Frage zu Substitution

[Fritz (Gast)]

Hi,
ich hab ne Frage zu meinen Hausaufgaben. Da ist ne Aufgabe, die lautet 
wie folgt:

"Lösen Sie die Gleichung nach x auf:

3*2^x-1   2*2^x-1   5
------- + ------- = -
2*2^x-1   3*2^x-1   2

Hinweis: eine geeignete Substitution erleichtert die Lösung der 
Aufgabe."

So, nun dachte ich mir: ich substituiere 2^x mit a, dann ergibt sich:

3a-1   2a-1   5
---- + ---- = -
2a-1   3a-1   2

Dann löse ich nach a auf, und kriege das:

    5 +/- sqrt(73)
a = --------------
          8

Das ist aber nicht richtig; die Lösung der Gleichung lautet nämlich 0 
und -2.

Frage: warum funktioniert meine Substitution nicht? ich steh da grad 
irgendwie auf dem Schlauch. :-/
ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen!

vielen Dank & Gruss

[Tom (Gast)]

Du hast nicht richtig nach a umgeformt.

[Fritz (Gast)]

Wie forme ich denn richtig nach a um?
Bzw. was habe ich falsch gemacht?

Gruss

[HildeK (Gast)]

>Du hast nicht richtig nach a umgeformt.
Diese Aussage ist richtig!

>Dann löse ich nach a auf, ...
Hier ging was schief.

Ich errechne:
    5 +/- sqrt(9)
a = --------------, damit a1=1 und a2=1/4
          8

da a=2^x ist, ergibt sich für x1=0, für x2=-2

[Jürgen W. (lovos)]

Ausfuehrlicher:

3a-1   2a-1   5
---- + ---- = -
2a-1   3a-1   2

(3a-1)^2 + (2a-1)^2 = 5(2a-1)(3a-1)/2
9a^2 - 6a + 1 + 4a^2 -4a +1 = 5(6a^2-5a+1)/2
18a^2 - 12a + 2 + 8a^2 -8a +2 = 30a^2 - 25a + 5
-4a^2 + 5a -1 = 0
a^2 - 5/4a + 1/4 = 0

a= 5/8 +- sqrt(25/64-16/64)

a= 5/8 +- sqrt(9/64)

a= 5/8 +- 3/8 = 1/4 , 1

a=2^x  <=>  ld a = x

x_1= ld(1/4) = -2
x_1= ld(1) = 0

[Fritz (Gast)]

Dann hat meine Rechnung also doch gestimmt? Und ich hab einfach den Term 
mit dem a falsch umgeformt?

[Jürgen W. (lovos)]

Wie ist das eigentlich heute im Internet-Zeitalter?

Wenn Du Deinem Lehrer einen Link auf eine Seite praesentieren kannst, wo 
die Aufgabe richtig wurde, gilt dann die Hausaufgabe als gemacht?
Oder musst Du erst die Seite ausdrucken?

Oder muss gar die Hausaufgabe handschriftlich gemacht werden?

[Fritz (Gast)]

Hi Jürgen,

also um hier mal einiges klarzustellen: ihr müsst mich nicht gleich 
anpissen, weil ich ne Frage zu der Hausufgabe habe.

1. ist die Hausaufgabe freiwillig.
2. habe ich hier gepostet, weil ich auf dem Schlauch gestanden bin - da 
meine Umformung falsch war, was ich nicht bemerkt habe, konnte ich 
unmöglich auf die Lösung kommen.

Ich werde aber in Zukunft tunlichst vermeiden, hier um Rat zu fragen, 
wenn ich wieder mal was mathematisches wissen möchte.

Danke trotzdem & Gruss

[Karl H. (kbuchegg)]

Fritz schrieb:

> 2. habe ich hier gepostet, weil ich auf dem Schlauch gestanden bin - da
> meine Umformung falsch war, was ich nicht bemerkt habe, konnte ich
> unmöglich auf die Lösung kommen.

Na, das war aber auch wahnsinnig schwierig festzustellen.

Du gehst von einer Angabe aus
dann kommt ein Rechengang
und hinten kommt was Falsches raus.

Wo könnte blos der Fehler liegen? Hmmmmmmm

(PS. Schon mal was von einer Probe gehört?)
(Und noch ein PS. Wenn du unsinnig substituierst, dann merkst da das 
ganz schnell am Rechengang. Der vereinfacht sich dann nämlich nicht, 
sondern wird eher komplizierter. Aber im Grunde ist es völlig egal, wie 
du substituierst, solange deine Umformungen legal und richtig sind, 
kommt hinten immer das Richtige raus. Das ist das Wesen der 
Mathematik: Mit einer Gleichung darfst du (fast alles) machen was du 
willst. Solange du nur auf beiden Seiten dasselbe machst, veränderst du 
nur die äussere Form der Gleichung, aber an der Aussage der Gleichung 
ändert sich nichts. Sprich: Das Ergebnis ist auch in deiner ersten 
Gleichung schon enthalten, nur ist diese in einer Form sodass man die 
Werte für x nicht einfach ablesen kann. Alles weitere dient nur dazu, 
die Form der Gleichung so zu verändern, dass auf der einen Seite x 
alleine steht. Aber es ist im Grunde immer noch dieselbe Gleichung, nur 
anders hingeschrieben)

[Johann L. (gjlayde)]

Nochwas:

Bei obiger Rechnung taucht diese Gleichung auf:

$$4a^2 - 5a +1 = 0$$

Mit einem scharfen Blick sieht man, daß a=1 eine Lösung ist (denn 
4-5+1=0).
Also klammert man einfach a-1 aus und erhält die Nullstellen, ohne sich 
den Wolf zu machen:

$$4a^2 - 5a +1 = (a-1)(4a-1) = 0 \Leftrightarrow a \in\{1,\tfrac 14\}$$

Johann