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Forum: Offtopic Verschobener Kreis in Polarkoordinaten


Autor: Maxim (Gast)
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Wie lässt sich ein Kreis mit dem Radius R, dessen Mittelpunkt um x mit 
|x|<R verschoben wurde (der Koordinatenursprung liegt also noch im 
Kreis), in Polarkoordinaten darstellen? Es ist ja offensichtlich eine 
ein-eindeutige (also bijektive) Funktion. Die ist gesucht.

Oder weiß jemand, wie ich eine Funktion y(x) aus dem kartesischen 
Koordinatensystem auf eine Funktion r(phi) aus dem 
Polarkoordinatensystem abbilde?

Autor: Kugelblitz (Gast)
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Vielleicht hilft das weiter ( keine Gewähr ):

http://de.wikipedia.org/wiki/Kugelkoordinaten

Autor: yalu (Gast)
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> Wie lässt sich ein Kreis mit dem Radius R, dessen Mittelpunkt um x mit
> |x|<R verschoben wurde (der Koordinatenursprung liegt also noch im
> Kreis), in Polarkoordinaten darstellen?

Gerade ausgerechnet: Der Kreis mit Mittelpunkt (xm,ym) und Radius rk hat
in Polarkoordinaten die Gleichung

Interessanterweise ist die Gleichung auch dann noch gültig, wenn der
Koordinatenursprung außerhalb des Kreises liegt. Mann muss dann
lediglich die Winkel, für die das Argument der Wurzel negativ wird,
übergehen.

Autor: Detlev T. (detlevt)
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Hallo yalu,

schöne Formel! Daumen hoch

yalu wrote:
> Interessanterweise ist die Gleichung auch dann noch gültig, wenn der
> Koordinatenursprung außerhalb des Kreises liegt. Mann muss dann
> lediglich die Winkel, für die das Argument der Wurzel negativ wird,
> übergehen.

Dann ist die Funktion aber nicht mehr eindeutig. Es gibt auch Werte von 
phi, zu denen es zwei Werte von r gibt (und halt auch keine).

Gruß, DetlevT

Autor: yalu (Gast)
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> Dann ist die Funktion aber nicht mehr eindeutig. Es gibt auch Werte
> von phi, zu denen es zwei Werte von r gibt (und halt auch keine).

Auf einem vom Koordinatenursprung ausgehenden Strahl können zwar bis zu
zwei Kreispunkte liegen, die angegebene Funktion ist aber trotzdem
eindeutig, da sie keine "Mehrdeutigkeitsoperatoren" wie '±' o.ä.
enthält. Es gibt also zu jedem phi genau ein r.

Die zwei auf einem Strahl liegenden Punkte entstehen dadurch, dass die
Funktion für das entsprechende phi das r des einen Punkts mit positivem
Vorzeichen und für phi+180° das r des anderen mit negativem Vorzeichen
liefert. Liegt der Ursprung innerhalb des Kreises, sind alle Funktions-
werte positiv.

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