig wäre, dann müsste erst partiell abgeleitet werden und dann mit den Ableitungen nach h weitergerechnet werden. In der Ableitung nach Z sind nun zwei (unabh.) Parameter, nach denen gleichzeitig abgeleitet werden muss. Gruss und MerryXmas, Jörg
> Deine Matrix ist mein M^(-1), grob übersehen stimmt's dann. Okay, das hatte ich auch so verstanden. > Aber zu partiell/total: Partiell ist's trotzdem, total wär's > wenn phi und r von einem weiteren Parameter (z.B. h) abhängig wäre, > dann müsste erst partiell abgeleitet werden und dann mit den > Ableitungen nach h weitergerechnet werden. In der Ableitung > nach Z sind nun zwei (unabh.) Parameter, nach denen gleichzeitig > abgeleitet werden muss. Aber ist das denn nicht genau das, was die untersten Zeilen ausdrücken? Wenn ich z.B. schreibe
dann drückt das ja den Zusammenhang zwischen "winzigen" Änderungen da, dr, dphi aus. Weil es eine Gleichung ist, wo alle betroffenen Variablen bzw. deren Änderungen in Bezug gesetzt werden, ist es - nach meinem Wissen - das totale Differenzial, was aber nur eine Kurzschreibweise für eine partielle Ableitung nach einem weiteren "erfundenen" Parameter (dem von dir genannten h) ist:
wobei in der letzten Gleichung a,r,phi als Funktionen von h zu verstehen sind. Ich muss aber zugeben, dass das auch bei mir veraltetes Wissen ist und ich mich hier auch auf dünnem Eis bewege ;)
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