Verschobener Kreis in Polarkoordinaten

[Maxim (Gast)]

Wie lässt sich ein Kreis mit dem Radius R, dessen Mittelpunkt um x mit 
|x|<R verschoben wurde (der Koordinatenursprung liegt also noch im 
Kreis), in Polarkoordinaten darstellen? Es ist ja offensichtlich eine 
ein-eindeutige (also bijektive) Funktion. Die ist gesucht.

Oder weiß jemand, wie ich eine Funktion y(x) aus dem kartesischen 
Koordinatensystem auf eine Funktion r(phi) aus dem 
Polarkoordinatensystem abbilde?

[Kugelblitz (Gast)]

Vielleicht hilft das weiter ( keine Gewähr ):

http://de.wikipedia.org/wiki/Kugelkoordinaten

[yalu (Gast)]

> Wie lässt sich ein Kreis mit dem Radius R, dessen Mittelpunkt um x mit
> |x|<R verschoben wurde (der Koordinatenursprung liegt also noch im
> Kreis), in Polarkoordinaten darstellen?

Gerade ausgerechnet: Der Kreis mit Mittelpunkt (xm,ym) und Radius rk hat
in Polarkoordinaten die Gleichung

$$r(\varphi)=x_\mathrm m\cos\varphi+y_\mathrm m\sin\varphi+\sqrt{r_\mathrm k^2- (x_\mathrm m\sin\varphi-y_\mathrm m\cos\varphi)^2}$$

Interessanterweise ist die Gleichung auch dann noch gültig, wenn der
Koordinatenursprung außerhalb des Kreises liegt. Mann muss dann
lediglich die Winkel, für die das Argument der Wurzel negativ wird,
übergehen.

[Detlev T. (detlevt)]

Hallo yalu,

schöne Formel! Daumen hoch

yalu wrote:
> Interessanterweise ist die Gleichung auch dann noch gültig, wenn der
> Koordinatenursprung außerhalb des Kreises liegt. Mann muss dann
> lediglich die Winkel, für die das Argument der Wurzel negativ wird,
> übergehen.

Dann ist die Funktion aber nicht mehr eindeutig. Es gibt auch Werte von 
phi, zu denen es zwei Werte von r gibt (und halt auch keine).

Gruß, DetlevT

[yalu (Gast)]

> Dann ist die Funktion aber nicht mehr eindeutig. Es gibt auch Werte
> von phi, zu denen es zwei Werte von r gibt (und halt auch keine).

Auf einem vom Koordinatenursprung ausgehenden Strahl können zwar bis zu
zwei Kreispunkte liegen, die angegebene Funktion ist aber trotzdem
eindeutig, da sie keine "Mehrdeutigkeitsoperatoren" wie '±' o.ä.
enthält. Es gibt also zu jedem phi genau ein r.

Die zwei auf einem Strahl liegenden Punkte entstehen dadurch, dass die
Funktion für das entsprechende phi das r des einen Punkts mit positivem
Vorzeichen und für phi+180° das r des anderen mit negativem Vorzeichen
liefert. Liegt der Ursprung innerhalb des Kreises, sind alle Funktions-
werte positiv.