Hallo!
Ich habe folgende Aufgabe in Mathe zu lösen (von einem Kollegen):
Von einem ebenen Viereck ABCD sind gegeben:
a=736,42m
b=1261,40m,
beta = 122,19°
delta_1 = 33,77° zwischen d und f also der Winkel ABD
delta_2 = 42,40° zwischen c und f also der Winkel BCD
f ist die Diagonale zwischen den Punkten B und D
Ermittle konstruktiv und rechnerisch die fehlenden Umfangstücke.
Ich habe inzwischen kapituliert, mir fällt nicht mal eine Lösung zum
konstruieren ein. :(
Wäre nett, wenn mir jemand eine Denkanstoß geben könnte, wo ich anfange
muss. Das Dreieck ABC lässt sich ja mit dem Cosinussatz noch ganz
einfach bestimmen, aber dann wirds kompliziert.
Ich habe es auch schon damit versucht, verschiedene Winkel und Seiten in
Gleichungssysteme zu packen, die aber alle nur wahre Aussagen lieferten.
Ich will keine Hausübung von anderen erledigen lassen, sondern nur eine
ANSTOSS.
Ich möchte von niemanden, dass er mir etwas ausrechnet, oder mir genau
sagt, was ich tun muss.
Nur, in welche Richtung ich ungefähr gehen muss.
Außerdem ist das keine Hausübung, sondern er ist im Mathebuch
darübergestolpert. Wir sind beide in Mathe sehr interessiert und haben
bis jetzt nichts zustande gebracht.
Na, wenn das mal so stimmt mit den Maßen?
Und die Winkel sollte man auch hinschreiben.
Die Winkelfunktionen sind nur für rechtwinklige
Dreiecke anwendbar.
Anstoß: ziehe eine Linie von Schnittpunkt f,e
zur Grundlinie A-B und teile das ungleichschenklige
Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke auf.
Auf der Grundlage das diese Hilfslinie für beide Dreiecke
gleich ist müßte man eine Gleichung über die Winkel
generieren können.
Der Punkt D ist bestimmt, da er Schnittpunkt der beiden Umkreise ist.
Der Umkreis ABD ist definiert durch a und den gegenueberliegenden
Winkel. Der Umkreis BCD desgleichen, durch die Seite b und den
gegenueberliegenden winkel.
Beta ist der Winkel ABC?
Als alter Vektor-spezi würd ich so vorgehen.
Ich leg einen virtuellen 0-Punkt in B, mit AB als x-Achse
Dann bestimme ich mir die Geradengleichung für f.
Den Punkt C kenn ich, bzw. kann seine Koordinaten berechnen.
Weiters kenne ich ja die Steigung von c aus den Winkeln
Damit kann ich für c eine zweite Geradengleichung aufstellen
Die beiden Geradengleichungen für c und f zum Schnitt bringen
Damit hat man die Koordinaten von D
Alles weitere ist dann trivial.
(Im Grunde ist das auch genau der gleiche Lösungsweg, den man auch mit
Lineal und Bleistift machen würde, nur diesmal gerechnet)
>Der Punkt D ist bestimmt, da er Schnittpunkt der beiden Umkreise ist.>Der Umkreis ABD ist definiert durch a und den gegenueberliegenden>Winkel. Der Umkreis BCD desgleichen, durch die Seite b und den>gegenueberliegenden winkel.
Ja, aber das hilft mir auch nicht wirklich weiter...
>Beta ist der Winkel ABC?
Ja.
>Den Punkt C kenn ich, bzw. kann seine Koordinaten berechnen.>Weiters kenne ich ja die Steigung von c aus den Winkeln>Damit kann ich für c eine zweite Geradengleichung aufstellen.
An die Lösung mir der Vektorrechnung habe ich ach schon gedacht.
Nur woher nehme ich die Steigung von c?
Wenn ich eine Geradengleichung für c habe, dann kann ich mit dem Winkel
BCD eine Geradengleichung für f aufstellen.
Aber dazu brauche ich erst c.
Hannes wrote:
>>Den Punkt C kenn ich, bzw. kann seine Koordinaten berechnen.>>Weiters kenne ich ja die Steigung von c aus den Winkeln>>Damit kann ich für c eine zweite Geradengleichung aufstellen.>> An die Lösung mir der Vektorrechnung habe ich ach schon gedacht.> Nur woher nehme ich die Steigung von c?
2 Möglichkeiten
* in deiner ursprünglichen Angabe ist die Definition für delta_2
als Winkel zwischen BCD korrekt
Da du den Winkel ABC kennst, kannst du dir den Winkel von c
in Bezug zu AB leicht bestimmen. Und AB war ja als x Achse definiert.
(einfach mal einzeichnen)
* in deiner ursprünglichen Angabe ist die Definition für delta_2
als Winkel zwischen f und c korrekt
Da du den Winkel ABD kennst und den Winkel BDC, kannst du auch
den Winkel den c in Bezug zur Achse AB hat ausrechnen.
Auch hier wieder. Einfach mal aufzeichnen und eine Parallele zu AB
durch den Punkt D zeichnen. Der Winkel von c ergibt sich dann wieder
durch Addition bzw. Subtraktion
Einfach mal in der Zeichnung die bekannten Winkel einzeichnen, und
rumspielen, ist wirklich nicht weiter schwer
>>Der Punkt D ist bestimmt, da er Schnittpunkt der beiden Umkreise ist.>>Der Umkreis ABD ist definiert durch a und den gegenueberliegenden>>Winkel. Der Umkreis BCD desgleichen, durch die Seite b und den>>gegenueberliegenden winkel.>>Ja, aber das hilft mir auch nicht wirklich weiter...>
Etwas mager... Schon mal was vom Thaleskreis gehoert ? Der besagt dass
jedes dreieck mit dieser Hypotenuse und dem gegenueberliegenden Punkt
auf dem Kreis rechtwinklig ist. Nun gilt das mit den Kreisen fuer alle
Winkel. Zu einem Umkreisdurchmesser gibt es fuer eine gegebene
Hypotenuse nur einen Winkel. Das bedeutet man kann zur gegebenen
Hypotenuse irgend ein Dreieck mit dem passenden Winkel zeichnen und
bekommt so den Umkreis. Und wenn man beide Umkreise hat...
Aha wrote:
> Etwas mager... Schon mal was vom Thaleskreis gehoert ? Der besagt dass> jedes dreieck mit dieser Hypotenuse und dem gegenueberliegenden Punkt> auf dem Kreis rechtwinklig ist. Nun gilt das mit den Kreisen fuer alle> Winkel. Zu einem Umkreisdurchmesser gibt es fuer eine gegebene> Hypotenuse nur einen Winkel. Das bedeutet man kann zur gegebenen> Hypotenuse irgend ein Dreieck mit dem passenden Winkel zeichnen und> bekommt so den Umkreis. Und wenn man beide Umkreise hat...
Hat bei mir etwas gedauert, aber dann hats klick gemacht.
Die Generalisierung des Thaleskreises nennt sich 'Umfangswinkelsatz'.
Und das ist in der Tat eine sehr elegante Methode. Kannte ich noch gar
nicht (oder hab ich schon längst wieder vergessen). Danke für den
Denkanstoss, das könnte sich manchmal als nützlich erweisen.
Danke, das mit dem Umkreis hilft mir immerhin, das Viereck zu
konstruieren.
Aber kann ich damit auch das Viereck (ohne Vektorrechnung) berechnen?
Ich habe ja den Umkreisradius, aber kann damit keine Schnitte
durchführen, dazu müsste ich es erst in ein Koordinatensystem
transferieren.
Leider ist mir auch aufgefallen, dass ich geschrieben habe:
>delta_1 = 33,77° zwischen d und f also der Winkel ABD>delta_2 = 42,40° zwischen c und f also der Winkel BCD
sollte heißen:
delta_1 = 33,77° zwischen d und f also der Winkel ADB
delta_2 = 42,40° zwischen c und f also der Winkel BDC
Womit die Lösungen mit dem Koordinatensystem von Karl heinz Buchegger
nicht funktionieren.
Tut mir Leid, aber das Problem lässte mir keine Ruhe mehr.
Hannes wrote:
> delta_1 = 33,77° zwischen d und f also der Winkel _ADB_> delta_2 = 42,40° zwischen c und f also der Winkel _BDC_>> Womit die Lösungen mit dem Koordinatensystem von Karl heinz Buchegger> nicht funktionieren.
Doch das tut sie.
Ich hab 2 Lösungswege angegeben und für den 2.ten (den du jetzt als den
richtigen identifiziert hast) ist auch die zugehörige Skizze gedacht.
Den Steigungswinkel von c kann man nach dieser Skizze leicht bestimmen.
Wo der Punkt C liegt, kann man berechnen und mit beiden Angaben kann man
dann eine Geradengleichung für c aufstellen.
Sinnigerweise wird man sich den 0-Punkt des gedachten Koordinatensystems
in den Punkt B verlegen. Dann wird die Gleichung für f besonders einfach
und auch die Formeln für den Punkt C nehmen dann eine einfache Gestalt
an.
Ich glaube ich sah vor lauter Bäumen den Wald nicht mehr.
Danke Karl Heinz, jetzt habe ich sämtliche Lösungen gefunden, auch ohne
Vektoren. :)
Vielen Dank an alle, die mir geholfen haben.
