Hi und hallo zusammen,
ich hoffe, dass mir hier weitergeholfen werden kann. Ich habe einen
passiven LC-Tiefpass, siehe Anhang. Für diesen will ich nun die
Differentialgleichung aufstellen, aber wirklcih weit komme ich dabei
nicht. Also würde ich gerne einmal Eure Hilfe in Anspruch nehmen.
Die Maschengleichung bekomme ich ja noch aufgestellt, ich hoffe auch
richtig, siehe Anhang, aber dann hörts auch schon wieder auf. Ich weiß
nicht, wie ich da weiter ansetzen muss/soll.
Ich würde mich freuen, wenn mich der ein oder andere etwas anstupsen
könnte ;)
Vielen Dank!
Grüße vom Benjamin
Korrekt
Das Vorzeichen ist zunächst nicht so wichtig.
Löse die homogene Diff-Gleichung mit Ue = 0
Geht auch mit Laplace
Ua/Ue = 1/(1 + p²LC)
Zerlegung in Linearfaktoren und Transfo in den Zeitbereich führt direkt
auf die Zeitgleichungen. Erspart die Integrale. Das Ganze macht aber nur
Sinn wenn ein R vor dem L ist. L ohne R gibt es im non-supra nicht.
Hallo,
>Du hast unten bei dt ein ² vergessen.
Also so!?
>L ohne R gibt es im non-supra nicht
Bei den Schaltungen/Aufgaben gehts auch nicht so um die reale Welt ;)
Wenn ich das ganze nun für einen Hochpass mache, also L und C
vertausche, habe ich dann den gleichen Ansatz wie oben?:
UE-UC-UL= 0 wobei UL= UA
Muss ich nun weiter i in Abhängigkeit von UL einsetzen?
Vielen Dank!!
Grüße vom Benjamin
Hallo,
>Dann steht die Inhomogenität omega^2 U_E dort, wo sie hingehört, nämlich>rechts vom Gleichheitszeichen.
vielen Dank! Dann ist das also eine inhomeogene DGl 2. Ordnung, richtig?
Hallo,
ja. Es ist eine gewöhnliche, lineare, inhomogene DG zweiter Ordnung mit
konstanten Koeffizienten (und fehlendem Grad-1-Term). Die allgemeine
Lösung der zugehörigen homogenen DG ist (wie bei allen homogenen
linearen DG) mit dem e-hoch-Lambda-t-Ansatz zu gewinnen. Wie eine
spezielle Lösung der inhomogenen DG aussieht, hängt von der Funktion
U_E(t) ab. Die Gesamtlösung ist die lineare Superposition der
allgemeinen und der speziellen Lösung.
Wenn wir schon beim "krümeln" sind
dt² und nicht d²t
U_{E}-L \cdot C \cdot \frac{d^{2}U_{C}}{d^{2}t} - U_{C} = 0
So war das mit dem R nicht gemeint.
Der Ansatz OHNE das R verschleiert eher den Blick für die Lösung.
Mit R ergibt sich durch den korrekten Ansatz des Gastes im Zeitbereich
eine Exponentialgleichung die entweder reell verläuft oder zur
Schwingung führt wobei der aperiodische Grenzfall die Grenze darstellt.
Ohne den R werden durch die Polstellen Resonanzen mit
Unendlichkeitsstellen vorgetäuscht die eher dem Verständnis abträglich
sind. Es kommt eben in der Diff noch ein Term dazu bzw in der
Laplacetransfo ein Glied im Nenner.
Man kann sehr wohl den Parallelwiderstand des Kondensators
vernachlässigen, den Spulenwiderstand nicht
Wen ich das richtig verstehe, hilft der Widerstand auch bei der Lösung
der Gleichung und beim Verständnis. Deswegen sollte man ihn reinnehmen!?
Ich würde das ganze nun noch einmal gerne für einen CL-Hochpass machen,
also L und C in der Schaltung oben vertauschen. Habe ich dann den
gleichen Ansatz wie oben?:
UE-UC-UL= 0 wobei UL= UA
Muss ich nun weiter i in Abhängigkeit von UL einsetzen? Wobei der
Widerstand hier nun natürlich wieder nicht berücksichtig wurde.
Vielen Dank!!
Grüße vom Benjamin
Hi Benjamin
Es gibt viele Wege nach Rom.
Ich würde den einfachsten gehen.
Mit komplexer Rechnung zunächst die gewünschte Übertragungsfunktion
erstellen.
Tiefpass mit R, L und C
F(p) = 1/(p²LC + pRC + 1)
Wem der Laplace unangenehm ist stellt auf DG um
p²LC + pRC + 1 = 0 Homogen lösen mit Ansatz laut Gast als Summe von
e-Funktionen mit Lambda.
Führt je nach Dämpfung zum Kriechfall, aperiodischen Grenzfall und
Schwingfall
Für den Hochpass erhält man sinngemäss
Hochpass
F(p) = p²LC/(p²LC + pRC + 1)
Und den Serienbandpass mit Ua an R abgegriffen
F(p) = pRC/(p²LC + pRC + 1)
Oder den Parallelbandpass mit Ua an L und C parallel mit Rlcu = 0
F(p) = pL/(p²RLC +pL + R)
oder
F(p) = pL/R//(p²LC + pL/R + 1)
Den Vorteil ersieht man leicht.
Die homogene DG hat immer die gleiche Struktur.
Hallo,
erst einmal vielen Dank für die ausführliche Erklärung. Um die Lösung
der DGL geht es erst einmal nicht geht erst einmal um das aufstellen
dieser.
Verstehe ich das richtig, dass ich über die ÜF mit Hilfe von Laplace
ebenfalls auf die DGl komme, ohne den Weg über Maschengleichungen etc.
zu nehmen?
Die Sache ist, dass ich/wir mit Laplace usw. noch nicht so viel am Hut
haben, deswegen der andere Weg also schön über Maschengleichung und so.
Nach Möglichkeit wollte ich auch das erst einmal in de Grff bekommen und
einigermaßen verstehen. Deswegen vielelciht auch dazu noch einmal eine
Frage. Kann ich bei einem CL-Hochpass davon ausgehen, dass der
Uasgangsstrom NULL ist, das System also unbelastet und somit der Strom
durch C und L gleich ist?
Vielen Dank!
Grüße vom Benjamin
Klar Benjamin der Laplace ist keine so einfache Sache und da muss man
sich erst einarbeiten.
Etwas zur Verdeutlichung
Nehmen wir einen R, L, C-Tiefpass mit Abgriff am Kondensator dann ist
das Maschengesetz
Ue = I x R + L x dI/dt + Uc mit I = C x dUc/dt
Somit
Ue = LCd²Uc/dt² + RCdUc/dt + Uc was nichts neues ist
Ue = LCUc'' + RCUc' + Uc mit Uc' = dUc/dt und Uc'' = d²Uc/dt²
Die Lösung der homogenen, -zu Null Gleichung führt, wie der Gast bereits
ausführte, auf Exponentialfunktionen die reell oder komplex sind.
Falls Ue(t) ein Sprung ist gibt es den bereits erwähnten Kriech, Ap, und
Schwingfall.
Nun schau dir mal den Laplace an
Ue/Ua = LCp² + RCp + 1
Da fällt ein Analogon auf.
p = d/dt und p² = d²/dt²
Ganz so einfach ist es nicht aber "gefühlt".
Mhhh, also ich habe das ganze mal für LR-Tiefpass durchgespeilt, also
Ua-Abgriff über dem Widerstand. ÜF ist:
1/( 1+jw(L/R) )
Maschengleichung: Ue-UR-UL=0 , UR = Ua , Ia= 0
Ue= Ua+ L*di/dt , i=Ua/R
Ue= Ua+ L*d/dt(Ua/R)
Ue= Ua+L/R*dUa/dt
Stimmt das so? Müsste doch, da Ue/Ua= 1+jwL/R
Nun das ganze einmal für den RLC-Hochpass als Übung:
Die ÜF müsste doch
(jwL)/(jw)^2LC + jwRC + 1) sein. Muss man das ganze dann noch umstellen
um auf eine Form 1/... zu kommen oder gibt es dann einen anderen Ansatz?
Die Maschengleichung wäre doch: Ue=UR+UC+UL, UR=I*R,
Ue=I*R + UC + UL, UL=Ua nur jetzt hänge ich wieder an dieser Stelle.
Muss ich nun UC in Abhängigkeit von I ersetzen?
Grüße vom Benjamin
Grundlegend eines vorweg:
Der Ansatz über die Lösung mittels der homogenen und inhomogenen DGL ist
zwar in Ordnung. Allerdings möchte ich hier anmerken, dass die Lösung
mittels Laplace-Transformation und Rücktrafnsformation bei den meisten
Fällen die bessere Lösung darstellt, zumal man im Laplace-Bereich
weitaus mehr über das System-Verhalten aussagen kann. Einziges Problem
bleibt die LTI Forderung :-(
LC-TP.jpg
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