Test auf Orthogonalität

[Frank (Gast)]

Gegeben sind 2 Geraden im R3 Raum. Wenn man überprüfen will, ob diese 
orthogonal sind, dann muss man 1. das Skalarprodukt der 
Richtungsvektoren bilden und überprüfen ob das =0 ist.

Wenn das Skalarprodukt 0 ist, dann stehen die Richtungsvektoren 
orthogonal zueinander.

Frage: Müssen sich die Geraden auch schneiden, damit sie orthogonal 
sind?
 Müsste man also zusätzlich überprüfen, ob die Geraden einen gemeinsamen 
Punkt haben?

[Hartmut Kraus (Gast)]

Frank schrieb:

> Frage: Müssen sich die Geraden auch schneiden, damit sie orthogonal
> sind?

Nö, wenn sie orthogonal sind, schneiden sie sich zwangsläufig irgendwo. 
Geraden haben nämlich kein Anfang und kein Ende.

[Uhu U. (uhu)]

Nicht im n > 2 - dimensionalen Räumen.

[Frank (Gast)]

"Gegeben sind 2 Geraden im R3 Raum."

Es kann ja passieren, dass die Richtungsvektoren der Geraden orthogonal 
sind, die Geraden sich aber nicht schneiden!


Es handelt sich also eigentlich nur um eine Definitionsfrage:
Heißt Orthogonalität, dass die "Richtungen" orthogonal sein müssen oder 
dass die "Richtungen" orthogonal sein müssen UND dass sich die Geraden 
schneiden?

[Matthias L. (Gast)]

>Nö, wenn sie orthogonal sind, schneiden sie sich zwangsläufig irgendwo.
>Geraden haben nämlich kein Anfang und kein Ende.

Das muss nicht sein.


>Müssen sich die Geraden auch schneiden, damit sie orthogonal
>sind?

Ich würd sagen, nein.

[Siegfried (Gast)]

... Geraden haben nämlich kein Anfang und kein Ende. ...

Dein Geschwätz auch nicht. Leider.

[Hartmut Kraus (Gast)]

Siegfried schrieb:
> ... Geraden haben nämlich kein Anfang und kein Ende. ...
>
> Dein Geschwätz auch nicht. Leider.
Halt' dein dummes Maul.

Matthias Lipinsky schrieb:
>>Nö, wenn sie orthogonal sind, schneiden sie sich zwangsläufig irgendwo.
>>Geraden haben nämlich kein Anfang und kein Ende.
>
> Das muss nicht sein.

Doch, sonst heißen sie entweder "Strahl" (ein Anfang, aber kein Ende) 
oder "Strecke" (definierte Länge).

[Uhu U. (uhu)]

Fran schrieb:
> Gegeben sind 2 Geraden im R3 Raum.

Hartmut, kannst du nicht lesen?

[Simon K. (simon)]

Siegfried schrieb:
> ... Geraden haben nämlich kein Anfang und kein Ende. ...
>
> Dein Geschwätz auch nicht. Leider.

Haha! Der war gut :-)

Nein, tatsächlich. Wie Uhu schon sagt, wenn der Raum mehr als 2 
dimensional ist, sehe ich das genau so. Dann müssen die Geraden sich 
nicht schneiden um Orthogonal zueinander zu sein.

In diesem Fall ist nämlich das Skalarprodukt 0, das heißt sie sind 
Orthogonal, aber bei der Suche nach einem Schnittpunkt erhält man keine 
(reelle) Lösung.

[yalu (Gast)]

Nach dieser Definition wird ein Schnittpunkt implizit vorausgesetzt:

  http://mathworld.wolfram.com/Orthogonal.html

Ähnliches gilt für die Definition im Bronstein. Immerhin hat das den
Vorteil, dass die Definition auf beliebige Kurven verallgemeinert werden
kann:

  http://mathworld.wolfram.com/OrthogonalCurves.html

Nach Wikipedia

  http://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonal#Elementargeometrie

müssen die Geraden einen Winkel von 90° einschließen. Unter dem
"Einschließen eines Winkels" kann ich mir nur bei sich schneidenden
Geraden etwas vorstellen.

Da alle diese Definitionen etwas schwammig sind und auch die Meinungen
darüber auseinander gehen, was nun richtig ist, würde ich nicht lange
darüber streiten und statt

  "Zwei Geraden sind orthogonal."

einfach schreiben

  "Zwei Geraden scheiden sich orthogonal."

oder

  "Zwei Geraden sind orthogonal gerichtet."

[Hartmut Kraus (Gast)]

yalu schrieb:

> Da alle diese Definitionen etwas schwammig sind und auch die Meinungen
> darüber auseinander gehen, was nun richtig ist, würde ich nicht lange
> darüber streiten und statt
>
>   "Zwei Geraden sind orthogonal."
>
> einfach schreiben
>
> (1)   "Zwei Geraden scheiden sich orthogonal."
>
> oder
>
> (2)  "Zwei Geraden sind orthogonal gerichtet."

Wobei (1) ein Sonderfall von (2) wäre: Beide liegen in einer Ebene. 
Einverstanden?

[yalu (Gast)]

Hartmut Kraus schrieb:

> Wobei (1) ein Sonderfall von (2) wäre: Beide liegen in einer Ebene.
> Einverstanden?

Ja. (1) ist sozusagen die schärfere der beiden Aussagen.

[Karl H. (kbuchegg)]

Und dafür

>> Siegfried schrieb:
>> ... Geraden haben nämlich kein Anfang und kein Ende. ...
>>
>> Dein Geschwätz auch nicht. Leider.
> Halt' dein dummes Maul.

kriegst du jetzt von mir eine Verwarnung.

[aha (Gast)]

Zuerst sollte man den Unterschied zwischen Richtungsvektoren und Geraden 
betrachten. Geraden sind irgendwo festgemacht. Richtungsvektoren 
beginnen bei Null, wo sie auf die Basisvektoren abgebildet werden 
koennen und sind sonst beliebig parallel verschiebbar.