Schaltung.Differentialgleichung aufstellen

[Benjamin (Gast)]

Hi und hallo zusammen,

ich hoffe, dass mir hier weitergeholfen werden kann. Ich habe einen 
passiven LC-Tiefpass, siehe Anhang. Für diesen will ich nun die 
Differentialgleichung aufstellen, aber wirklcih weit komme ich dabei 
nicht. Also würde ich gerne einmal Eure Hilfe in Anspruch nehmen.

Die Maschengleichung bekomme ich ja noch aufgestellt, ich hoffe auch 
richtig, siehe Anhang, aber dann hörts auch schon wieder auf. Ich weiß 
nicht, wie ich da weiter ansetzen muss/soll.

Ich würde mich freuen, wenn mich der ein oder andere etwas anstupsen 
könnte ;)

Vielen Dank!
Grüße vom Benjamin

[ich (Gast)]

Falscher Ansatz!!

Du musst so anfangen:  U0 = Ul + Uc, da Uc = Ua ist

Dann i in Abhängigkeit von Uc, alles einsetzten, fertig.

[Benjamin (Gast)]

Also in meinem Fall wär das:

UE-UL-UC= 0

$$i(t)=C \cdot \frac{dU_{C}}{dt}$$

Dann wäre:

$$U_{E}-L \cdot \frac{di_{(t)}}{dt} - U_{C} = 0$$

Weiter:

$$U_{E}-L \cdot \frac{d}{dt} \cdot C \cdot \frac{dU_{C}}{dt} - U_{C} = 0$$

anders:

$$U_{E}-L \cdot C \cdot \frac{d^{2}U_{C}}{dt} - U_{C} = 0$$

Ist das so richtig oder habe ich da noch was falsch verstanden?

Vielen Dank!
Grüße vom Benjamin

[Matthias L. (Gast)]

Ohne jetzt konkret nachzurechnen: Sieht richtig aus.

[Exe (Gast)]

Korrekt

Das Vorzeichen ist zunächst nicht so wichtig.

Löse die homogene Diff-Gleichung mit Ue = 0

Geht auch mit Laplace

Ua/Ue = 1/(1 + p²LC)

Zerlegung in Linearfaktoren und Transfo in den Zeitbereich führt direkt 
auf die Zeitgleichungen. Erspart die Integrale. Das Ganze macht aber nur 
Sinn wenn ein R vor dem L ist. L ohne R gibt es im non-supra nicht.

[Michael (Gast)]

Du hast unten bei dt ein ² vergessen.

Michael

[Benjamin (Gast)]

Hallo,

>Du hast unten bei dt ein ² vergessen.

Also so!?

$$U_{E}-L \cdot C \cdot \frac{d^{2}U_{C}}{d^{2}t} - U_{C} = 0$$

>L ohne R gibt es im non-supra nicht

Bei den Schaltungen/Aufgaben gehts auch nicht so um die reale Welt ;)

Wenn ich das ganze nun für einen Hochpass mache, also L und C 
vertausche, habe ich dann den gleichen Ansatz wie oben?:

UE-UC-UL= 0   wobei UL= UA

Muss ich nun weiter i in Abhängigkeit von UL einsetzen?

Vielen Dank!!

Grüße vom Benjamin

[Gast (Gast)]

$$U_E - L C \frac{d^2 U_C}{dt^2} - U_C = 0$$

Oder noch besser so:

$$\frac{d^2}{dt^2} U_C + \omega^2 U_C = \omega^2 U_E$$

mit

$$\omega := \frac{1}{\sqrt{L C}}$$

Dann steht die Inhomogenität omega^2 U_E dort, wo sie hingehört, nämlich 
rechts vom Gleichheitszeichen.

[Benjamin (Gast)]

Hallo,

>Dann steht die Inhomogenität omega^2 U_E dort, wo sie hingehört, nämlich
>rechts vom Gleichheitszeichen.


vielen Dank! Dann ist das also eine inhomeogene DGl 2. Ordnung, richtig?

[Gast (Gast)]

Hallo,

ja. Es ist eine gewöhnliche, lineare, inhomogene DG zweiter Ordnung mit 
konstanten Koeffizienten (und fehlendem Grad-1-Term). Die allgemeine 
Lösung der zugehörigen homogenen DG ist (wie bei allen homogenen 
linearen DG) mit dem e-hoch-Lambda-t-Ansatz zu gewinnen. Wie eine 
spezielle Lösung der inhomogenen DG aussieht, hängt von der Funktion 
U_E(t) ab. Die Gesamtlösung ist die lineare Superposition der 
allgemeinen und der speziellen Lösung.

[Exe (Gast)]

Wenn wir schon beim "krümeln" sind

dt² und nicht d²t

U_{E}-L \cdot C \cdot \frac{d^{2}U_{C}}{d^{2}t} - U_{C} = 0

So war das mit dem R nicht gemeint.
Der Ansatz OHNE das R verschleiert eher den Blick für die Lösung.
Mit R ergibt sich durch den korrekten Ansatz des Gastes im Zeitbereich 
eine Exponentialgleichung die entweder reell verläuft oder zur 
Schwingung führt wobei der aperiodische Grenzfall die Grenze darstellt.
Ohne den R werden durch die Polstellen Resonanzen mit 
Unendlichkeitsstellen vorgetäuscht die eher dem Verständnis abträglich 
sind. Es kommt eben in der Diff noch ein Term dazu bzw in der 
Laplacetransfo ein Glied im Nenner.
Man kann sehr wohl den Parallelwiderstand des Kondensators 
vernachlässigen, den Spulenwiderstand nicht

[Benjamin (Gast)]

Wen ich das richtig verstehe, hilft der Widerstand auch bei der Lösung 
der Gleichung und beim Verständnis. Deswegen sollte man ihn reinnehmen!?

Ich würde das ganze nun noch einmal gerne für einen CL-Hochpass machen, 
also L und C in der Schaltung oben vertauschen. Habe ich dann den 
gleichen Ansatz wie oben?:

UE-UC-UL= 0   wobei UL= UA

Muss ich nun weiter i in Abhängigkeit von UL einsetzen? Wobei der 
Widerstand hier nun natürlich wieder nicht berücksichtig wurde.

Vielen Dank!!

Grüße vom Benjamin

[Exe (Gast)]

Hi Benjamin
Es gibt viele Wege nach Rom.
Ich würde den einfachsten gehen.
Mit komplexer Rechnung zunächst die gewünschte Übertragungsfunktion 
erstellen.
Tiefpass mit R, L und C

F(p) = 1/(p²LC + pRC + 1)

Wem der Laplace unangenehm ist stellt auf DG um

p²LC + pRC  + 1 = 0   Homogen lösen mit Ansatz laut Gast als Summe von 
e-Funktionen mit Lambda.
Führt je nach Dämpfung zum Kriechfall, aperiodischen Grenzfall und 
Schwingfall

Für den Hochpass erhält man sinngemäss
Hochpass

F(p) = p²LC/(p²LC + pRC + 1)

Und den Serienbandpass mit Ua an R abgegriffen

F(p) = pRC/(p²LC + pRC + 1)

Oder den Parallelbandpass mit Ua an L und C parallel mit Rlcu = 0

F(p) = pL/(p²RLC +pL + R)

oder

F(p) = pL/R//(p²LC + pL/R + 1)

Den Vorteil ersieht man leicht.
Die homogene DG hat immer die gleiche Struktur.

[Benjamin (Gast)]

Hallo,

erst einmal vielen Dank für die ausführliche Erklärung. Um die Lösung 
der DGL geht es erst einmal nicht geht erst einmal um das aufstellen 
dieser.

Verstehe ich das richtig, dass ich über die ÜF mit Hilfe von Laplace 
ebenfalls auf die DGl komme, ohne den Weg über Maschengleichungen etc. 
zu nehmen?

Die Sache ist, dass ich/wir mit Laplace usw. noch nicht so viel am Hut 
haben, deswegen der andere Weg also schön über Maschengleichung und so. 
Nach Möglichkeit wollte ich auch das erst einmal in de Grff bekommen und 
einigermaßen verstehen. Deswegen vielelciht auch dazu noch einmal eine 
Frage. Kann ich bei einem CL-Hochpass davon ausgehen, dass der 
Uasgangsstrom NULL ist, das System also unbelastet und somit der Strom 
durch C und L gleich ist?

Vielen Dank!

Grüße vom Benjamin

[Exe (Gast)]

Klar Benjamin der Laplace ist keine so einfache Sache und da muss man 
sich erst einarbeiten.
Etwas zur Verdeutlichung

Nehmen wir einen R, L, C-Tiefpass mit Abgriff am Kondensator dann ist 
das Maschengesetz

Ue = I x R + L x dI/dt + Uc mit I = C x dUc/dt

Somit

Ue = LCd²Uc/dt² + RCdUc/dt + Uc was nichts neues ist

Ue = LCUc'' + RCUc' + Uc   mit Uc' = dUc/dt und Uc'' = d²Uc/dt²

Die Lösung der homogenen, -zu Null Gleichung führt, wie der Gast bereits 
ausführte, auf Exponentialfunktionen die reell oder komplex sind.
Falls Ue(t) ein Sprung ist gibt es den bereits erwähnten Kriech, Ap, und 
Schwingfall.

Nun schau dir mal den Laplace an

Ue/Ua = LCp² + RCp + 1

Da fällt ein Analogon auf.

p = d/dt  und p² = d²/dt²

Ganz so einfach ist es nicht aber "gefühlt".

[Benjamin (Gast)]

Mhhh, also ich habe das ganze mal für LR-Tiefpass durchgespeilt, also 
Ua-Abgriff über dem Widerstand. ÜF ist:

1/( 1+jw(L/R) )

Maschengleichung: Ue-UR-UL=0  , UR = Ua , Ia= 0

Ue= Ua+ L*di/dt  , i=Ua/R
Ue= Ua+ L*d/dt(Ua/R)
Ue= Ua+L/R*dUa/dt

Stimmt das so? Müsste doch, da Ue/Ua= 1+jwL/R

Nun das ganze einmal für den RLC-Hochpass als Übung:

Die ÜF müsste doch
(jwL)/(jw)^2LC + jwRC + 1)  sein. Muss man das ganze dann noch umstellen 
um auf eine Form 1/... zu kommen oder gibt es dann einen anderen Ansatz?

Die Maschengleichung wäre doch: Ue=UR+UC+UL, UR=I*R,
Ue=I*R + UC + UL, UL=Ua  nur jetzt hänge ich wieder an dieser Stelle. 
Muss ich nun UC in Abhängigkeit von I ersetzen?

Grüße vom Benjamin

[Tobi. S (Gast)]

Grundlegend eines vorweg:

Der Ansatz über die Lösung mittels der homogenen und inhomogenen DGL ist
zwar in Ordnung. Allerdings möchte ich hier anmerken, dass die Lösung
mittels Laplace-Transformation und Rücktrafnsformation bei den meisten
Fällen die bessere Lösung darstellt, zumal man im Laplace-Bereich
weitaus mehr über das System-Verhalten aussagen kann. Einziges Problem
bleibt die LTI Forderung :-(