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Forum: Offtopic Gekoppelte Schwingung, Frequenzspaltung


Autor: daniel (Gast)
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Hi @all,

Wahrscheinlich haben einige von Euch von der Aufspaltung der
Energieniveaus gelesen, wenn 2 Atome näher aneinander rücken.
Es steht auch in vielen Bücher nachzulesen, dass dieser Effekt
sich "wie eine Frequenzaufspaltung bei gekoppelten Schwingungen"
vorzustellen sei. Leider halten sich alle diese Bücher mit dem
genauen Modell dieser gekoppelten Schwingung zurück.
Es ist sehr ärgerlich, wenn die Bücher nur so mit verschiedenen
Modellen um sich werfen ohne sie anständig zu erklären.

Aber gut, hier habe ich versucht so eine Kopplung zu realisieren.
Bei einfachem Feder-Masse System ist bekanntlich die Kreisfrequenz
Omega = sqrt(k/m).
Was ich aber machen will, ist Wand-Feder-Masse-Feder-Masse-Feder-Wand
oder kurz wkmkmw. Unten ist der Code und ein Bild der Simulation
habe ich angehängt.
model wkmkmw " |||/\/\/\/\O/\/\/\/\O/\/\/\/\/\/||| " 
  parameter Real m1(unit = "kg") = 1 "masse";
  parameter Real m2(unit = "kg") = 100 "masse";
  parameter Real k1(unit = "N/m") = 30 "federkonstante";
  parameter Real k2(unit = "N/m") = 30 "federkonstante";
  parameter Real k3(unit = "N/m") = 30 "federkonstante";
  parameter Real p(unit = "m") = 0 "ruhelage";
  parameter Real q(unit = "m") = 200 "ruhelage";
  
  Real x1(start = p, unit = "m") "ort";
  Real x2(start = q+100, unit = "m") "ort";
  Real v1(start = 0, unit = "m/s") "geschwindigkeit";
  Real v2(start = 0, unit = "m/s") "geschwindigkeit";
  
equation 
  v1 = der(x1);
  v2 = der(x2);
  -m1*der(v1) - k1*(x1-p) + k2*(x2-q-(x1-p)) = 0;
  -k2*(x2-q-(x1-p)) - m2*der(v2) - k3*(x2-q) = 0;
end wkmkmw;

Die 2-te Masse ist riesieg, sie wird um ihre Ruhelage mit
einer kleinen Frequenz oszillieren. Die 1-te dagegen vibriert
deutlich stärker. Im Bild fällt auf, dass beide reine Sinus-
schwingunen sind. Was noch auffällt(nach mehreren Simulationen),
dass die Amplitude der ersten Schwingung gleich der anfänglichen
Auslenkung ist, Amplitude der 2-ten nur die Hälfte davon.

Man könnte im Prinzip, denke ich, mit den Sinusansätzen in die
wild aussehende DGL. Interessanter und wilder wird der Fall, wenn
die Massen gleich sind. Im nachfolgenden Post kommt ein Bild dazu.

Autor: daniel (Gast)
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und hier die Simulation bei einem 1:1 Massenverhältnis

Autor: daniel (Gast)
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Um die Idee mit der Aufspaltung auszuprobieren, habe ich octave
angeschmiessen und folgenden Code ausprobiert.
t=0:0.01:4*pi;
f0=1;
x1=cos(2*pi*(f0+0.1).*t);
x2=cos(2*pi*(f0-0.1).*t);
plot(t,x1+x2);
grid;

Das Bild im Anhang sieht doch in etwa ähnlich der Simulation vorher.
Bleibt nur abzuklären wie gross delta-frequenz nun ist.
Gibt es da einen "Trick" ohne die haarige gekoppelte DGL mit einem
Ansatz ala a*cos(2*pi*(f+x)*t)+b*cos(2*pi*(f-x)*t) durchzurechnen?
f wäre im Ansatz ja bekannt, aus w=2*pi*f=sqrt(k/m)

Wie gesagt, so schön die Simulation ist, würde ich gerne mehr
über delta_f erfahren.

grüsse, daniel

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