Transformation Hochpass - Tiefpass

[Marco (Gast)]

Hallo zusammen,

ich versuche mich gerade an einer Aufgabe und zwar der Transformation 
eines passiven RC Tiefpasses in einen passiven Hochpass und umgekehrt.

Kennt sich damit jemand aus?

Ich habe für beide Schaltungen die Übertragungsfunktion erstellt.

$$\frac{1}{1+j\cdot\omegaRC}$$

 und

$$\frac{j\cdot\omegaRC}{1+j\cdot\omegaRC}$$

Ist das erst einmal richtig?

nun kann man

$$j\cdot\omega$$

 mit s ersetzen. Allerdings verstehe ich noch nicht so ganz, wie es 
weiter geht. Ist es nicht so, dass man durch Ersetzen von s durch 1/s 
das ganze transformieren kann, aber ich blicke da noch nicht ganz durch. 
Hat da jemand Ahnung von und kann mir weiterhelfen?

Grüße
Marco

[Exe (Gast)]

Einfache Sache.
In der Übertragungsfunktion H = F(jw) einfach jwRC durch 1/jwRC 
ersetzen.
Sinngemäss für Spulen.
That´s all folks.

[Marco (Gast)]

Hallo,

also die Übertragungsfunktionen von RC-tiefpass und RC-Hochpass liegt, 
dass beim Tiefpass 1+jwRC und beim Hochpass 1+1/jwRC unter Bruchstrich 
steht. Durch Ersetzen von jwRC beim Teifpass durch 1/jwRC erhält man 
einen Hochpass.


Was was bedeutet

>Sinngemäss für Spulen.

Das verstehe ich nicht so ganz.

[Exe (Gast)]

Hi Marco
Das mit dem Tiefpass ist klar. Ersetzt mam jwRC durch 1/jwRC und 
erweitert den Bruch mit jwRC kommt die ÜB des Hps heraus.

Das gilt auch für Spulen.
Hier liegt der Eingang an der Spule und der Ausgang am Widerstand
Die ÜB ist dann

F(w) = R/(R + jwL) oder

F(w) = 1/(1 + jwL/R) also ein Tp

Ersetzt man jwL/R durch 1//jwL/R wird daraus

F(w) = 1/(1 + 1//jwL/R)) oder nach der Erweiterung

F(w) = jwL/R//(1 + jwL/R)

was der Hp wäre.

Geht auch bei polynomen, entkoppelten TPs oder Hps n-ter Ordnung die 
durch Spannungsfolger entkoppelt sind.

[Marco (Gast)]

Hallo,

vielen Dank erst einmal für die Antworten. Da habe ich dann aber gleich 
einmal eine Anschlussfrage.

Die Grafik im Anhang zeigt einen Bandpass mit Spanungsfolger zwischen 
Tiefpass und Hochpass. Liege ich dann richtig, dass die 
Gesamtübertragungsfunktion dann einfach die Multiplikation der einzelnen 
Übertragungsfunktionen vom TP und HP sind, wie in der angehangenen 
Grafik durchgeführt? Das dürfte dann auch für alle Versionen LC, RC usw. 
gelten!?

Dann noch eine weitere Frage, wie man auf de Übertragungsfunktion kommt, 
wenn der Spannungsfolger nicht da wäre?

Ah, vielleicht noch eine dritte Frage. Wie kommt man dann auf die 
Bandbreite des Bandpasses?

Grüße

[Abdul K. (ehydra)]

Marco wrote:
> Ah, vielleicht noch eine dritte Frage. Wie kommt man dann auf die
> Bandbreite des Bandpasses?
>

Es gibt mehrere gängige Definitionen für die Bandbreite. Die gängigste 
ist wohl die spannungsmäßig betrachtete Phasendrehung. Im Fall eines 
Bandpasses wäre es der Bereich zwischen -45° und +45°. Das wäre gleich 
zu abs(XC)=abs(XL) für einen einfachen LC-Schwingkreis. Bzw. dann 
jeweils die Spannung auf 1/sqrt(2) abgesunken.


Gruß -
Abdul

[Marco (Gast)]

Hallo,

ich habe da bei mir schon einen Fehler gesehen! Ich habe die 
Berechnungen für die Gesamtübertragungsfunktion gemacht, für den Fall, 
dass die R's und C's gleich sind. Das macht das ganze so einfach. 
Üblicherweise werden die wohl nicht gleich sein. Aber auch mit 
verschiedenen Werten ist die Multiplikation ja kein Problem.

Bleibt aber noch die Frage nach der Übertragungsfunktion ohne den 
Spannungsfolger.

[Exe (Gast)]

Hi Marco
Polynomale RC-Ketten, die durch jeweils einen Spannungsfolger oder auch 
Verstärker ohne eigene Frequenzbeeinflussung entstehen, multiplizieren 
grundsätzlich die Teilübertragungsfunktionen.
Deine Berechnung ist so richtig und es wird

F(w) = jwRC/1-w²RRCC + 2jwRC)

also ein Bandpass.

Für w = 0 ist Ua = 0 und für hohe Frequenzen auch.
Bei Resonanz ist der Höcker vorhanden und die Phasenschiebung Null

Es ist gleichgültig ob nun die Rs und Cs gleich sind. Die Formel wird 
nur komplizierter mit R1,R2 und C1,C2

F(w) = 1/((1 + pT1) x pT2/(1 + pT2))

=

F(w) = pT2/((1 + p²T1T2 + p(T1 + T2))

was sich im Prinzip nichts schenkt.
Auch der Sallen mit seinem Key bringt nichts gegen entkoppelte 
HP-TP-Konfiguration ausser im Resonanzpunkt einen schärferen Knick vor 
allem wenn das V des Ops grösser 1 wird.
Je höher dieses V gewählt wird desto "schärfer" wird der BP um die 
Resonanz bis zur Katastrophe. Weitab entsteht kein Nutzen,
Merke
Du erkaufst immer und mit was auch immer einen "schärferen" Bp durch 
grössere Welligkeit wie auch die Tschernobylfilter zeigen. :-)

Bei fehlendem Entkoppler wird die Formel komplizierter aber ein (müder) 
Bandpass bleibt es.
Mit LC-Gliedern VERkoppelt kommt man zum Butterwertfilter.

[Marco (Gast)]

Hallo,

vielen Dank erst einmal für die ausführlichen Antworten!

Meine Frage(n) wäre(n) aber noch...wie oder wo ich ansetzen muss, um die 
Übertragungsfunktion ohne den Entkoppler zu berechnen.

Das Müsste doch mit der Vierpoltheorie gehen mit der Kettenmatrix (A)!?

Wie setzt man an, ohne die Kettenmatrix zu Hilfe zu nehmen?

Wie komme ich dann auf die Bandbreite. Ganz einfach berechnet liegt die 
ja bei B= f2 - f1. Kann man die Bandbreite aus der Übertragungsfunktion 
heraus herleiten? Wie?

Vielen Dank.

Grüße
Marco

[Exe (Gast)]

Hi
Dazu muss man keine Vierpoltheorie bemühen
Tp 2.Ordnuung mit gleichen Rs und Cs

F(p) = (R + 1/pC) x 1/pc/(R + 2/pC)//((R + 1/pC) x 1/pC/(R + 2/pc) + R))

oder

F1(p) =  (1 + pRC)/(2pC + p²RCC)//((1 + pRC)/(2pC + p²RCC) + R))

oder

F1(p) =  1 + pRC/(1 + pRC + 2pRC + p²RRCC)

oder

F1(p) = 1 + pRC/(1 + p²RRCC + 3pRC)

und Teiler

F2(p) = 1/(1 + pRC)

Ergibt sich final:

 F(p) = F1(p) x F2(p) = 1/(1-p²RRCC + 3pRC)

Allgemein. Zitat eines H.Lenzen aus den Untiefen des Netzes was korrekt 
ist

                1
F = 1/(1-w^2*R1*R2*C1*C2) + jw*(R1*C2+R1*C1+R2*C2))

Dies ergäbe mit R1 = R2 = R und C1 = C2 = C

F(w) = 1/(1 -w²RRCC + 3jwRC)

[Marco (Gast)]

Aha,
also beim Bandpass habe ich dann ja einen Tiefpass gefolgt von einem 
Hochpass. Dann wäre ja in diesem Fall:

F2(p) = 1/(1 + 1/pRC) Richtig?

und das würde auch wieder zutreffen:

F(p) = F1(p) x F2(p)

Müsste also "nur" noch F1(p) berechnet werden!? Richtig soweit?

Wie setze ich dann bei der Berechnung zu F1(p) an?

Grüße

Marco

[Exe (Gast)]

Für den verkoppelten Bp hast du

F1(p) = (1 + pRC)/(1 + p²RRCC + 3pRC) wie gehabt

und

F2(p) = pRC/(1 + pRC)

somit

F(p) = pRC/(1 + p²RRCC + 3pRC)

[Marco (Gast)]

Hallo,

vielen Dank. Ich habe die Übertragungsfunktion nun nochmal gerechnet. 
Mit verschiednen Rs uns Cs, aber wenn man dann zum Schluss R1=R2 und 
C1=C2 nimmt stimms.


Vielen Dank.

Ich hätte nun aber doch noch eine Frage...zur Bandbreite.

Die ist doch B= f2 - f1.

Wie kommt man darauf. Lässt sich die Formel irgendwo heraus ableiten?

Vielen Dank!

Grüße

[Exe (Gast)]

Verkoppelt

Der Bandpass hat

F(p) = pRC/(1 + p²RRCC + 3pRC) mit der Betragsfunktion

Fb und wRC = P

Fb = P/sqrt((1-P²)² + 9P²)) mit einem Maximum

Fällt dieses Maximum beidflankig um -3dB ergibt sich P1 und P2 mit der 
Bandbreite B. Es ergibt sich eine biquadratische Wurzelgleichnung in P.

B = P2 - P1

[Marco (Gast)]

So ganz ist mir das noch nicht klar.

Ok, Betragsfunktion ausrechnen. Wenn der Betrag um 3dB gefallen ist, hat 
man die Grenzfrequenz. Ua/Ue= 1/sqrt(2). Das dürfte doch so richtig 
sein.

Aber ich habe noch keinen blassen Schimmer, wie ich von Fb zur 
Bandbreite gelange. Muss man das irgendwie mit 1/sqrt(2) leichsetzen?


Grüße
Marco

[Exe (Gast)]

Hi Marco

F = P/sqrt((1-P²)² + 9P²))

F² = P²/((1 - P²)² + 9P²) = 1/((1/P -P)² + 9))

dF²/dP = -2(1/P - P) x (-1/P² - 1) : Nenner = 0

Damit für
P = 1

F(P=1) = 1/3

Der -3dB-Abfall ist dann

F(-3dB) = 1/(3sqrt2)

Für P1 und P2 gilt

1/(3sqrt2) = P/sqrt((1-P²)² + 9P²))

oder

1/18 = P²/ ((1-P²)² + 9P²))

Dies ist eine biquadratische Gleichung in P

Viel Spass  (Anleitung: Setze P² = x)