Integrieren -> Äuivalenzumformung

[Jens (Gast)]

Hi,

gilt Integrieren als Äquivalenzumforumg?

[Johann L. (gjlayde)]

Es gilt zwar

$$f(x) = g(x) \text{ mit } x\in [a,b] \Rightarrow \int_a^x \! f(\xi) \mathrm d\xi = \int_a^x \! g(\xi) \mathrm d\xi \text{ mit } x \in [a,b]$$

aber in die andere Richtung geht das nicht unbedingt:

$$\int_a^x \! f(\xi) \mathrm d\xi = \int_a^x \! g(\xi) \mathrm d\xi \quad\forall x\in[a,b] \not\Rightarrow f = g \text{ in } [a,b]$$

[Thomas S. (tsalzer)]

Integrieren ist eine Rechenoperation.

Umformung ist wie der Name schon vermuten läßt was anderes. Du formst um 
-> es sieht anders aus aber es meint dasselbe.

guude
ts

[Nils (Gast)]

Naja, der Begriff der Äquivalenzumformung bezieht sich auf die Umformung 
von Gleichungen (wie Johann ja schon ausführte).
Bezieht man diesen Begriff auf die Integration, kann ja sinnvollerweise 
nur die Äquivalenz zu Differenzialgleichungen gemeint sein.
Und dann muss man sagen, die einen sagen so und die anderen sagen so. 
Nein ganz im Ernst:
Es gibt Differenzialgleichungen (+ Randwertproblem), die eine völlig 
äquivalente Umformung durch Integration zulassen. Für den Großteil gilt 
das aber nicht.
Es kann auch nur gelten wenn ein Anfangswert-/Randwertproblem gegeben 
ist. Ansonsten macht die beliebige Wahl der Integrationskonstante die 
logische Äquivalenz zu nichte.

>Integrieren ist eine Rechenoperation.
Ist + und - auch. Es geht doch um die Umformung auf beiden Seiten einer 
Gleichung.

Gruß,
Nils

[Siegfried (Gast)]

... Es geht doch um die Umformung auf beiden Seiten einer Gleichung. ...

Wo ist das Problem? Einfach beide Seite integrieren.

[Oliver (Gast)]

Ja natürlich gilt es das!!!

Wenn du dabei an dgls denkst, wird das sehr schnell klar.

Da kannst du auf beiden seiten herumwursten und integrieren oder 
ableiten.

[Johann L. (gjlayde)]

Oliver schrieb:
> Ja natürlich gilt es das!!!
>
> Wenn du dabei an dgls denkst, wird das sehr schnell klar.
>
> Da kannst du auf beiden seiten herumwursten und integrieren oder
> ableiten.

Klar kannst du das. Nur daß es beim Ableiten idR keine 
Äquivalenzumformung ist, d.h. beim Integrieren gilt nur =>, nicht aber 
in jedem Falle <=>.

Das Rumwursteln ist aber eben nicht korrekt. Beispiel von oben:

Wenn das eigentliche Integral über eine Funktion 0 ist, bedeutet das 
nicht, daß die Funktion 0 ist. Wenn du das Integral (in Abhängigkeit von 
der oberen Integrationsgrenze) differenzierst, erhälst du aber die 
Null-Funktion. Der Integrand muss aber nicht die Null-Funktion sein.

Ein Beispiel, das das explizit mach, gab Nils.

Johann