Geometrische Reihe

[mathkiller (Gast)]

Habe bei wikipedia folgendes gelesen:

Geometrische Reihen sind spezielle mathematische Reihen. Eine 
geometrische Reihe ist eine Folge, deren n-tes Glied die Summe der 
ersten n Glieder einer geometrischen Folge ist. Bei einer geometrischen 
Folge ist der Quotient zweier benachbarter Folgenglieder konstant.

Kann mir das jemand an dem Bsp

$$\sum_{n=0}^\infty q^n$$

für q=2 erklären?
Habe besonders die Aussage "deren n-tes Glied die Summe der ersten n 
Glieder einer geometrischen Folge" an meinem Bsp nicht erkennen können
Gruß Killer

[Karl H. (kbuchegg)]

mathkiller wrote:
>

$$> > \sum_{n=0}^\infty q^n$$

>
>
>
> für q=2 erklären?
> Habe besonders die Aussage "deren n-tes Glied die Summe der ersten n
> Glieder einer geometrischen Folge" an meinem Bsp nicht erkennen können


n = 0      2 hoch 0  =  1           s0 = 1 = 1
n = 1      2 hoch 1  =  2           s1 = 1 + 2 = 3
n = 2      2 hoch 2  =  4           s2 = 1 + 2 + 4 = 7
n = 3      2 hoch 3  =  8           s3 = 1 + 2 + 4 + 8 = 15
n = 4      2 hoch 4  = 16           s4 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31


Die Folge 1, 3, 7, 15, 31, ...   ist die gesuchte Reihe.

( Der jeweils neu hinzukommende Term in der Berechnung des nächsten 
Folgengliedes, also 1, 2, 4, 8, 16, ...  ist jeweils das doppelte des 
Vorhergehenden)

[Johann L. (gjlayde)]

mathkiller wrote:
> Habe bei wikipedia folgendes gelesen:
>
> Geometrische Reihen sind spezielle mathematische Reihen. Eine
> geometrische Reihe ist eine Folge, deren n-tes Glied die Summe der
> ersten n Glieder einer geometrischen Folge ist. Bei einer geometrischen
> Folge ist der Quotient zweier benachbarter Folgenglieder konstant.

Die geometrische Folge könnte zB a_n heissen:

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \text{const.} \Leftrightarrow a_n = q^n, q\neq 0$$

Die geometrische Reihe ist dann

$$(s_n)_{n \in \mathbb{N}} \quad\text{mit}\quad s_n(q) = s_n = \sum_{k=0}^n a_k = \sum_{k=0}^n q^k$$

> Kann mir das jemand an dem Bsp
>
>

$$> > \sum_{n=0}^\infty q^n$$

>
>
>
> für q=2 erklären?
i) Das ist keine geometrische Reihe, sondern bestenfalls der Grenzwert 
einer geometrischen Reihe.
ii) Die Reihe kann man als formale Potenzreihe in q betrachten, für q=-2 
ist die Reihe jedoch divergent: Ihr Konvergenzradius ist 1, d.h. sie 
konvergiert nur für

$$\{q \in \mathbb C \;/\; |q| < 1 \}$$

http://de.wikipedia.org/wiki/Formale_Potenzreihe
http://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius

> Habe besonders die Aussage "deren n-tes Glied die Summe der ersten n
> Glieder einer geometrischen Folge" an meinem Bsp nicht erkennen können
> Gruß Killer

Beispiel für q=0.5:

$$\begin{align} a_0 = (\tfrac 12)^0 = 1 &\quad \rightarrow \quad s_0 = 1\\ a_1 = (\tfrac 12)^1 = \tfrac 12 &\quad \rightarrow \quad s_1 = 1.5\\ a_2 = (\tfrac 12)^2 = \tfrac 14 &\quad \rightarrow \quad s_2 = 1.75\\ a_3 = (\tfrac 12)^3 = \tfrac 18 &\quad \rightarrow \quad s_3 = 1.875\\ a_n = (\tfrac 12)^n \qquad &\quad \rightarrow \quad s_n = 2-\tfrac 1{2^n} \end{align}$$

$$\lim_{n\to\infty} s_n = 2$$

Johann