Wie berechne ich die Spektrale Leistungsdichte (PSD)

[Hannes (Gast)]

Ich habe eine FFT aus 1024 reellen Punkten durchgeführt. Nun habe ich 
als Ergebnis 512 Realteile und 512 Imaginärteile. Jetzt möchte ich 
daraus die spektrale Leistungsdichte berechnen. Wie gehe ich vor?

Muss ich nur den Realteil quadrieren?

[Anon N. (fuechslein)]

Hier gibts ne Menge Verwirrung in letztes Zeit warum ein N Punkte Signal 
in einer N/2 Punkte (complex) FFT-Koeff. resultiert.

Der Grund ist ganz einfach: FFT ist Diskret! Sowohl im Zeitbereich (TD) 
als auch im Freq.bereich (FD).
Daraus resultiert dass beide periodisch sind. (in FD & TD).

Und nun das eigentl. wichtige:
Dadurch dass das Signal (oft) reel ist ist die FFT davon SYMMETRISCH. 
D.h. nur weil dein Signal rein reel ist hast du 512 komponenten 
(complex). Mehr brauchst du nicht da du ja weist dass das ganze 
symmetrisch ist.
Falls du ein komplexes Signal hast hast du auch N complexe TD Koeff..

IIRC fackelt MATLAB da gar nicht lange rum und gibt dir auch bei einem 
rein reelen Signal N Koeff. zurueck. Nur fuer embedded spart man da 
logischerweise.

D.h. in deinem Anwendungsfall hast du genauer gesagt auch 1024 Komplexe 
(also 2048) Koeff. fuer die FT von deinem Signal. Daraus ein PSD zu 
machen hast du viele (komplizierte) Moeglichkeiten. Eine einfache davon 
ist das Periodogramm. google hilft.

Bottom line: Du solltest natuerlich nicht nur die reelen Werte hernehmen 
sonder Pythagoras anwenden.

[Hannes (Gast)]

Nun hast Du mich verwirrt. Wieso werden denn aus einmal aus 1024 reellen 
Koeffizienten 1024 reelle und 1024 komplexe.

[Anon N. (fuechslein)]

Nein, aus 1024 Werten werden genau 1024 Koeff. (FD).

nun:
TD reel -> FD symmetrisch
TD komplex -> FD nicht (unbedingt) symm.


da im ersten Fall die FD symmetrisch ist koennen die Fourier-Koeff. 
sozusagen "komprimiert" werden. Das machen viel Implementierungen da das 
Speicherplatz spart. Generell: Aus einem Signal mit N Werten gibt es N 
Koeff.. Punkt.

[Ron (Gast)]

Aus 1024 reellen und 1024 imaginären (die alle Null sind) Koeffizienten 
werden wiederrum 1024 reelle und 1024 imaginäre Koeffizienten. Mit dem 
Vorwissen über die rein reellen Eingangsdaten wird der Ausgang 
symmetrisch, so dass die eine Hälfte der Ausgangskoeffizienten nicht 
ausgegeben wird.

[Anon N. (fuechslein)]

Danke, Ron kann das irgendwie verstaendlicher ausdruecken. :)

[Hannes (Gast)]

Ah jetzt ist der Groschen gefallen ^^

[8421 (Gast)]

Zurueck zur Frage. Das Powerspektrum ist das Amplitudenquadrat .. also 
mit dem dem konjugiert komplexen multiplizieren.

[Hannes (Gast)]

OK nehmen wir mal an mein komplexe Zahl z = 4 + 6i.

Dann ist die konjugiert komplexe Zahl z´ = 4 - 6i

Laut wikipedia gilt für die Multiplikation komplexer Zahlen mit der 
dazugehörigen konjugiert komplexen Zahl folgendes:

Ergebnis = Realteil^2 + Imaginärteil ^2

Ich werde es mal ausprobieren

[Hannes (Gast)]

Den DC-Anteil muss ich aber anders berechnen oder?

[T. H. (pumpkin)]

Hannes wrote:
> Den DC-Anteil muss ich aber anders berechnen oder?

Nö.

$$S_{XX} (f) = X^* (f) \cdot X (f) = | X(f) |^2$$

[Hannes (Gast)]

Genau auf so ein Formel wartet jeder. Dort is genau definiert was was 
ist, so das man schön raten kann. Hauptsache von Wikipedia kopiert

[T. H. (pumpkin)]

Hannes wrote:
> Genau auf so ein Formel wartet jeder. Dort is genau definiert was was
> ist, so das man schön raten kann. Hauptsache von Wikipedia kopiert

Ganz genau. Dort steht alles was du wissen willst.

plonk