Ich lese mir hier gerade was über einen Phasenschieber durch. Der mathematische Zusammenhang soll angeblich sein: (A*sin(omega*t)+B*cos(omega*t))=Sqrt(A*A+B*B)*sin(omega*t+Phi) . Weiß jemand wie man da mathematisch drauf kommt? Ich finde da keinen mathematischen Zusammenhabg.
> (A*sin(omega*t)+B*cos(omega*t))=Sqrt(A*A+B*B)*sin(omega*t+Phi)
Ist das nicht ein ganz simples Additionstheorem. Schau doch einfach mal
in einer Formelsammlung nach.
Finde leider nix, kann die meisten Theorem von früher ja noch auswendig. Aber das hier finde ich nirgends.
Hm, könnte es sein, daß Du irgendwo in Deiner Formel ein "i" oder "j" (imaginäre Einheit, i = j = sqrt(-1)) vergessen hast? Das mit Sqrt(A*A+B*B)*... würde mich dann nämlich verdammt an die Moivre'sche Formel für komplexe Zahlen erinnern: cos(x) + i*sin(x) = exp(i*phi).
Hallo nimm mal A=Realteil und B=Imaginärteil an. Sqrt(A*A+B*B) ist die Länge des Vektors in der komplexen Ebene. Phi=tan B/A ist der Winkel des Vektors.
Nicht so hurtig. Der Winkel phi ist der Winkel zwischen Fahrstrahl des Vektors und der Realachse. Das kann man mal zunächst annehmen, stimmt aber nicht. Nuhur nicht gleich, nicht auf der Stell denn bei der Post geht´s nicht so schnell. Der Multiplikator A ist an den SINUS gebunden und B an den COSINUS. So wäre phi = arcCOtan(B/A) und nicht arctan(B/A) Schon der Beweis für A = B ist kein Zuckerschlecken.
Hi folks. Hier könnt ihr´s euch geben. Sind A und B verschieden wird´s fröhlich in der Runde. Man kann es sich aber in cosy und siny "eingebaut" vorstellen Viel Spass. http://www.lsg.musin.de/rubenbauer/unterricht/Mathematik11/schnittwinkel/beweis.htm
ja das theorem: sin (x+y) = cos y * sin x + sin y * cos x habe ich schon gefunden aber man geht ja davon aus das A und B effektivwerte für Ströme sind. also i1 = A*sin(omega*t), i2 = B*cos(omega*t) setze ich A=cos y und B = sin y und sage sin (x+y) = A*sin(omega*t) + B*cos(omega*t) woher kommt dann das Sqrt(A*A+B*B) ? und y = Phi = tan B/A?
Man kann das hier
>A*sin(omega*t) + B*cos(omega*t)
auch als das interpretieren (phasenverschobener Sinus):
... = Z * sin (omega*t + phi)
mit:
Z = Sqrt(A² + B²)
und
Phi = tan B/A
>woher kommt dann das Sqrt(A*A+B*B) ? >und y = Phi = tan B/A? Ich veranschauliche mir das in einem Koordinatensystem. A*sin(x), Zeiger der Länge A in y-Richtung B*cos(x), Zeiger der Länge B in x-Richtung Summenzeiger ist sqrt(A^2+B^2) (Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck) Winkel zum Summenzeiger ist tan (B/A) Das ist zwar auch kein mathematischer Beweis, aber die Antwort, woher die Amplitude und die Phase kommt, kann man damit schon geben.
Hilde die Sache hat so nur einen Haken. Dein Winkel ist der Winkel des Fahrstrahls zur Im-Achse und nicht zur Real-Achse. Sonst sind wir wieder bei arctan(A/B) und nicht wie es richtig wäre B/A. Der korrekte Beweis geht nur entweder zeichnerisch wobei der Aufwand hoch ist oder eben über die Eulerformel. Das ist mir zuviel Qual das ohne geeignete Tastatur durchzupflügen aber hier hat sich einer bei Havard durchgefressen. Da bekommt man allerdings graue Haare. Hier der Ansatz. Wandle Asinx in Euler und Bcosx in Euler Ordne nach exp(jx) und exp(-jx) Erweitere mit j Es entstehen (A +jB) wie auch (A - jB) Das sind sqrt(A² + B²) sowie arctan(B/A) wie auch die ADDITION des Arguments und des Winkels. q.e.d. Oder friss dich den den von Havard durch http://www.math.harvard.edu/~yoshida/Tutorial.pdf
Oder ganz klassisch ohne komplexe Zahlen: Fangen wir auf der rechten Seite an:
Mit dem Additionstheorem für den Sinus
bekommt man die Summe aus dem Argument heraus:
Mit den Beziehungen
ergibt sich
Erweitern der beiden Brüche mit A ergibt
Die Wurzelausdrücke kürzen sich heraus, so dass schließlich
übrig bleibt.
@Exe (Gast) >Hilde die Sache hat so nur einen Haken. HildeK - ich bestehe darauf :-) >Dein Winkel ist der Winkel des Fahrstrahls zur Im-Achse und nicht zur >Real-Achse. Wir wollten doch auch ein Ergebnis bezogen auf sin(x), also der imaginären Achse? Gut, deine und yalus Berechnungen gefallen mir auch besser.
Respekt yalu. Ich habe schon lange aufgegeben. Deine Rechnung stimmt, aber irgendwie habe ich das Gefühl, daß es auch anders gehen muss. Da kommt ja eigentlich niemand drauf, es sei denn man stolpert darüber.
> Da kommt ja eigentlich niemand drauf, es sei denn man stolpert darüber. Die Herleitung von links nach rechts ist nicht sofort ersichtlich, aber die von rechts nach links eigentlich schon: Da auf der rechten Seite eine Winkelfunktion eine Summe als Argument enthält, auf der linken Seite aber nicht, muss die rechte Seite erst einmal expandiert werden. Wenn man dann schon einmal irgendwo gehört hat, dass man jede Winkelfunktion durch jede andere ausdrücken kann, um die Verkettungen von Winkel- und Arkusfunktionen wegzubekommen, ist man schon fast am Ziel. Ähnlich wie bei der Umformung algebraischer oder logischer Ausdrücke gibt es auch in der Trigonometrie ein paar Rechenregeln, mit denen solche Umformungen in den meisten Fällen systematisch erledigt werden können. > aber irgendwie habe ich das Gefühl, daß es auch anders gehen muss. Sonst rechnet man's halt komplex, wie von Exe vorgeschlagen. Das ist aber eigentlich ein Umweg, auf den man erst einmal kommen muss, da die Aufgabenstellung an sich nur reelle Zahlen enthält. Für einen Elektroniker, der das omega*t sieht, ist dieser Weg aber dennoch naheliegend. Oder man versucht wie HildeK, sich das Ganze elektrisch bildlich vorzustellen, dann kommt man sogar fast ohne Rechnung aus.
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