Hallo,
> Zunächst ist mir nicht ganz klar, warum man zur Berechnung der
> Amplituden das Ergebnis der FFT verdoppelt (Ausnahme a0)!?. F oberhalb
> von Fmax werden ausgeblendet.
>
> Demnach wäre X:
> X = fft(x)/N;
> X= [X(1) 2*X(2:floor((N-1)/2)+1)];
bei der FFT sind die Aufbaufunktionen, mithilfe derer Du die
reellwertigen Signalwerte rekonstruierst, komplexe e-Funktionen mit
Real- und Imaginärteil.
Damit kannst Du nur dann rein reelle Signale aufbauen, wenn die
Aufbaufunktionen als Paare aus zueinander konjugiert komplexen Signalen
auftauchen:
x(t) = A * exp(jwt) + conj(A) * exp(-jwt)
positive Frequenz negative Frequenz
Zeiger dreht in Zeiger dreht in
positive Richtung negative Richtung
Addition eines zu Addition eines zu A
A gehörigen konst. gehörigen konstanten Winkels.
Winkels in in negative Richtung.
in positive Richtung
Du erinnerst Dich: Die Summe aus Zahl und dem konjugierten der Zahl ist
immer reellwertig!
_
/|\
A / \ conj(A)
/ \
/ _\|
Summe ist reell.
Die Signalanteile treten im Spektrum also immer doppelt auf:
Einmal mit der komplexen Amplitude A (bei der positiven Frequenz) und
einmal bei mit der komplexen Amplitude conj(A) (bei den negativen
Frequenzen).
Wenn Du die Hälfte der FFT-Werte nicht beachtest, so ist klar, daß etwas
fehlt.
Daß ein Faktor 2 verlorengeht, hängt direkt damit zusammen, daß die
Paare der Aufbaufunktionen jeweils konjugiert komplex zueinander sind.
Den Faktor 2 kannst Du durch scharfes Hinsehen fast schon aus der
Zeichnung ablesen.
Rechnerisch ergibt er sich folgendermaßen:
Sei A = |A|*exp(j phi)
Dann gilt:
A*exp(jwt) + conj(A)*exp(-jwt) = 2 |A| * exp(j phi) * cos(wt)
Die Amplitude der Summe ist also tatsächlich doppelt so groß wie A und
rein reellwertig.
Gruß,
Michael
PS:
Wenn Du die FFT von einem Signal mit N Werten machst, erhältst Du N
Werte zurück.
Sie gehören zu den Frequenzen:
0:fs/N:(N-1)/N*fs mit fs: Abtastfrequenz
Die zweite Hälfte der Frequenzen sind aufgrund der Periodizität des
Spektrums genau die negativen Frequenzen.
