Worterklärung: Wieviel ist eine Okatve

[sigmadelta (Gast)]

Hallo erstmal,

zuersteinmal entschudligt, falls ich mich im falschen Forum befinde. Ich 
bin mir einfach nicht sicher wo ich meine Frage posten soll. Hinweise 
werden auch gerne entgegengenommen.

Habe zwei fragen zu einer Doktorarbeit im Netz die ich hier gefunden 
habe:
http://elib.tu-darmstadt.de/diss/000541/ocampo_diss.pdf

In dieser Doktorarbeit  werden die Grundlagen eines Sigma-Delta-Wandlers 
behandelt und die Formeln für sein SQNR und DR hergeleitet. Dabei kommt 
der Doktorant (in Kapitel 3.4 auf Seite 29) auf folgende Formeln:

SQNR = (18∗OSR^3*A^2/(^2 ∗ q^2)

DR = (9∗OSR^3)/(2π^2)

Und dannach zu dieser Aussage:
"These relationships show that the resolution and dynamic range of the 
first order noise differencing Σ∆M increase with OSR at a ratio of 1.5 
bit per octave.
"
Wieviel ist ein Oktave? Und wie kommt man auf diese 1.5bit? Mir ist 
einfach schleierhaft was er damit meint.

zweite Frage über diese Doktorarbeit ist dieser Satz (Kapitel 3.4 Seite 
31):
"It is interesting to note how the gain of each NTF increases at πrad/s
( f / fs = 1/2) as the order of the modulator augments."
Daraus wird dann geschlossen das der Modulator ab der zweiten Ordnung 
instabil wird. Wieso wird er dann instabil? Warum sind es gerade πrad/s 
pro Sekunde. Da doch ein Integrator dabei ist müssten es doch eigentlich 
(π/2)rad/s sein?

Wäre folgende Behauptung richtig:
Die Phasendrehung eines Integrators um (π/2)rad/s bewirkt dass eine 
Sigma-Delta-Wandler höherer Ordnung instabil wird.

Vielen Dank für eure Antworten
Sigmadelta

[Mark B. (markbrandis)]

Eine Oktave höher = Frequenzverdopplung
Eine Oktave niedriger = Frequenzhalbierung

[Sven P. (Gast)]

Also in der Musik geht die Oktave auf die Naturtonreihe zurück, wenn ich 
mich recht erinnere.
Ein Verhältnis zweier Frequenzen (Töne) von 1:2 (d.h., eine doppelt so 
groß wie die andere) bezeichnet man dort als 'Oktave'.

[Michael (Gast)]

Ja, und innerhalb einer Oktave gibts 8 Töne oder so ähnlich ;)

[aha (Gast)]

Eher 12 Halbtoene.

[Detlef _. (detlef_a)]

>>Wieviel ist ein Oktave? Und wie kommt man auf diese 1.5bit? Mir ist
>>einfach schleierhaft was er damit meint.

Für eine Verdopplung der Oversamplingrate geht das SNR um 9dB runter, 
das sind 1.5 Bit.

Für die Zweifler, Zögerer und Ungläubige anbei eine Einlassung, mit der 
ich des öfteren überzeugen konnte.

Math rulez!
Cheers
Detlef



Das Folgende aus: Norsworthy e.a.: Delta-Sigma Data Converters, IEEE 
press, '97

Die gehen von folgender Struktur aus:
(siehe SD.jpg)

Also Integrierer und nachfolgender A/D und D/A Wandler, der auf einen 
Summationspunkt vor dem Integrator zurückkoppelt.

Jetzt mit den Bezeichnungen der Bilder:

w(i)=x(i-1)-e(i-19
y(i)=w(i)+e(i)
Also:
y(i) = x(i-1)+(e(i)-e(i-1)) !

(hinten kommt das Eingangssignal verzögert und die Differenz der 
Quantisierungsfehler raus !!!)

Nen Filter y(k) = x(k) -x(k-1)
hat den Frequenzgang

H(exp(-jw)) = (1-e(-j*2*pi*f*T))= 2*sin(w*T/2)  mit 1/T = Abtastfrequenz 
und f<1/(2*T)

Wenn das Rauschen vorher weiß war und ne konstante spektrale Dichte von

erms*sqrt(2/fs)= erms*sqrt(2*T) (erms=E root mean square !)

hatte, dann wird die nach dem Hochpaß zu:

N(f) = erms*sqrt(2*T)*2*sin(w*T/2)

Jetzt dezimieren wir die Abtastwerte der Abtastrate T=1/fs und der 
Nyquiatfrequenz fs/2 so auf die sehr viel geringere Grenzfrequenz f0 
(fs/(2*f0) = Oversamplingrate = OSR). Die Signale und das Rauschen aus 
dem Band von f0 bis fs/2 filtern wir raus (wie auch immer). An 
RauschENERGIE bleibt übrig:

Integral(N(f)^2) in den Grenzen von 0 bis f0.
Die Rauschenergie ist (nach Reihenentwicklung des Sinus),
(Zwischenrechnung in Zwischenrechnung.jpg)

n0^2=erms^2*pi^2*(2*f0*T)^3/3

Der Effektivwert ist:

(erms*pi/sqrt(3))*(2*f0*T)^(3/2)=(erms*pi/sqrt(3))*(OSR)^(-3/2)

Fazit:
Das Rauschen wird bei einer Verdopplung der OSR um 2^(-3/2) entsprechend 
9.03 dB besser.

[Detlef _. (detlef_a)]

Hier noch nen Bild.

Cheers
Detlef

[sigmadelta (Gast)]

Also erstmal danke für die Antwort auf meine Erste Frage. Weiß jemand 
auch was zu meiner zweiten?

gruß sigmadelta