Auszug aus Wiki
http://en.wikipedia.org/wiki/Refractive_index
"The phase velocity is defined as the rate at which the crests of the
waveform propagate; that is, the rate at which the phase of the waveform
is moving. The group velocity is the rate that the envelope of the
waveform is propagating; that is, the rate of variation of the amplitude
of the waveform. Provided the waveform is not distorted significantly
during propagation, it is the group velocity that represents the rate
that information (and energy) may be transmitted by the wave."
Was genau ist mit der Einhüllenden gemeint?
Wenn ich mir eine Welle habe, die in x-Richtung sich ausbreitet
w(x,t) = a*sin(2pi/T*t + 2pi/lambda*x)
Was ist hier die Einhüllende?
Oder ist mein Ansatz falsch und die Funktion ist von der Form
w(x,t) = a( t ) * sin(2pi/T*t + 2pi/lambda*x)
Ich wäre super dankbar, wenn jemand das näher erklären könnte.
Grüsse
Ich glaube das ist so nur auf ein Wellenpaket anwendbar. Aus der
Quantenmechanik habe ich das noch so in erinnerung: Bei einem
Wellenpaket breitet sich die Modulation (also die Einhüllende) mit der
Gruppengeschwindigkeit aus, während sich die Grundschwingung mit der
Phasengeschwindigkeit ausbreitet.
Deshalb kann Information nur mit der Gruppengeschwindigkeit übertragen
werden. Die Phasengeschwindigkeit kann durchaus größer c werden.
Hi, Daniel,
manchmal lernt man besser aus den Irrtümern anderer.
Hier war es ein Professor mit der Schlagzeile "Lichtgeschwindigkeit im
Experiment überschritten!"
Er hatte einen Lichtwellenleiter vermessen. Er hatte die Phase am
Eingang mit der Phase am Ausgang verglichen, aus der Phasendifferenz die
Laufzeit der Welle im Lichtwellenleiter berechnet und daraus mit der
Wegstrecke die Lichtgeschwindigkeit.
Das Phänomen lernt jeder nicht-schlafende Student der
Hochfrequenztechnik, wenn es um Hohlleiter geht, um
Phasengeschwindigkeit in Abhängigkeit von Abmessungen und Wellenlänge:
Je näher der Meßsender von oben an die untere Grenzfrequenz herankommt,
desto weiter wächst die Phasengeschwindigkeit gegen unendlich.
Messen wir aber die Gruppenlaufzeit, also mit modulierten Signalen, dann
messen wir enorme Gruppenlaufzeitverzerrungen.
Deshalb ist die Gruppengeschwindigkeit, also die Geschwindigkeit eines
modulierten Wellenpakets, beispielsweise eines Pulses, immer noch weit
unter der Lichtgeschwindigket.
Meine Literatur: Meinke/Gundlach.
Ciao
Wolfgang Horn
Anderes Beispiel:
Eine gerade Wasserwellenfront bewegt sich auf das Ufer zu.
Ist das Ufer "schräg" zu dieser Wellenfront, läuft das Ereignis "Welle
hoch" mit endlicher Geschwindigkeit am Ufer entlang.
Ist das Ufer parallel zur Wellenfront, klatscht das Wasser überall
gleichzeitig ans Ufer.
Bildet das Ufer jedoch einen "beliebig kleinen, gegen 0 gehenden" Winkel
zur Wellenfront, breitet sich das Ereignis "Welle hoch" mit gegen
unendlich gehender Geschwindigkeit am Ufer entlang aus.
Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Information "Welle hoch" vom
Sender = Wellenerzeuger zum ( beliebigen ) Empfänger = Uferstelle bleibt
jedoch immer die Wasserwellenausbreitungsgeschwindigkeit.
Die Gruppengeschwindigkeit von EM Wellen ist kleiner als c sobald ein
Dielektrikum polarisiert, resp ein Magnetmaterial magnetisiert werden
muss. Ist eigenlich klar, das braucht Energie, das braucht Zeit, und
darum wird die vordere flanke verzoegert.
"Die Gruppengeschwindigkeit von EM Wellen ist kleiner als c sobald ein
Dielektrikum polarisiert, resp ein Magnetmaterial magnetisiert werden
muss."
Die Ausbreitungsgeschwindigkeit von EM-Wellen im nichtleeren Raum
v = c/Wurzel( ε(r) * µ(r) )
ist ein anderer Punkt.
Hallo Daniel,
> Was genau ist mit der Einhüllenden gemeint?
Die Einhüllende ist sowas wie die Verbindung der Maxima miteinander.
Eine genauere Definition bekommst Du, wenn Du die Welle komplex
definierst. Dann ist die Einhüllende der Betrag der komplexen Funktion.
Der Begriff der Einhüllenden ist bei einer reinen Sinusschwingung nicht
sinnvoll; da ist die Einhüllende konstant (Amplitude der Funktion).
Wenn Du Matlab (teuer) oder GNU Octave (kostenlos) nimmst, kannst Du mal
einen Vektor s definieren, der irgendeine Schwingung enthält, aber eben
mit variabler Amplitude.
Und dann gibst Du ein:
plot(abs(hilbert(s)));
> Wenn ich mir eine Welle habe, die in x-Richtung sich ausbreitet> w(x,t) = a*sin(2pi/T*t + 2pi/lambda*x)> Was ist hier die Einhüllende?
Die Einhüllende ist konstant gleich a.
Eine "wirkliche" Einhüllende bekommst Du bei einer Schwebung, d. h. bei
der Summe zweier Sinuswellen mit ähnlicher Frequenz. Schau mal in das
Beispiel, das ich gepostet habe.
Gruß,
Michael
% ------- Code für Matlab/GNU Octave -----------
t = 0:1/100:10;
f1 = 2; % 2 Hz
f2 = 2.2; % 2.2 Hz
s1 = sin(2*pi*f1*t);
s2 = sin(2*pi*f2*t);
figure(1);
plot(t,s1+s2,'b-'); hold on;
plot(t,abs(hilbert(s1+s2)),'r-'); hold off;
legend('Funktion','Einhüllende');
% -----------------------------------------------
>Wenn ich mir eine Welle habe, die in x-Richtung sich ausbreitet>w(x,t) = a*sin(2pi/T*t + 2pi/lambda*x)>Was ist hier die Einhüllende?
Die Funktion f(x) = a.
Du hast ja kein WellenPAKET, sondern nur eine einzelne Welle. Du musst
z. B. 20 solcher Wellen nehmen und sie alle aufaddieren. Die
Wellenlängen konzentrieren sich dabei um einen "Schwerpunkt", und die
Amplituden der Partialwellen wählst Du gaußverteilungsmäßig. Die Summe
über alle 20 Partialwellen sieht dann z. B. so aus wie in dem Bild
(Anhang).
Jetzt kannst Du die Zeit t laufen lassen, und die Summenwelle ständig
neu berechnen und plotten. Solange sich alle Wellen sich mit derselben
Geschwindigkeit c ausbreiten, bleibt die Sache unspektakulär: Das Paket
wird sich als Ganzes unter Beibehaltung seiner Form einfach nach rechts
verschieben (Gruppen- = Phasengeschwindigkeit).
Wenn es in diesem Medium allerdings Dispersion gibt, d. h. die
langwelligeren Wellen breiten sich langsamer aus als die kurzwelligeren,
dann passierts: Die Gänsehaut läuft dem Elefant schneller von links
nach rechts über den Rücken (= Phasengeschwindigkeit) als dieser nach
rechts marschiert (= Gruppengeschwindigkeit). Und je weiter sich das
Paket fortbewegt, desto mehr "zerfließt" es auch, d. h. der Peak
verbreitert sich.
Muss Du mal simulieren :-)
