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Forum: Offtopic Aufleitung von folgender Funktion


Autor: Franz (Gast)
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Hallo,

ich möchte folgende Funktion ohne Verwendung eines Taschenrechners 
aufleiten. Wie geht das? Irritierend sind die X, die sowohl im Zähler 
als auch im Nenner stehen.

f(x)= x^3/(2x-2) - (0,5*X^2)/(2x-2) - (4x)/(2x-2) + 5/(2x-2)
F(x) = ?

Franz

Autor: Karl-heinz Strunk (cletus)
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Franz wrote:
> f(x)= x^3/(2x-2) - (0,5*X^2)/(2x-2) - (4x)/(2x-2) + 5/(2x-2)
> F(x) = ?

Hi,

also nur F(x) kannst du auch mit dem Taschenrechner oder einem 
Algebrasystem schnell rausfinden.

Aber "Ohne Taschenrechner" heißt wohl, du bist eher am Rechenweg 
interessiert, und weils eine Hausaufgabe ist, erstmal ein Tip:

Du darfst die einzelnen Summanden getrennt integrieren...

Autor: Karl-heinz Strunk (cletus)
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Achja: Bei deinen Brüchen: (Ohne das überprüft zu haben):

Denk an die Binomischen Formeln. Und dann an die Quotientenregel...

Autor: Karl-heinz Strunk (cletus)
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Und was ich gerade erst sehe: Die nenner sind ja alle gleich. Vielleicht 
hilft was, die Brüche nicht getrennt zu betrachen, sondern zusammen zu 
ziehen.


So, viel Spaß beim Ausprobieren.

Autor: Franz (Gast)
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Hallo,

1. ja die Nenner der Brüche sind alle gleich. Das liegt aber daran, dass 
das vorher ein Bruch war. Ich denke es ist einfacher das in dieser Form 
zu integrieren, da man nun mehrere Summen hat

Wie bitte soll man mit Hilfe der binomischen Formel oder der 
Qutientenregel die Aufleitung von  z.B.  (4x)/(2x-2)   finden?

Franz

Autor: Karl Heinz (kbuchegg) (Moderator)
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Franz wrote:

> Wie bitte soll man mit Hilfe der binomischen Formel oder der
> Qutientenregel die Aufleitung von  z.B.  (4x)/(2x-2)   finden?

Dieser Summand ist leicht:
Durchkürzen und der entstehende Bruch findet sich in jeder 
Integraltabelle.

Genauso wie: 5/(2x-2)

Das war immer mein Hauptproblem beim Integrieren. Das man ne Unmenge an 
'Standardformeln' auswendig können muss. Und Auswendiglernen war nie 
meine große Stärke :-)

Autor: Polynomdivision (Gast)
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Man könnte auch den großen Bruch durch eine Polynomdivision 
vereinfachen.

hier nochmal kurz erklärt:
http://de.wikipedia.org/wiki/Polynomdivision

dann hat man ein paar einfache Summanden und ein leichteren Bruch zu 
Integrieren
ala: ax²+bx+c+rest
(Rest ist dann der einfache Bruch)
So sollte die Aufgabe sehr viel leichter zu Lösen sein denn die ersteren 
Summanden macht man dann im Schlaf...

Autor: Matthias Lipinsky (lippy)
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>Das war immer mein Hauptproblem beim Integrieren. Das man ne Unmenge an
>'Standardformeln' auswendig können muss. Und Auswendiglernen war nie
>meine große Stärke :-)

EInfach noch weiter aufspalten. Zum Schluss bleibt nur das Übrig:

 A        A
----  => --- ln|Bx+D|
Bx+D      B

 A
----  => A * arctan x
x²+1²
(Das kann, unter Zuhilfenahme von konj. kompl. Postellen noch in Erstes 
überführt werden ;-)

(Ich liebe diese Aufgaben ;-)



>f1(x)= x^3/(2x-2)

Partialbruchzerlegung:
            1                       1
=> f1(x) = --- [  x² +  x  + 1 + ------- ]
            2                     x - 1
            1     x³    x²
=> F1(x) = --- [ --- + --- + x + ln|x-1| ]  + C
            2     3     2

SOllte doch als Ansatz reichen, oder?

Autor: Matthias Lipinsky (lippy)
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(Scheiß WLAN hier)


weiterhin sollte man noch wissen:
            1
f(Ax+B) => ---F(Ax+B)
            A
und:
     µ'(x)
f(x)=-----   => F( µ(x) )
     µ(x)


Das reicht gewöhnlich.

Autor: Matthias Lipinsky (lippy)
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Die letzte Formel mit dem µ' ist glaub ich falsch. Komm aber grad nicht 
drauf.

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