Kugel, Feder, Kraft und Vertiefung ->?

[Justus (Gast)]

Hier eine Knobelaufgabe:

Horizontale.
Eine Kugel befindet sich in einer Vertiefung mit gleichem Radius.
Die Vertiefung ist durch den Radius und den Tangentenwinkel 
gekennzeichnet, in dem sie die Horizontale berührt (z.B. 45°).
Horizontal wirkt eine Kraft.
Auf die Kugel wirkt von oben eine Federkraft (F = dy*k).

Die Kugel soll bei einer bestimmten Horizontalkraft aus der Vertiefung 
auf die Ebene kommen.

Der Knackpunkt (no pun intended):

Wie verhält sich sich vertikale Komponente der horizontal wirkenden 
Kraft beim Übergang der Kugel auf die Horizontale? Sie muss 
gleich/größer sein als die Federkraft an dieser Stelle.

Ich nehme bislang eine Rotation der Kugel um den gemeinsamen Punkt 
(Vertiefung, Horizontale) an, dadurch geht der Tangentenwinkel 
allerdings gegen Null, und mit ihm besagte vertikale Komponente.

Wo ist der Fehler in meinem Modell?

[Justus (Gast)]

Hier eine Skizze

[Karl H. (kbuchegg)]

Justus wrote:

> Ich nehme bislang eine Rotation der Kugel um den gemeinsamen Punkt
> (Vertiefung, Horizontale) an, dadurch geht der Tangentenwinkel
> allerdings gegen Null, und mit ihm besagte vertikale Komponente.

Hier dürfte der Knackpunkt liegen.
Die Tangentialebene zerlegt dir die Kraft Fc in eine horizontale und 
eine vertikale Komponente. Die horizontale Komponente muss gross genug 
sein um den Rollwiderstand der Kugel zu überwinden.

[Justus (Gast)]

Hi,

hatte einen Fehler in den Winkelfunktionen. Mit alpha -> 0 geht die 
vertikale Komponente -> inf.
Also Kniehebelwirkung. Man kann demnach die Bewegung vernachlässigen 
(bei r1=r2), es sei denn evtl. bei sehr sehr hohen Federkonstanten.

[Karl H. (kbuchegg)]

Hmm.
Drüber geschlafen.

Was ist denn eigentlich gesucht?

(Meine Annahme ist: Wie gross muss die Vertiefung sein, damit die Kugel 
bei einer bestimmten Federkraft Ff und einer bestimmten Kraft Fc 
'auslöst' (also aus der Vertiefung rauskommt).

Irgendwie kommt mir die Betrachtung über Reibung und Widerstände nicht 
sehr zielführend vor. Ich denke, das ist ein ganz normaler 
Drehmomentenvergleich. Der Punkt rechts, an dem die Kugel die Vertiefung 
verlässt ist der Drehpunkt. Ff bewirkt ein Drehmoment gegen den 
Uhrzeiger, Fc ein Moment im Uhrzeiger. Wird das Fc-Moment größer als das 
Ff Moment, kommt die Kugel raus. Widerstand (egal ob Gleit oder Roll) 
spielt keine Rolle, weil die Kugel ja noch nicht im klassischen Sinne 
rollt.

Man könnte jetzt Gleichungen aufstellen, die die Momentgröße in 
Abhängigkeit der Hebelarme ausdrücken und die Hebelarme hängen wiederrum 
von der Vertiefung ab.

[Justus (Gast)]

Das mit den Momenten ist auch eine gute Idee. Werde ich bei Gelegenheit 
mal vergleichen.

[Justus (Gast)]

Es läuft auf das Gleiche hinaus, aber die Frage war ursprünglich: "Wie 
groß muss die Federkraft sein, damit die Kugel bei einer bestimmten 
Kraft Fc aus der Mulde rauskommt?"