Gruppengeschwindigkeit einer Welle, Verständnisproblem

[Daniel (Gast)]

Auszug aus Wiki
http://en.wikipedia.org/wiki/Refractive_index

"The phase velocity is defined as the rate at which the crests of the 
waveform propagate; that is, the rate at which the phase of the waveform 
is moving. The group velocity is the rate that the envelope of the 
waveform is propagating; that is, the rate of variation of the amplitude 
of the waveform. Provided the waveform is not distorted significantly 
during propagation, it is the group velocity that represents the rate 
that information (and energy) may be transmitted by the wave."

Was genau ist mit der Einhüllenden gemeint?

Wenn ich mir eine Welle habe, die in x-Richtung sich ausbreitet
w(x,t) = a*sin(2pi/T*t + 2pi/lambda*x)
Was ist hier die Einhüllende?

Oder ist mein Ansatz falsch und die Funktion ist von der Form
w(x,t) = a( t ) * sin(2pi/T*t + 2pi/lambda*x)

Ich wäre super dankbar, wenn jemand das näher erklären könnte.

Grüsse

[V. B. (dr-robotnik)]

Ich glaube das ist so nur auf ein Wellenpaket anwendbar. Aus der 
Quantenmechanik habe ich das noch so in erinnerung: Bei einem 
Wellenpaket breitet sich die Modulation (also die Einhüllende) mit der 
Gruppengeschwindigkeit aus, während sich die Grundschwingung mit der 
Phasengeschwindigkeit ausbreitet.

Deshalb kann Information nur mit der Gruppengeschwindigkeit übertragen 
werden. Die Phasengeschwindigkeit kann durchaus größer c werden.

[Wolfgang Horn (Gast)]

Hi, Daniel,

manchmal lernt man besser aus den Irrtümern anderer.
Hier war es ein Professor mit der Schlagzeile "Lichtgeschwindigkeit im 
Experiment überschritten!"
Er hatte einen Lichtwellenleiter vermessen. Er hatte die Phase am 
Eingang mit der Phase am Ausgang verglichen, aus der Phasendifferenz die 
Laufzeit der Welle im Lichtwellenleiter berechnet und daraus mit der 
Wegstrecke die Lichtgeschwindigkeit.

Das Phänomen lernt jeder nicht-schlafende Student der 
Hochfrequenztechnik, wenn es um Hohlleiter geht, um 
Phasengeschwindigkeit in Abhängigkeit von Abmessungen und Wellenlänge: 
Je näher der Meßsender von oben an die untere Grenzfrequenz herankommt, 
desto weiter wächst die Phasengeschwindigkeit gegen unendlich.
Messen wir aber die Gruppenlaufzeit, also mit modulierten Signalen, dann 
messen wir enorme Gruppenlaufzeitverzerrungen.
Deshalb ist die Gruppengeschwindigkeit, also die Geschwindigkeit eines 
modulierten Wellenpakets, beispielsweise eines Pulses, immer noch weit 
unter der Lichtgeschwindigket.

Meine Literatur: Meinke/Gundlach.

Ciao
Wolfgang Horn

[Matthias (Gast)]

Und wie der Ausgangstext schon sagt, steckt die Information in der 
Gruppengeschwindigkeit, die immer kleiner c ist.

[Trafowickler (Gast)]

Anderes Beispiel:

Eine gerade Wasserwellenfront bewegt sich auf das Ufer zu.
Ist das Ufer "schräg" zu dieser Wellenfront, läuft das Ereignis "Welle 
hoch" mit endlicher Geschwindigkeit am Ufer entlang.

Ist das Ufer parallel zur Wellenfront, klatscht das Wasser überall 
gleichzeitig ans Ufer.

Bildet das Ufer jedoch einen "beliebig kleinen, gegen 0 gehenden" Winkel 
zur Wellenfront, breitet sich das Ereignis "Welle hoch" mit gegen 
unendlich gehender Geschwindigkeit am Ufer entlang aus.

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Information "Welle hoch" vom
Sender = Wellenerzeuger zum ( beliebigen ) Empfänger = Uferstelle bleibt 
jedoch immer die Wasserwellenausbreitungsgeschwindigkeit.

[oha (Gast)]

Die Gruppengeschwindigkeit von EM Wellen ist kleiner als c sobald ein 
Dielektrikum polarisiert, resp ein Magnetmaterial magnetisiert werden 
muss. Ist eigenlich klar, das braucht Energie, das braucht Zeit, und 
darum wird die vordere flanke verzoegert.

[Trafowickler (Gast)]

"Die Gruppengeschwindigkeit von EM Wellen ist kleiner als c sobald ein
Dielektrikum polarisiert, resp ein Magnetmaterial magnetisiert werden
muss."

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit von EM-Wellen im nichtleeren Raum

v = c/Wurzel( ε(r) * µ(r) )

ist ein anderer Punkt.

[Michael L. (Gast)]

Hallo Daniel,

> Was genau ist mit der Einhüllenden gemeint?
Die Einhüllende ist sowas wie die Verbindung der Maxima miteinander.
Eine genauere Definition bekommst Du, wenn Du die Welle komplex 
definierst. Dann ist die Einhüllende der Betrag der komplexen Funktion.

Der Begriff der Einhüllenden ist bei einer reinen Sinusschwingung nicht 
sinnvoll; da ist die Einhüllende konstant (Amplitude der Funktion).

Wenn Du Matlab (teuer) oder GNU Octave (kostenlos) nimmst, kannst Du mal 
einen Vektor s definieren, der irgendeine Schwingung enthält, aber eben 
mit variabler Amplitude.

Und dann gibst Du ein:
plot(abs(hilbert(s)));

> Wenn ich mir eine Welle habe, die in x-Richtung sich ausbreitet
> w(x,t) = a*sin(2pi/T*t + 2pi/lambda*x)
> Was ist hier die Einhüllende?
Die Einhüllende ist konstant gleich a.
Eine "wirkliche" Einhüllende bekommst Du bei einer Schwebung, d. h. bei 
der Summe zweier Sinuswellen mit ähnlicher Frequenz. Schau mal in das 
Beispiel, das ich gepostet habe.


Gruß,
  Michael



% ------- Code für Matlab/GNU Octave -----------
t = 0:1/100:10;
f1 = 2;             % 2 Hz
f2 = 2.2;           % 2.2 Hz
s1 = sin(2*pi*f1*t);
s2 = sin(2*pi*f2*t);
figure(1);
plot(t,s1+s2,'b-'); hold on;
plot(t,abs(hilbert(s1+s2)),'r-'); hold off;
legend('Funktion','Einhüllende');
% -----------------------------------------------

[Gast (Gast)]

>Wenn ich mir eine Welle habe, die in x-Richtung sich ausbreitet
>w(x,t) = a*sin(2pi/T*t + 2pi/lambda*x)
>Was ist hier die Einhüllende?

Die Funktion f(x) = a.

Du hast ja kein WellenPAKET, sondern nur eine einzelne Welle. Du musst 
z. B. 20 solcher Wellen nehmen und sie alle aufaddieren. Die 
Wellenlängen konzentrieren sich dabei um einen "Schwerpunkt", und die 
Amplituden der Partialwellen wählst Du gaußverteilungsmäßig. Die Summe 
über alle 20 Partialwellen sieht dann z. B. so aus wie in dem Bild 
(Anhang).

Jetzt kannst Du die Zeit t laufen lassen, und die Summenwelle ständig 
neu berechnen und plotten. Solange sich alle Wellen sich mit derselben 
Geschwindigkeit c ausbreiten, bleibt die Sache unspektakulär: Das Paket 
wird sich als Ganzes unter Beibehaltung seiner Form einfach nach rechts 
verschieben (Gruppen- = Phasengeschwindigkeit).

Wenn es in diesem Medium allerdings Dispersion gibt, d. h. die 
langwelligeren Wellen breiten sich langsamer aus als die kurzwelligeren, 
dann passierts: Die Gänsehaut läuft dem Elefant schneller von links 
nach rechts über den Rücken (= Phasengeschwindigkeit) als dieser nach 
rechts marschiert (= Gruppengeschwindigkeit). Und je weiter sich das 
Paket fortbewegt, desto mehr "zerfließt" es auch, d. h. der Peak 
verbreitert sich.

Muss Du mal simulieren :-)

[Gast (Gast)]

http://vento.pi.tu-berlin.de/STROEMUNGSAKUSTIK/APPLETS/applets/gruppe.html

http://www.hf.ruhr-uni-bochum.de/lehre/Animationen/Dispersion.html

http://de.wikipedia.org/wiki/Wasserwelle